Stanisław GA W IEJNO W ICZ , W iesław K URC, Lidia PANKO W SKA Uniwersytet im. A dam a M ickiewicza, Poznań
DWUKRYTERIALNE SZEREGOWANIE ZADAŃ CZASOWO- ZALEŻNYCH
S treszczenie. W pracy rozważany je st jednom aszynow y problem szeregow ania zadań czasowo-zależnych z je dnoczesną m inim alizacją dwu kryteriów. Czas wykonywania Pj zadania j je s t funkcją czasu rozpoczęcia t tego zadania, p j= l+ a jt, gdzie a j > 0 dla j= 0 ,l,2 ,...,n . Zadania s ą niepodzielne, niezależne, nie m a czasów gotowości ani linii krytycznych. K ryterium optymalności uszeregowania ||-H(x) je st w ażoną su m ą kryteriów C max oraz ZCj postaci ||C||(X) = kZCj + (l-k ) C max, gdzie k e [0,1] je st dowolną, ustaloną liczbą rzeczywistą, a C je st w ektorem czasów zakończenia zadań.
Przedstawiono tw ierdzenia mówiące, iż istnieje takie ko> 0, że dla w szystkich X e [0, ko] problem ten je s t rozwiązywalny w czasie 0 (nlogn) oraz takie k | < 1, że dla wszystkich X e [ k ;,l] optym alne uszeregowanie dla tego problem u je s t V -ksztahne.
Podano także dolne i górne oszacowania stosunku wartości kryterium ||-||(xj do wartości kryteriów C max oraz ZCj.
BICRITERION TIM E-D EPEN DEN T SCHEDULING
S um m ary . In the paper a single machine tim e-dependent scheduling problem with sim ultaneous m inim ization o f two criteria is considered. Processing tim e pj o f jo b j is a function o f the starting tim e t o f the job, p j= l+ a jt, where a j > 0 for j= 0 ,l,2 ,...,n . The jobs are nonpreem ptable, independent, there are neither ready tim es nor deadlines. The criterion o f a schedule optim ality ||-||(>.) is a weighted sum o f Cmax and ZCj criteria,
||C||(x)= X ZCj + (1-A.)Cmax , w here X e [0,1] is an arbitrary, fixed real num ber and C is a vector o f com pletion tim es o f jobs.
There are presented theorem s saying that there exists Xq > 0 such that for all X e [0, k 0] the problem is solvable in O(nlogn) tim e and kj < 1 such that for all k e [ k i,l] an optimal schedule for the problem has a V-shape. There are also given low er and upper bounds for the ratio o f values o f the criterion ||-||(x) and values o f Cmax and ZCj criteria.
152 S. Gawiejnowicz, W. Kurc, L. Pankowska
1. Wstęp
Teoria szeregow ania zadań pow stała w połow ie lat pięćdziesiątych ubiegłego wieku w celu rozw iązyw ania problem ów napotykanych w ówczesnej praktyce przemysłowej. Do głów nych założeń tej teorii należą m iędzy innymi dwa: 1) czasy wykonywania zadań są stałym i, znanym i z góry w ielkościam i, 2) tylko jedno kryterium je st stosowane do oceny jakości uszeregow ania [3],[25].
Założenie dotyczące niezm ienności czasów wykonywania zadań silnie ogranicza obszar stosowalności teorii, istnieje bow iem w iele praktycznych problem ów szeregowania, w których czasy w ykonyw ania s ą zm ienne. Zm ienność ta m oże być spow odow ana albo w łasnościam i problem u, albo faktem wykonywania tych zadań na m aszynach o zmiennej prędkości [8], [9]. Jednym z nurtów współczesnej teorii szeregow ania zadań, w którym nie je s t spełnione założenie o niezm ienności czasów wykonywania, je st szeregowanie zadań czasowo-zależnych (ang. tim e-dependent scheduling). W tym przypadku czas wykonywania
zadania je st opisany pew n ą funkcją zależną od czasu rozpoczęcia wykonyw ania tego zadania [1], [9].
