Metoda badania drgań własnych układu dyskretno-ciągłego

Seria: M E C H A N IK A z. 115 N r kol. 1230

Jerzy C A B A N SK I

K atedra M echaniki Stosow anej

A kadem ia T echniczno - R olnicza w Bydgoszczy

M E T O D A B A D A N IA D R G A Ń W ŁA SN Y C H U K Ł A D U D Y S K R E T N O - C IĄ G Ł E G O

Streszczenie. W pracy przedstaw iono m eto d ę rozw iązania zagadnienia drgań własnych układu dyskretno-ciągłego z tłum ieniem wiskotycznym. Istotą tej m etody są n ieru ch o m e węzły, k tó re tw orzą się na zespolonych w ięziach sprężystych w trakcie drgań własnych układu. W opracow aniu m etody zastosow ano funkcje zesp o lo n e zm iennej rzeczywistej.

M E T H O D O F R E S E A R C H O F F R E E V IB R A T IO N O F D IS C R E T E - C O N T IN U O U S S Y STE M

Sum m ary. In this p a p e r is p resen ted a m ethod o f a solution o f a p roblem of a fre e vibration o f a discrete-continuous system with dam ping. A n essence o f this m eth o d a re im m ovable nodes w hich creating on an elastic com plex constraints in tim e o f a free vibration o f a system. In this m eth o d a re app licatio n th e com plex functions o f real variable.

METOZI H C C JIE 3 0 B A H H H CBOBOZIHbX K O JIE E A H H H 2 H C K P E T H 0 - H E flP E P H B H O H C H C T EM H

PeąioM e. B p a 6 o T e n p e a c r a B t i e H o M eT

02

t p e u ie H H a 3aztauH c b o 6 o z ih h x KOJie6aHHił ztncKpoTHO - H e n p e p u B H o fl c tt c r e M u c b h 3 k h m rain eH H eM . CyW,HOCTbK> 3 T 0 r 0 MOTOZta HBJIfllOTCft IienOiIBH>KHb[He y3HH, KOTOpblHG co32taB aiO T ca Ha KOMnttecHHX y n p y rH X CBH3ax b o BpeMH CBoboitH Hx K oiiebariH H c h c t g m h . B p a 3 p a 6 o T K e M eTozta rtp H M eH en o KOMrnteKCHyio

$yHKit,Hio B eiąecTB eH H oH n e p e M e n tio f i.

W konstrukcjach m echanicznych i budow lanych w ystępują najczęściej układy dyskretno-ciągłe.

U k ład dyskretno-ciągły składa się z układu ciągłego z m asą rozm ieszczoną w sposób ciągły o raz z układów dyskretnych o m asach skupionych.

U k ład em ciągłym m oże być struna, p ręt, belka, pow łoka, tarcza, płyta, korpus maszyny, ram a itp.

R ozw iązanie problem u brzegow ego i początkow ego układu dyskretno-ciągłego z tłum ieniem je s t zadaniem skom plikow anym [1,2].

G łów ną przyczyną tych kom plikacji są trudności natury m atem atycznej spow odow ane w ystępow aniem tłum ienia oraz opisem zjawiska drgań sprzężonym układem rów nań różniczkowych.

Aby uniknąć tych trudności p odjęto p ró b ę opracow ania prostszej m etody rozw iązania zagadnienia drgań własnych układu dyskretno-ciągłego.

2. O PIS M E T O D Y

U k ład em dyskretno-ciągłym z tłum ieniem w postaw ionym zadaniu je st belka pryzm atyczna z m asą rozm ieszczoną w ciągły sposób o raz m asa skupiona p ołączona z belką w ięzią lepko-sprężystą K elvina-V oigta (rys. 1).

Rys. 1 Fig. 1

Rys. 2 Fig. 2

Zjaw isko drgań własnych układu dyskretno-ciągłego (ry s.l) je st opisane sprzężonym układem rów nań różniczkowych

(1)

gdzie: E - m oduł Y ounga m ateriału belki, I - m o m en t bezw ładności p rzekroju poprzecznego belki, p - m asa belki przypadająca na je d n o stk ę długości belki, m - m asa skupiona, c - współczynnik tłum ienia elem entu lepkiego, k - współczynnik sztywności elem en tu sprężystego, w = w (x,t) - funkcja ugięcia belki, wQ = w 0(t) - funkcja przem ieszcze­

nia masy skupionej, t - czas, d - d elta D iraca.

Z a stę p u ją c przem ieszczenie rzeczywiste w =w (x,t) i wQ= w u(t) odpow iednio przem iesz­

czeniem zespolonym u = u (x ,t) i u0 = u 0(t) oraz stosując podstaw ienie

w w yrazach zaw ierających tłum ienie, układ rów nań (1) przyjm ie zapis w zbiorze funkcji zespolonych:

u = Z e iv' (2)

+

1*^-7

^{- X(Ko-“)}

6

^{(*-*o) =}

0

^>

d r

(3)

gdzie X = k + i v c (4)

jest zespolonym współczynnikiem sztywności więzi (rys. 2), natom iast

v = u + ih (5)

jest zespoloną częstością drgań własnych układu, zaś

Z = X + i Y oraz Z0 = X0 + i Y0 (6)

jest odpow iednio zespolona am plituda drgań belki i masy skupionej.

Tworzący się w trakcie drgań na zespolonej więzi w ęzeł "O" [3,4] dzieli układ dyskretno-ciągły na układ ciągły i układ dyskretny o jednym sto p n iu swobody (rys. 2).

