Dzień 21 (czwartek 16 kwietnia 2020) Szeregi liczbowe – kryterium porównawcze.
Dziś dalszy ciąg przypomnienia tego, co było w pierwszym semestrze, a mianowicie kryterium porównawcze. Troszkę na ten temat było już wspomniane 6 kwietnia przy okazji całek niewłaściwych i ich konfrontacji z szeregami.
W zasadzie dziś dostajecie tylko kilka zadanek do odświeżenia i przećwiczenia stoso- wania kryterium porównawczego, ale jeszcze raz do znudzenia przypomnę bardzo ważny przykład:
Szereg harmoniczny
∞ X
n=1
1
n = 1 +1 2+1
3+1 4+ . . .
jest rozbieżny. Jest to przykład szeregu rozbieżnego, którego wyrazy dążą do ze- ra.
Przypominam też, że w przypadku szeregu o wyrazach nieujemnych możemy wyra- zić fakt jego zbieżności lub rozbieżności bez słów – wystarczy porównać sumę szeregu z ∞. Suma ta bowiem zawsze1 ma sens, a pytanie o zbieżność szeregu jest pytaniem o skończoność jego sumy.
Kryteria zbieżności szeregów (cz. II).
3. Kryterium porównawcze.
Niech
∞ X
n=1
an i
∞ X
n=1
bn będą szeregami o wyrazach nieujemnych, przy czym dla każdego n ∈N zachodzi nierówność an¬ bn.
Jeżeli
∞ X
n=1
an= ∞, to
∞ X
n=1
bn= ∞.
Jeżeli
∞ X
n=1
bn< ∞, to
∞ X
n=1
an< ∞.
4. Kilka wzorcowych szeregów.
∞ X
n=1
qn jest zbieżny dla |q| < 1, rozbieżny dla pozostałych q.
∞ X
n=1
1
na jest zbieżny dla a > 1, rozbieżny dla pozostałych a.
293. Wskazując odpowiednią liczbę wymierną dodatnią C udowodnić nierówności C · π2¬
∞ X
n=1
√4n4+ 4n + 1
12n4+ n3+ 3 ¬ 2C · π2. Wolno skorzystać bez dowodu z równości
∞ X
n=1
1 n2 =π2
6 .
Zanim zajrzysz na kolejną stronę, rozwiąż powyższe zadanie, a przynaj- mniej podejmij próbę rozwiązania, aby wiedzieć, gdzie napotykasz trudności.
1To znaczy ”zawsze w przypadku szeregu o wyrazach nieujemnych”. Jeśli szereg ma wyrazy różnych znaków, to jego suma może nie mieć sensu.
Dzień 21 (czwartek 16 kwietnia 2020) - 183 - Strony 183-189
Rozwiązanie:
Szacujemy dany w zadaniu szereg od dołu:
∞ X
n=1
√4n4+ 4n + 1 12n4+ n3+ 3
∞ X
n=1
√4n4+ 0 + 0 12n4+ n4+ 3n4 =
∞ X
n=1
2n2 16n4 =1
8·
∞ X
n=1
1 n2 =1
8·π2 6 = 1
48· π2 i od góry:
∞ X
n=1
√4n4+ 4n + 1 12n4+ n3+ 3 ¬
∞ X
n=1
√4n4+ 4n4+ n4 12n4+ 0 + 0 =
∞ X
n=1
3n2 12n4 =1
4·
∞ X
n=1
1 n2 =1
4·π2 6 = 1
24· π2. Wobec równości 1
24= 2 · 1
48 udowodniliśmy żądane nierówności ze stałą C = 1 48.
294. Rozstrzygnąć, czy szereg
∞ X
n=1
√
n20+ n8− n10 jest zbieżny.
Zanim zajrzysz na kolejną stronę, rozwiąż powyższe zadanie, a przynaj- mniej podejmij próbę rozwiązania, aby wiedzieć, gdzie napotykasz trudności.
Dzień 21 (czwartek 16 kwietnia 2020) - 184 - Strony 183-189
Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (na różnicę kwadratów), a następnie wy- konujemy szacowanie, aby skorzystać z kryterium porównawczego:
∞ X
n=1
√
n20+ n8− n10=
∞ X
n=1
n8
√n20+ n8+ n10¬
¬
∞ X
n=1
n8
√n20+ 0 + n10=
∞ X
n=1
n8 2n10=1
2·
∞ X
n=1
1
n2 < +∞ . Odpowiedź: Podany szereg jest zbieżny.
