Transformata Fouriera funkcji całkowalnych

Transformata Fouriera funkcji całkowalnych

zadania na ćwiczenia

Zad. 1. Oblicz transformatę Fouriera funkcji f (x) = 1I_[a,b](x).

Zad. 2. Niech f (t) = (1 − t²)1I_[−1,1](t). Udowodnij, że f (ξ) =ˆ 1

π²ξ²

sin 2πξ

2πξ − cos 2πξ

!

.

Zad. 3. (*) Wyznacz transformatę Fouriera funkcji f (x) = e^−ax2, a > 0.

Zad. 4. Wyznacz transformatę Fouriera funkcji f (x) = 1

1 + x².

Na podstawie uzyskanego wzoru oblicz transformaty funkcji

g(x) = x

(1 + x²)² i h(x) = 1 1 + (x − a)². Zad. 5. (*) Wyznacz transformatę Fouriera funkcji

f (x) = x1I_[−a,a](x)

i na podstawie wyznaczonego wzoru oblicz transformaty funkcji f₁(x) = x1I[⁻_2π^{1 ,}_2π¹ ](x), f₂(x) =

x π − 1

2π



1I_[0,1](x) oraz wyznacz transformaty tych transformat.

Zad. 6. Wyznacz f ∗g_n, gdzie f = 1I_[−1,1], g_n= 1I_[−n,n], n ∈ N, i transformatę tego splotu.

Zad. 7. Niech

f (t) = sin 2πλt πt dla λ > 0. Wyznacz f ∗ f .