D rugie założenie, m ów iące o stosowaniu tylko jednej funkcji kryterialnej, jest nieco nierealistyczne, poniew aż bardzo często stosowanie tylko jednego kryterium optymalności je s t niewystarczające. Stąd m odele szeregowania zadań, w których m am y do czynienia z dw om a bądź więcej kryteriami, s ą niezbędnym i narzędziami do budow ania bardziej rzeczyw istych m odeli procesów przem ysłowych [15].
G łów nym celem tej pracy je st przedstaw ienie pew nego dwukryterialnego problemu szeregow ania zadań czasowo-zależnych. Problem ten m ożna sform ułow ać następująco. Dana je st je d n a m aszyna oraz zbiór zadań, które m ają zostać wykonane na tej maszynie. Czasy w ykonyw ania zadań s ą czasowo-zależne i m a ją postać ppl+ocjt, gdzie t oraz tXj> 0 oznaczają odpow iednio, czas rozpoczęcia w ykonyw ania zadania oraz jego współczynnik wydłużenia (ang. deterioration rate), j= 0 ,l,...,n . N ależy znaleźć m inim alną w artość normy ||C||(x)= XEQ+
(l-X )C max, dla dow olnego, ale ustalonego X e [0 ,l], gdzie C=[Co,Ci,...,Cn]T oznacza wektor czasów zakończenia zadań. M inim alizacja ta je st dokonyw ana po w szystkich permutacjach danego ciągu a , gdzie a = (a o ,a i,...,a n) je st ciągiem w spółczynników wydłużenia poszczególnych zadań.
Opisując problem y szeregow ania zadań czasowo-zależnych będziem y stosować notację w prow adzoną w pracy [14], z następującym rozszerzeniem . W drugim i w trzecim
polu tej notacji będziem y podawać, odpowiednio, postać funkcji opisującej czas wykonywania zadania oraz postać funkcji kryterialnej. Przykładow o, rozważany problem będzie w tej notacji oznaczany symbolem 1| p j= l+ a jt | ||j|(X).
Zanim przejdziem y do przedstaw ienia głównych rezultatów pracy, krótko om ówim y szeregowanie dw ukryterialne oraz szeregowanie zadań czasowo-zależnych.
2. Szeregowanie dwukryterialne
W praktyce często spotykamy się z problem ami w ymagającymi m inim alizacji dw u lub więcej kryteriów. Przykładow o, naszym celem m oże być nie tylko m inim alizacja kosztów produKcji, ale jednocześnie m aksym alizacja zysków. Podobnie, zwykle interesują nas uszeregowania, w których nie tylko łączny czas zakończenia w szystkich zadań je st minimalny, ale także nie m a zadań spóźnionych. Stąd też duże znaczenie praktyczne dwukryterialnego szeregow ania zadań [15]. M im o iż pierw sza praca z tej dziedziny [24], dotycząca problem u l|L max < 0|ECj, została opublikow ana ju ż w 1956 roku, aż do początku lat osiemdziesiątych nie dokonano istotnego postępu. Obecnie ta gałąź teorii szeregow ania zadań jest już samodzielnym obszarem badań, z bogatą literaturą [7], [18], [22],
Zazwyczaj kryteria, które chcem y m inim alizow ać, nie s ą zgodne (ang. agreeable), tzn.
wartość jednego kryterium wzrasta, podczas gdy wartość innego m aleje. Stąd wynika potrzeba znalezienia pew nego kom prom isu pom iędzy w artościam i ■ interesujących nas kryteriów. Znane są dw a podejścia do problem u jednoczesnej m inim alizacji dwu lub więcej kryteriów. W pierwszym z nich wybieramy najpierw kryterium uw ażane za istotniejsze, po czym poszukujemy optym alnego uszeregow ania z punktu w idzenia tego kryterium.