E i* ! L + v Ź ! L - x l U 6 ( x - x 0) = 0 . (?)

dx

4

^dt2

N ato m iast rów nanie różniczkow e drgań własnych układu dyskretnego, tj. oscylatora harm onicznego m a postać:

d2u„

dt

Z e sp o lo n a sztywność więzi oscylatora harm onicznego określa wzór:

X2 = v2tn . (9)

Z e sp o lo n a sztywność dodatkow ej podpory belki wyznacza się za p o m o cą praw a szeregow ego połączenia więzi, a m ianowicie

X2X

x. = —ti • (i®)

x2- x

Po podstaw ieniu (4) i (9) do (10) otrzym uje się zależność:

_ v

2

M ( h i v c ) m )

1

v m - ( k ^{2 n} + ivc)^{\ '}

P odstaw iając pierwszy w zór (2) do (7) otrzym uje sie rów nanie różniczkow e zespolonych am plitud drgań belki

E I ^ Ą - v2 p Z + x l Z b ( x - x 0) = 0 . (12) dx

R ozw iązanie rów nania różniczkowego (12) m a postać:

Z = /tsin X x + Bc os Xx + C S h X x + D C h X x + X~— Z( x0) [ S h \ ( x - x Q) - s i n X ( x - x 0) } H ( x - x 0) , I X 2 EJ

gdzie:

X

El ’

(14)

zaś H (x-xq) je st funkcją H eaviside’a.

P o d staw ą rozw iązania problem u brzegow ego są następ u jące w arunki brzegow e:

d 2Z d x 2 Z,.o =

0

^,

Z,./ = o .

2

^lx-o

0

^•

d 2Z

>i = o ,

(15)

P o podstaw ieniu funkcji (13) do (15) otrzym uje się je d n o ro d n y układ liniowych rów nań algebraicznych, który w zapisie m acierzow ym m a postać:

A X = 0 , ( l fi)

gdzie: X je s t w ek to rem kolum now ym niewiadom ych A, C i Z (x), natom iast sin A i S h l l Xi

A =

- sin A/ S h X l sinA x0 S h X x 0

2 A3£ /

*i 2 A3£7

'— [S /iA (1 - x0) - sin A( 1 - x 0)

[S/tA M - x 0) + s in A (l-;c 0)

j -1

(17)

jest m acierzą charakterystyczną układu rów nań (16).

N ależy podkreślić, że ze w zględu na B = D = 0 układ rów nań (16) zo stał zredukow any do trzech rów nań.

Z esp o lo n e w artości (częstości) w łasne wyznacza się z rów nania charakterystycznego

det A = 0 . (18)

P odstaw iając częstości w łasne do (13) otrzym uje się zespolone form y drgań własnych belki.

Z esp o lo n e postacie drgań własnych masy skupionej w yznacza się z w arunku rów nowagi w ęzła "O", a m ianowicie

Z ("> K ) X , = -Zon)X2 . (19)

gdzie: Z (n)(xQ) je st zespoloną postacią drgań własnych belki, n ato m iast Z 0ln) jest

układu dyskretno-ciągłego z tłum ieniem je st analogiczna do przypadku układu dyskretno-ciągłego b ez tłum ienia. Jed n ak ostatecznym rozw iązaniem tego pro b lem u jest tylko część rzeczyw ista rozw iązania zespolonego.

L IT E R A T U R A

[1] N izioł J., S nam ina J.: V ibration o f discrete-continous system. "M echanika T eoretyczna i Stosow ana" , 29, 1/2, 1991, ss.149-160.

[2] K asprzyk S.: Jednolity opis drgań układów m echanicznych w klasie funkcji uogólnio­

nych. Zeszyty N aukow e Politechniki Rzeszow skiej, s: M echanika, z. 18, 1989, ss.13-18.

[3] C abański J.: M e to d a w spom agająca p rojektow anie lepko-sprężystych elim inatorów drg ań w ym uszonych belki. Zeszyty N aukow e Politechniki Śląskiej, s: M echanika, z. 103, Gliwice 1991, ss.47-50.

[4] C abański J.: M e th o d o f C alculation o f Basic P aram eters o f V ibration E lim inators by C om plex Functions. Z A M M . Z. angew. M ath. M ech. 73, 4-5, 1993, pp. 148-150.

R ecenzent: D r hab. inż. Jerzy Św ider W płynęło do R edakcji w grudniu 1993 r.

A b stra c t

T he calculations w ere carried out for beam hinge at the ends w ith m asse co nnected to it by visco-elastic constraint descri bed by th e Kelvin - V oigt m odel (fig. 1). T he p h en o m e n o n o f free vibration o f a discrete-continuous system (fig. 1) is d escribed by system o f differential eq u atio n s (1). Substituting (2) into (1) gives a registration in a collection o f th e com plex functions (3). O n the com plex constraints creating th e node "O", [3,4], wich discreting th e discrete-continuous system on two parts: th e continuos system and th e d iscrete system w ith one degrees o f freedom (fig. 2). T h e free vibrations o f the continuous system (th e hinged beam on a su p p o rt with a com plex stiffness k ) are d esrib ed by d ifferential equations (7). T h e differential eq u atio n of th e free vibration of th e d iscrete system has a form (8). T he com plex stiffness of a constraint are derived with form s (9) an d (11). Substituting (2) into (7) obtains the differential eq u atio n of com plex am p litu d e o f a vibration o f a b eam (12). T h e solution o f differential eq u atio n s (12) has a form (13). B o undary conditions (15) quiding to th e hom ogeneous system o f algebraical lin ear eq u atio n s (16). T h e charakteristic m atrix o f th e system o f eq u atio n s (16) is resen ted by a e q u atio n (17). W ith th e ch arakteristic eq u atio n (18) a re calculated com plex frequency o f a free vibration. T h e com plex form o f a free vibrations o f a b eam are derived by halping (13), and co n cen trated mass (19).