295. Rozstrzygnąć, czy szereg
∞ X
n=1
√
n20+ n9− n10 jest zbieżny.
Zanim zajrzysz na kolejną stronę, rozwiąż powyższe zadanie, a przynaj- mniej podejmij próbę rozwiązania, aby wiedzieć, gdzie napotykasz trudności.
Dzień 21 (czwartek 16 kwietnia 2020) - 185 - Strony 183-189
Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (na różnicę kwadratów), a następnie wy- konujemy szacowanie, aby skorzystać z kryterium porównawczego:
∞ X
n=1
√
n20+ n9− n10=
∞ X
n=1
n9
√n20+ n9+ n10
∞ X
n=1
n9
√n20+ 3n20+ n10 =
∞ X
n=1
n9 3n10=1
3·
∞ X
n=1
1
n= +∞ . Odpowiedź: Podany szereg jest rozbieżny.
296. Rozstrzygnąć, czy szereg
∞ X
n=1
√3
n3+ n − n jest zbieżny.
Zanim zajrzysz na kolejną stronę, rozwiąż powyższe zadanie, a przynaj- mniej podejmij próbę rozwiązania, aby wiedzieć, gdzie napotykasz trudności.
Dzień 21 (czwartek 16 kwietnia 2020) - 186 - Strony 183-189
Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (na różnicę sześcianów), a następnie wy- konujemy szacowanie, aby skorzystać z kryterium porównawczego:
∞ X
n=1
√3
n3+ n − n=
∞ X
n=1
n
(n3+ n)2/3+ n · (n3+ n)1/3+ n2
∞ X
n=1
n
(n3+ 7n3)2/3+ n · (n3+ 7n3)1/3+ n2 =
∞ X
n=1
n
4n2+ 2n2+ n2 =1 7·
∞ X
n=1
1
n = +∞ . Odpowiedź: Podany szereg jest rozbieżny.
297. Rozstrzygnąć, czy szereg
∞ X
n=1
√4
n4+ n − n jest zbieżny.
Zanim zajrzysz na kolejną stronę, rozwiąż powyższe zadanie, a przynaj- mniej podejmij próbę rozwiązania, aby wiedzieć, gdzie napotykasz trudności.
Dzień 21 (czwartek 16 kwietnia 2020) - 187 - Strony 183-189
Rozwiązanie:
Korzystamy dwukrotnie ze wzoru na różnicę kwadratów, a następnie wykonujemy szacowanie, aby skorzystać z kryterium porównawczego:
∞ X
n=1
√4
n4+ n − n=
∞ X
n=1
n
√4
n4+ n + n·√
n4+ n + n2¬
¬
∞ X
n=1
n
√4
n4+ 0 + n·√
n4+ 0 + n2=1 4·
∞ X
n=1
1
n2 < +∞ . Odpowiedź: Podany szereg jest zbieżny.
298. Rozstrzygnąć zbieżność szeregu
∞ X
n=1
√3
n2+ 1 −√3 n2.
Zanim zajrzysz na kolejną stronę, rozwiąż powyższe zadanie, a przynaj- mniej podejmij próbę rozwiązania, aby wiedzieć, gdzie napotykasz trudności.
Dzień 21 (czwartek 16 kwietnia 2020) - 188 - Strony 183-189
Rozwiązanie:
Przekształcimy dany w zadaniu szereg korzystając ze wzoru na różnicę sześcianów, a następnie skorzystamy z kryterium porównawczego:
∞ X
n=1
√3
n2+ 1 − 3
√ n2=
∞ X
n=1
1 (n2+ 1)2/3+ n2/3·√3
n2+ 1 + n4/3 ¬
¬
∞ X
n=1
1 (n2+ 0)2/3+ n2/3·√3
n2+ 0 + n4/3=1 3·
∞ X
n=1
1
n4/3< +∞ , bo 4/3 > 1.
Odpowiedź: Dany w treści zadania szereg jest zbieżny.
Dzień 21 (czwartek 16 kwietnia 2020) - 189 - Strony 183-189