Następnie, w zbiorze uszeregow ań optymalnych z punktu w idzenia pierw szego kryterium staramy się znaleźć uszeregow ania optym alne ze w zględu na drugie kryterium. To podejście nosi nazwę szeregow ania hierarchicznego (ang. hierarchical scheduling). Istnieje także specjalny jego przypadek, nazywany szeregowaniem dualnym (ang. dual scheduling), w którym zamiast znajdow ania optim um bardziej istotnego kryterium ograniczamy jego wartość przed rozpoczęciem poszukiw ania uszeregow ania optymalnego ze w zględu na drugie kryterium.
154 S. Gawiejnowicz, W. Kurc, L. Pankowska
W drugim podejściu, nazywanym jednoczesną m inim alizacją (ang. simultaneous m inim izatioń), dokonujem y agregacji badanych kryteriów w jedno nowe kryterium, będące najczęściej w ażoną sumą, w której wagi określają istotność poszczególnych kryteriów.
W ięcej szczegółów na tem at szeregowania dwukryterialnego podaje literatura, zob. np.
[7], [18]. Przegląd prac dotyczących szeregow ania wielokryterialnego m ożna znaleźć w [22],
3. Szeregowanie zadań czasowo-zależnych
N iezależnie od liczby kryteriów stosowanych do oceny jakości uszeregowania, zwykle przyjm uje się założenie m ówiące, iż czasy wykonywania zadań s ą ustalonym i, znanymi z góry w ielkościam i. Istnieje jednak w iele praktycznych problem ów, w których wykonywane zadania m ają zm ienne czasy wykonywania. Jednym ze stosowanych podejść do problemu zm ienności czasów wykonyw ania zadań je s t szeregowanie zadań czasowo-zależnych (ang.
tim e-dependent scheduling), w którym czas wykonywania zadania zależy od czasu
rozpoczęcia w ykonyw ania tego zadania, przy czym zależność ta je st opisana pewną nieujem ną funkcją jednej zm iennej.
Szeregowanie zadań czasowo-zależnych je st stosunkowo m łodym nurtem współczesnej teorii szeregow ania zadań, liczącym sobie nieco ponad 20 lat. Pierwszy artykuł z tej dziedziny [19] został opublikowany w języku rosyjskim w 1979 roku i dotycz)’!
szeregow ania zadań na procesorach identycznych oraz dedykowanych, przy założeniu iż czasy w ykonyw ania zadań s ą opisane tą sam ą funkcją. Parę lat później, w 1986 roku, opublikow ano pierw szą pracę w języku polskim [26], pośw ięconą przypadkowi jednego procesora oraz czasów liniowych. W obu przypadkach kryterium optymalności była m inim alizacja długości uszeregowania C max-
W chw ili obecnej literatura (w języku angielskim ) liczy około 40 prac. Większość znanych w yników dotyczy przypadku jednego procesora oraz podstaw owych kryteriów jakości uszeregow ania, takich ja k C max [4], [6], [13], [19], [25], [26], ZwjCj [2] czy ECj [11], [21], [23]. Znane są także prace dotyczące procesorów równoległych [5], [16], [20], dedykow anych [17], szeregow ania zadań czasowo-zależnych z kryteriam i normowymi [12]
czy jed n o czesn ą m inim alizacją dw u kryteriów [10].
W ięcej szczegółów n a tem at szeregowania zadań czasowo-zależnych m ożna znaleźć w literaturze przedm iotu, zob. np. [1], [9].
4. Wyniki pomocnicze
W tym punkcie przedstaw im y definicje pojęć oraz twierdzenia pom ocnicze, które będą wykorzystywane w dalszej części pracy. Ze względu na jej objętość pom ijam y dowody, szczegóły m ożna znaleźć w pracach [10], [11].
Zauważmy, że ze w zględu na postać czasów wykonywania praw dziwe je st następujące równanie rekurencyjne:
Cj = C j.|+pj(C j.i)=l+(l+aj)C j.|=l+ajC j.i, gdziej=l,2,...,n, aj=l+ctj o ra z C o = 1.
