Lista nr 3 AiR sem.I, studia stacjonarne I stopnia, 2016/17

Lista nr 3 AiR sem.I, studia stacjonarne I stopnia, 2016/17

Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne

1. Zapisać wzory funkcji okresowych przedstawionych na rysunkach:

a) b) c)

d)

2. Narysować wykres funkcji okresowej f o okresie T , jeżeli f (t + kT ) = g(t) dla dowolnego k ∈ Z, przy czym funkcja g jest określona na przedziale o długości T następująco:

a) g(t) =

 a dla 0 ¬ t < 1

ae

^−(t−1)

dla 1 ¬ t < 2 , b) g(t) =







a

b

t dla 0 ¬ t < b a dla b ¬ t < 2b

−

^a_b

(t − 3b) dla 2b ¬ t < 3b c) g(t) =

 sin t dla 0 ¬ t <

^π₂

− cos t dla

^π₂

¬ t < π , d) g(t) =

(

_h

c

t dla 0 ¬ t < c 2h −

^h_c

t dla c ¬ t < 2c 3. Sporządzić wykresy funkcji:

a) f (x) = sin  x − π

4



+ 1, b) f (x) = tg

 x + 4

3 π



, c) f (x) = − ctg  x − π

4



, d) f (x) = 2 sin  π 3 − 2x 

, e) f (x) = | sin x|, f) f (x) = sin |x| + 1, g) f (x) = 

  cos 

x + π 4

 

 , h) f (x) = | sin x|

cos x , i) f (x) = | cos x|

cos x , j) f (x) = sin x + | sin x|, k) f (x) = | sin x| + | cos x|, l) f (x) = | cos x| − | sin x|, m) f (x) = sgn(sin 2x), n) f (x) = sgn 

tg  x − π

4



.

4. Uprościć wyrażenia:

a) 

sin(π + x) + cos  π

2 + x 

²

+



cos(2π − x) − sin  3 2 π − x



2

, b) sin(π − x) sin

³₂

π − x
tg

^π₂

− x
sin

^π₂

+ x
tg

³₂

π + x
tg(2π − x) , c) tg  π

4 − x 2



+ tg  π 4 + x

2



, d) sin

²

 π

8 + x 

− sin

²

 π 8 − x 

, e) cos 

x + π 3

 + cos 

x − π 3



, f) sin 

x + π 3

 + sin 

x − π 3

 ,

g) sin(x − y) − 2 sin x cos y

2 cos x cos y − cos(x − y) , h) sin(x + y) + sin(x − y)

sin(x + y) − sin(x − y) . 5. Sprawdzić tożsamości:

a) cos(α + β) cos(α − β) = cos

²

α − sin

²

β, b) sin α + sin 3α

cos α + cos 3α = tg α, c) sin(α + β) sin(α − β)

sin α + sin β = sin α − sin β, d) 2 sin α − sin 2α

2 sin α + sin 2α = tg

²

α 2 ,

e) 1

1 + tg α tg 2α = cos 2α, f) cos

³

α − cos 3α

cos α + sin

³

α + sin 3α sin α = 3, g) sin α − 2 sin 2α + sin 3α

cos α − 2 cos 2α + cos 3α = tg 2α, h) tg  π 4 − α

2

 + tg  π 4 + α

2

 = 2 cos α , i) 2(sin

⁶

α + cos

⁶

α) − 3(sin

⁴

α + cos

⁴

α) + 1 = 0, j) sin α + sin  2π

3 + α



+ sin  4π 3 + α



= 0.

6. Rozwiązać równania:

a) cos 3x = cos x, b) cos x − √

2 sin x

2 = 1, c) cos x − cos 3x = sin x − sin 3x, d) sin

²

2x − cos

²

x + 1 = 0, e) ctg

²

− tg

²

x = 3

2 , f) sin 2x = cos

⁴

x

2 − sin

⁴

x 2 , g) cos x cos 2x = cos 3x, h) sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0, i) 1 + sin x + cos x = 2 cos  x

2 − π 4

 , j) 1 + tg x

1 − tg x = 1 + sin 2x.

7. Wyznaczyć dziedziny funkcji:

a) f (x) = √

sin 2x, b f (x) = tg 3x

√ 3π − x

²

, c) f (x) = p

1 − cos(3x), d) f (x) = log(16 − x

²

)

√ sin x , e) f (x) = p

log

_a

sin x, f) f (x) = log( √

3 − tg x).

8. Rozwiązać nierówności:

a) | sin x| >

√ 2

2 , b) tg x + sin 2x ­ 2, c) cos

²

x + 2 cos x > 0, d) cos 2x + 3 sin x > −1, e) 5 sin

²

x + sin

²

2x > 4 cos 2x, f) 1 − 2 sin x

cos 2x > 0, g) 2 sin

²

x + sin x − 1 < 0, fh sin

⁴

x + cos

⁴

x ­ 5

8 , i) | sin x| sin x ¬ 1 2 , j) sin 2x − cos 2x + 1

sin 2x + cos 2x − 1 > 0, k) 1 − 4 sin

²

x

cos 2x + cos x < 2, l) sin 3x cos x > sin x cos 3x.

9. Obliczyć:

a) arc sin(0,5), b) arc cos(0,5 √

2), c) arc tg(−1), d) arc ctg( √

3), e) arc sin(−0,5 √ 3), f) arc tg



− 1 3

√ 3

 .

10. Wyznaczyć dziedziny danych funkcji i narysować ich wykresy:

a) f (x) = | arc tg x|, b) f (x) = arc sin(2x + 1), c) f (x) = 2 arc sin  1 3 x

 , d) f (x) = 1

2 arc cos(2x), e) f (x) = π

2 + 2 arc tg(x − 1), f) f (x) = −π + 1

2 arc ctg(x + 2),

g) f (x) = sin(arc sin x), h) f (x) = arc tg(tg x), i) f (x) = tg(arc tg x).