1
Wykład III Mechanika
Proste równania ruchu punktu materialnego
Ruch swobody
0 0
) ( )
0 (
) 0 (
p t p p
t p
dt t p d
0
0 0
0
0 2
2
) (
) (
) 0 (
) 0 ) (
( ) 0 (
0 v t v
t v r t r
r t
r
v t
dt v t r d
dt t r md
t
Energia całkowita: const m E p
2
2 0
Ruch pod działaniem stałej siły
t F p t p p
t p
dt F t p
d
0 0
) ( )
0 (
) (
v t v at
t a t v r t r
r t
r
v t
dt v t r d
m a F dt
t r d
t
0
2 0
0
0
0 2
2
) (
2 ) 1
(
) 0 (
) 0 ) (
( ) (
0
Energia potencjalna: V(r)V0FrV0FxxFyyFzz
Energia całkowita:
const r
a m v V
t m a t v r a m t V
a v r m m V
t
E p
2 0 2 0 0 0 2 02 0 0
2 2
1 2
) ) (
2 ( )
(
Ruch harmoniczny
siła działa wzdłuż kierunku x, r(t)x(t),y(t),z(t)
0
0 2
2
) 0 (
) 0 ) (
( ) (
0 r t r
v t dt v
t r d
e x dt k
t r md
t
x
w kierunkach y i z mamy ruch swobodny, wzdłuż x
0 0 2 2
) 0 (
) 0 (
) (
x t x
v t v
x dt k
t x md
x
m
k
2
) cos(
) sin(
) (
)
( 2
2 2
t B t A t x
dt x t x d
A t
v
B t
x
x( 0)
) 0
(
Energia potencjalna: 2 2
0 2
0 2
1 2
) 1
(x V kx V m x
V
Energia całkowita: V x mv kx const
m t
E p
2 ) 2
2 ( )
( 02 02
2
) cos(
) sin(
)
( v0 t x0 t
t
x
2
Wykład III cd. Mechanika
Hamowanie
tracie – siła niepotencjalna
0 0 2 2
) 0 (
) 0 (
) ( )
(
x t
x
v t
v
dt t dx dt
t x md
) 0
0 (
) / ( ) ) (
(
v t
v
m t
dt v t dv
t
t t
v e x t v dt x t x
e v t v
0
0 0 0
0
1 )
' ( ' )
( ) (
Prędkość spada do zera po nieskończonym czasie, ale zasięg jest skończony
) 0 0
( v
x t
x .
Spadanie z tarciem
0 0 2 2
) 0 (
) 0 (
) ( )
(
x t x
v t v
dt t mg dx dt
t x md
) 0
0 (
) ) (
(
v t
v
t v dt g
t dv
0
) (
) / 1ln(
/ 1
v g A
g Ae t v
C t g v
g dt v
dv
t
t t
g e t v x g t x
g e g v
t v
/ 1 )
( ) (
0 0
0
Jeśli v0 g/, spadający obiekt przyspiesza, gdy zaś czy też v0 g/ hamuje.
Po czasie t1/ mamy ruch jednostajny:
gt g x v
t x
t g v
) / (
) (
0 0
Ruch pod działaniem siły Lorentza
1Cząstka naładowana porusza się w porusza się w stałym jednorodnym polu magnetycznym.
Pole jest skierowane wzdłuż osi z czyli B(0, 0, )B , a siła Lorentza ma postać Fq v t( )B. Należy rozwiązać równanie ruch z dwoma warunkami początkowymi:
) , , ( ) 0 (
) 0 ) (
(
) ) (
(
0 0 0 0
0 2
2
0
z y x r t
r
v t
dt v t r d
B t v dt q
t r md
t
1 Hendrik Antoon Lorentz 1853-1928
3
Wykład III cd. Mechanika
Pamiętając, że pole jest w kierunku osi z, składowe równania ruchu wyglądają następująco
2
2
2
2
2
2
( ) ( )
( ) ( )
( ) 0
y
x
d x t
m q v t B
dt d y t
m q v t B
dt d z t m dt
Trzecie równanie mówi, że ruch wzdłuż osi z jest swobodny więc z t( )z0v t0z . Wprowadzając wielkość qB
m , dwa pozostałe równania zapisujemy jako
2
2
2
2
( ) ( )
( ) ( )
d x t dy t
dt dt
d y t dx t
dt dt
Pamiętając, że prędkość to pochodna położenia po czasie, równania ruchu przyjmują postać
) ) (
(
) ) (
(
t dt v
t dv
t dt v
t dv
x y
y x
Jeśli zróżniczkujemy pierwsze równanie to prawą stronę tego równania możemy zstąpić prawą stroną drugiego równania. Podobnie różniczkując po czasie drugie równanie, jego prawą stronę możemy zastąpić prawą strona pierwszego równania. Tak dostajemy
) ) (
(
) ) (
(
2 2
2
2 2
2
t dt v
t v d
t dt v
t v d
y y
x x
Równania na składowe prędkości są dokładnie takie jak wcześniej omówione równanie na składową x położenia w ruchu harmonicznym. Rozwiązania mają więc postać
) cos(
) sin(
) cos(
) (
) sin(
) cos(
) sin(
) (
t C t B t A t v
t C t B t A t v
y x
Wykorzystując warunki początkowe znajdujemy
2 0 2 0 0
0 0
0
0 0
0
) ( ) ( )
cos(
) sin(
) cos(
) (
) sin(
) cos(
) sin(
) (
y x
T T
x y
y
T x
y x
v v
v t
v t v
t v
t v
t v
t v
t v
t
v
4
Wykład III cd. Mechanika
Pamiętając, że prędkość to pochodna położenia po czasie, znajdujemy
) cos(
) sin(
) (
) sin(
) cos(
) (
0 0
0 0
v t v t
D t y
v t v t
C t x
x y
x y
a uwzględniwszy warunek początkowy ostatecznie dostajemy
) cos(
) sin(
) (
) sin(
) cos(
) (
0 0
0 0
0 0
0 0
v t v t
y v t y
v t v t
x v t x
x y
x
x y
y
Równanie toru
Wprowadziwszy wielkości
T x
y v
v R y v y
x
x 0 0 , ~ 0 0 , 0
~ ,
można zauważyć, że spełnione jest równanie toru
xx~
2 y~y
2 R2,które mówi, że w płaszczyźnie x-y ruch odbywa się po kole o promieniu R i środku w punkcie o współrzędnych ( , )x y . Jeśli uwzględnić jeszcze ruch wzdłuż osi z, to stwierdzamy, że cząstka naładowana porusza się w polu magnetycznym po spirali, a właściwie helisie.
Energia cząstki
Energia kinetyczna cząstki dana jest wzorem
2( ) 2 m v t
T . Podstawiwszy znalezione rozwiązanie na składowe prędkości stwierdzamy, że 02
2
T m v const, więc energia cząstki nie ulega zmianie. Do tego wniosku można dojeść na gruncie ogólnego rozumowania. Obliczamy pochodną czasową energii kinetycznej cząstki poruszającej się pod działaniem siły Lorentza
( )
0) ( ) ( ) ) ( ) ( 2 (
)
2(
v t F t qv t v t B
dt t p t d t v
v m dt
d
Stwierdzamy, że energia kinetyczna jest stała, pochodna znika, gdyż siła jest prostopadła do prędkości (F v
). A zatem mówimy, że pole magnetyczne nie wykonuje pracy 0
W