To równanie m ożna przedstaw ić w postaci m acierzowej rów nością A (a)C (a)=d(l), gdzie A(a) je st m acierzą dolnotrójkątną, z jedynkam i na głównej przekątnej oraz elementami -a], i=l,2,...,n, bezpośrednio poniżej tej przekątnej, natom iast C (a )= [C o ,C i,...,C n]T oraz d (l)= [l,l,...,l]T to, odpow iednio, w ektor czasów zakończenia zadań dla danego ciągu a oraz wektor n+1 jedynek.
Łatwo spostrzec, że współczynnik ao = 1+cto nie w pływ a na w artość Cj dla j= 0 ,l,2 ,...,n . Stąd, jeżeli dana je s t jakakolw iek perm utacja ciągu a = (ao,ai,a2,...,an), optym alna strategia polega na ustaw ieniu na pozycji 0 największego elem entu ciągu a [21], Biorąc to pod uwagę, począwszy od tej chwili, będziem y zakładać, że aojest największym elem entem ciągu a oraz rozważać tylko ciąg a=(ai,a2,...,an).
Macierz A(a) je s t odwracalna, zatem wykorzystując postać macierzy odwrotnej A '1 (a) możemy podać form ułę opisującą poszczególne elementy w ektora C(a)= A '1 (a)d(l):
i
Ci(a) = ai--ai + a 2 "-ai+—+ai + l = l+ Z ajaj + i---ai
j = l dla ¡=0,1,...,n.
Przypomnimy teraz definicję normy H óldera lp dla w ektora x e R n.
Definicja 1. N iech 1 < p < +co. N orm ą lp w ektora x=(xi,X2,...,xn) e R n nazyw am y liczbę
rzeczywistą ||.||p określoną następująco: ||x||p = x(lxipV dla 1 < p < +co oraz ||x||p = max{Xi} dla
|B|' ' ISiSll
p=+oo.
156 S. Gawiejnowicz, W. Kurc, L. Pankowska
Zauw ażm y, że ||C||| = Z Ci oraz ||C||« = Cmax, a w ięc kryteria £ C i oraz Cmax są szczególnym i przypadkami normy lp. N asze kryterium optymalności, ||-||(ł), je st wypukłą kom binacją norm 1| oraz 1®, tzn. ||-||(X) = A.]|j]i + (1-3.)||-||«. Interesuje nas zachow anie się tej normy w przedziale (0,1).
Od tej chwili będziem y zakładać, że n>2, tzn. ciąg a=(ai,a2,...,an) zaw iera co najmniej trzy elem enty takie, że aj > 1 dla i= l,...,n, n > 3. N iech a(aq <-> ar) oznacza wektor a z elem entam i aq oraz ar zam ienionymi miejscami.
L e m a t 1. N iech b= a(aq aq+i), gdzie q = l,2 ,...,n -l. Wtedy różnica Cj(b) - Cj(a) je st równa:
q
—l(ą, - aq+i)-aq+2 ••• a\ dla 1 < q < i < n, (aq+i - aq)- z aj+i... a<,.i dla i = q oraz 0 dla 0 < i < q.
j- o
N a m ocy lem atu 1, sum ując różnice Q (b) - Q (a) dla i= 0,l,...,n, otrzym ujemy formułę opisującą zachow anie się norm y li przy transpozycjach b= a(a<, o aq+i).
L e m a t 2. N iech b= a(aq <-> aq+i), gdzie q = l,2 ,...,n -l. Wtedy zachodzi równość
||C(b)||i -||C (a)||i = ( a q+i - a<,)-( V - z a ^ - ą ) .
7=0 /«v+ł
Poniew aż ||C||oo=Cn, na mocy lematu 1 (dla i=n) otrzym ujemy form ułę opisującą zachow anie się norm y ||C(a)||M przy transpozycjach b= a(aq <-> a<,+i).
L e m a t 3. N iech b= a(a<, 3,,+!), gdzie q = l,2 ,...,n -l. Wtedy zachodzi równość
||C(b)||oo - ||C(a)||«, = (a<, - a ^ i j - a ^ - a , , .
D efinicja 2. Ciąg 7t=(7ti, 7t2,..., n n) nazywamy V-kształtnym, jeżeli istnieje indeks 1 < m < n taki, że w artości nie rosną dla 1 < i < m oraz nie m aleją dla m < i < n.
5. Główne wyniki
N a mocy lem atów 2 i 3 otrzym ujem y formułę opisującą zachow anie się normy ||jlw przy transpozycjach b= a(aq -o- aq+1).
T w ie r d z e n ie 1. N ie c h b = a(aq a,,+i), g d z ie q = l,2,...,n -l. W ó w c z a s p ra w d ziw a je s t równość l|C (b)||(x) - ||C (a)||(x) = (aą+i - a ,) (2,( Z* a j + i . . ^ - "z V i - ai ) ' V
2
- a„)-J. 0 j - q*i
Niech q = l,2 ,...,n -l i niech X e [0,1] będzie ustalone, lecz dowolne. Zdefiniujm y funkcję Aq(X) następująco:
Aq(7.)= X( £ aj+i...aq.] - £ aqi.[...aj) - aq+2-..an.
i- 0 J -q + \
Zachowanie się funkcji Aq(X) m a dla nas kluczow e znaczenie, ponieważ określa zachowanie się różnicy ||C(b)||(x) - ||C(a)|](x) (por. lem at 3). W prost z definicji tej funkcji można dowieść następującego wyniku.
Lemat 4. N iech X e [0,1] będzie ustalone, lecz dowolne. W ówczas Aj (X) 5 0 oraz zachodzi ciąg nierówności
A | (X) < A 2 (X) < ... <, A„.i (X).
Na mocy pow yższych rezultatów istotne znaczenie, dla danego ciągu a = (ai,a2,...,a„), ma znalezienie Xq oraz >.1, 0 < Xo < X] < 1 , takich, że Aq (X) < 0 dla wszystkich X 6 [0,Xo] oraz q=l,2,...,n-l, oraz An-i (X) > 0 dla w szystkich X e [X| ,1],
Na początek podam y wynik tego typu, w którym w ystępują dość silne restrykcje na wartości Xq oraz X]. N iech a = m ax{ai,a2,...,a„} oraz a = m in{ai, a2,..., an}. N iech Xo oraz Xi będą zdefiniowane następująco:
a - l Xo —----;----
-n -1 _ 1
a 1
oraz
a - l
Przy powyższych założeniach zachodzą następujące dwa lematy.
Lemat 5. N iech dany będzie ciąg a=(a],a2,...,an) oraz niech Xo będzie określone ja k wyżej.
Wtedy dla q = l,2 ,...,n -l oraz dla wszystkich X £ [0,Xo] zachodzi nierów ność Aq(X) < 0.
Lemat 6. N iech dany będzie ciąg a=(ai,a2,...,an) oraz niech Xj będzie określone ja k wyżej.
Wtedy dla wszystkich X e [X j,l] zachodzi nierówność An.i(X) > 0.
Na podstawie lem atów 5 oraz 6 m ożna udowodnić następujący wynik.
Twierdzenie 2. N iech ciąg a=(ai,a2,...,an) będzie minim alny ze w zględu na norm ę ||.||{X), oraz niech Xo, Xi będ ą zdefiniow ane ja k wyżej. W tedy 0 < Xo < Xi < 1 oraz zachodzą następujące implikacje:
(a) jeżeli X s [0,Xo], to ciąg a je st nierosnący, (b)jeżeli X e [X i,l], to ciąg a je s t V-ksztaltny.
158 S. Gawiejnowicz, W. Kurc, L. Pankowska
Co w ięcej, je śli ciąg a zaw iera istotnie różne elementy, to \q < Xi.
Istnieje także m ocniejsza w ersja tw ierdzenia 2, w której podane są bardziej precyzyjne w arunki na m onotoniczność oraz V-kształtność optymalnego ciągu. W ym agają one jednakże dodatkow o O(nlogn) operacji w celu określenia odpowiednich wartości Xo oraz Xi.
Niech dany będzie ciąg a=(ai,a
2
,...,an). Zdefiniujmy funkcjonał X(a) następująco:n-2 j
^ (a) = ( £ aj+t...an-2) •
j-0N iech, ponadto,
k ( a . ) = m in {A.(a7t)} o r a z k ( a * ) = max { k (an ) } .
7 t e n n n e n n
W ów czas praw dziw e je st następujące
T w ie rd z e n ie 3. N iech ciąg a=(ai,a2,...,an) będzie minim alny ze w zględu na norm ę ||.||(X), oraz niech X(a>), X(a') b ęd ą zdefiniow ane ja k wyżej. W tedy zachodzą następujące implikacje:
(a) jeżeli X e [0, k(a*)], to ciąg a je st nierosnący, (b) jeżeli X e [X (a'),l], to ciąg a je st V-kształtny.
Co w ięcej, 0 <?^>< X(a') oraz X(a‘) < Xi < 1, oraz powyższe nierów ności s ą ostre, o ile ciąga zaw iera istotnie różne elementy.
Przedstaw ione dotąd wyniki były warunkam i koniecznymi na optymalność ciągu a, tzn. zakładaliśm y, iż ciąg a je s t optymalny, a następnie pokazywaliśmy jego własności.
K olejne tw ierdzenie podaje także w arunek dostateczny.
T w ie rd z e n ie 4. W arunkiem dostatecznym na to, by ciąg a=(ai,a2,...,an) był optymalny w zględem norm y ||.||(\), X e [0 ,1 ], je s t to, by a był nierosnący oraz by 0 < X < X(a>).
N a koniec przedstaw im y twierdzenie dotyczące dolnych i górnych oszacowań stosunku wartości normy ||-||(x) do wartości kryteriów C max oraz ECj. N iech C =[Co,Ci,...,C„]T.
T w ie rd z e n ie 5. D la dow olnego X e [0 ,1 ] zachodzą nierówności:
Nierówności te pozw alają na otrzym anie wielu użytecznych zw iązków pomiędzy wartościami poszczególnych kryteriów: ||C||i, ||C||W oraz ||C||(j.), szczegóły zob. [10], [11].
6. Uwagi końcowe
Zauważmy, że je śli chcem y rozważać problem jednoczesnej m inim alizacji norm li oraz I» (tzn. kryterigw ECj oraz Cmax), to przedstawiony w pracy przypadek norm y ||.||(x) je st wystarczająco ogólny. Istotnie, ponieważ
« III + ¿ f i k - ( f l + 6 ) ( * 11-11. + ^ ll-ll«),
to kładąc A.=^_ m ożem y zastosow ać podejście opisane w niniejszej pracy dla dowolnego kryterium postaci a||.|)i + 6||.||», gdzie a i b s ą dowolnymi dodatnimi liczbami rzeczywistymi.
Otwarty pozostaje problem hierarchicznej m inim alizacji kryteriów ||.||i oraz ||.||oo, tzn. problem 1| pj=l+cxjt | ||.||i -» ||.||„. Przypuszczamy, iż je st on co najmniej N P-trudny w zwykłym sensie.
Adres do korespondencji: W ydział M atem atyki i Informatyki, U niw ersytet im. A dam a M ick iew icza, ul.
Umultowska 87 , 6 1 -6 1 4 Poznań, e-m ail: stgaw iej@ am u.edu.pl.
Praca została c z ę ś c io w o sfinan sow ana z grantu G N -0 5 /2 0 0 2 W ydziału M atematyki i Informatyki Uniwersytetu im. A dam a M ick iew icza w Poznaniu oraz grantu K B N nr 8T 11A 0 1 6 1 8 .
LITERATURA
1. Alidaee B.,W om er N .K.: Scheduling with tim e dependent processing tim es: R eview and extensions. Journal o f the Operational Research Society, 50,1999, pp. 711-720.
2. Bachman A., Janiak A., Kovalyov M .Y.: M inim izing the total weighted com pletion time o f deteriorating jobs. Inform ation Processing Letters, 81,2 0 0 2 , pp. 81-84.
3. Błażewicz J., Ecker K.H., Pesch E., Schm idt G., W ęglarz J.: Scheduling Com puter and Manufacturing Processes. Springer, Berlin 2001.
4. Browne S., Yechiali U.: Scheduling deteriorating jo b s on a single processor. Operations Research, 38, 1990, pp. 495-498.
5. Chen Z-L.: Parallel m achine scheduling w ith tim e dependent processing tim es. Discrete Applied M athem atics, 70, 1996, pp. 81-93. (Erratum: Discrete A pplied M athem atics, 75,1996, p. 103).
160 S. Gawiejnowicz, W. Kurc, L. Pankowska
6. C heng T.C.E., D ing Q.: Single machine scheduling w ith step-deteriorating processing tim es, European Journal o f Operational Research, 134, 2001, pp. 623-630.
7. D ileepan P., Sen T.: Bicriterion static scheduling research for a single m achine. Omegą 16, 1988, pp. 53-59.
8. G aw iejnow icz S.: A note on scheduling on a single processor w ith speed dependent on a num ber o f executed jobs. Information Processing Letters, 57, 1996, pp. 297-300.
9. G aw iejnow icz S.: B rie f survey o f continuous models o f scheduling. Foundations of Com puting and D ecision Sciences, 2 1 ,1 9 9 6 , pp. 81-100.
10. G aw iejnow icz S., Kurc W., Pankow ska L.: Bicriterion approach to a single machine tim e-dependent scheduling problem . In: Chamoni P. et al. (eds.), Operations Research Proceedings 2001. Springer, Berlin, 2002, pp. 199-206.
11. G aw iejnow icz S., K urc W ., Pankow ska L.: Approxim ate solution o f linear time- dependent scheduling problem subject to the total com pletion tim e minimization.
Report no. 113/2001, Faculty o f M atehm atics and Com puter Science, Adam M ickiew icz U niversity, Poznań, Poland.
12. G aw iejnow icz S., Kurc W ., Pankow ska L., Suwalski C.: A pproxim ate solution o f time- dependent scheduling problem for lp-norm -based criteria. In: Fleischm ann B. et al.
(eds), O perations Research OR2000. Springer, Berlin 2001, pp. 372-377.
13. G aw iejnow icz S., Pankow ska L.: Scheduling jo b s w ith varying processing times.
Inform ation Processing Letters, 54,1 9 9 5 , pp. 175-178.
14. G raham R.L., Lawler E.L., Lenstra J.K., Rinnooy Kan A.H.G.: Optimization and approxim ation in determ inistic sequencing and scheduling theory: A survey. Annals of Discrete M athem atics, 5, 1979, pp. 287-326.
15. Hoogeveen J.A.: Single machine bicriteria scheduling. CW I, A m sterdam 1992.
16. K ononov A.: Scheduling problem s w ith linear increasing processing times. In:
Zim m erm ann U. et al. (eds), O perations Research 1996. Springer, Berlin, 1997, pp.
208-212.
17. K ononov A., G aw iejnow icz S.: N P-hard cases in scheduling deteriorating jo b s on dedi
cated m achines. Journal o f the Operational Research Society, 52,2 0 0 1 , pp. 708-717.
18. Lee C-Y., Vairaktarakis G.: Com plexity o f single machine hierarchical scheduling: A survey. In: Pardalos P.M. (ed.), Com plexity in N um erical Optimization. World Scientific, Singapore 1993, pp. 269-298.
19. M elnikov O.I., Shafransky Y.M.: Param etric problem o f scheduling theory.
Kibernetika, 6, 1979, pp. 53-57 (in Russian).
20. M osheiov G.: M ulti-m achine scheduling w ith linear deterioration. Infor, 36, 1998, pp.
205-214.
21. M osheiov G.: V -shaped policies for scheduling deteriorating jobs. Operations Research, 39, 1991, pp. 979-991.
22. N agar A., Haddock J.,' Heragu S.: M ultiple and bicriteria scheduling: A literature survey. European Journal o f Operational Research, 81,1 9 9 5 , pp. 88-104.
23. Ng C.T., Cheng T.C .E., Bachm an A.: Three scheduling problem s w ith deteriorating jobs to m inim ize the total com pletion time. Information Processing Letters, 81, 2002, pp. 327-333.
24. Smith W.E.: V arious optim izers for single-stage production. Naval Research Logistics Quarterly, 3, 1956, pp. 59-66.
25. Tanaev V.S., Gordon V .S., Shafransky Y.M.: Scheduling Theory. Single-stage Systems.
Kluwer, D ordrecht, 1994.
26. Wajs W.: W ielom ianow y algorytm dla dynamicznego problem u sekwencyjnego.
Archiwum A utomatyki i Telem echaniki, 31, 1986, ss. 209-213.
Recenzent: D r hab. inż. Czesław Smutnicki
Abstract
In the paper a single machine tim e-dependent scheduling problem w ith sim ultaneous minimization o f tw o criteria is considered. Processing tim e pj o f jo b j is a function o f the starting time t o f the jo b , p j= l+ a jt, w here a.j > 0 for j= 0 ,l,2 ,...,n . The jo b s are nonpreem ptable, independent, there are neither ready times nor deadlines. The criterion o f a schedule optimality ||-||p.) is a weighted sum o f Cmax and ECj criteria, | | C | | (a.) = A ECj + (l-A)Cma.x , where X e [0,1] is an arbitrary, fixed real num ber and C is a vector o f com pletion tim es o f jobs.
Basing on som e prelim inary results concerning values o f differences between two vectors under norm s l i , 1« and ||j|p.) there is presented the following m ain result o f the paper.
cl—
1
cl — 1 —Let Ao and At be defined as follows: \o = --- and Xi = — , w here a and a are, a — 1 a " - '- !
respectively, the m axim al and the minim al elem ent in the sequence a=(ai,a2,...,a„).
Theorem 2. Let the sequence a=(ai,a2,...,a„) be optim al w ith respect to the norm ||.j[(^) and let Ao, At be defined as above. Then 0 < Ao ^ At < 1 and there hold the follow ing implications:
(a) if A e [0,Ao], then the sequence a is nonincreasing, (b) if A e [Ai,l], then the sequence a has a V-shape.
Moreover, if the sequence a contains distinct elements, then Ao < Ai.
162 S. Gawiejnowicz, W . Kurc, L. Pankowska
There is also presented stronger version o f Theorem 2 in which more precise conditions on m onotonicity and V -shapeness o f an optim al sequence are given.. These conditions need, how ever, O(nlogn) addtional operations in order to estim ate appropriate values o f Xq and Xj. Let \ ( a ) = ( Z aj+i...an-2) ‘ l , ^ ( a . ) = m in {Man)} and
>° Tt eTI n
X(a*) = m ax for a given sequence a=(ai,a2,...,an).
" e n n
T h e o re m 3. Let the sequence a=(ai,a2,...,a„) be optim al with respect to the norm ||.||(\) and let X(a*), X(a') be defined as above. Then there hold the following implications:
(a) if X € [0, X(a.)], then the sequence a is nonincreasing, (b) i f X e [X(a’) ,l] , then the sequence a has a V-shape.
M oreover, 0 < Xq < L(a’) and X(a’) < X[ < 1, and the above inequalities are sharp, whenever the sequence a contains distinct elem ents only.
In the paper there are also presented two other results: a sufficient condition for optim ality and a low er and an upper bound on the ratio between the value o f the norm ||-||(x) and values o f C ma)! and SCj criteria.
