Narz¦dzia algorytmiki, I seria zada« domowych
1. Poka», »e ka»dy n-wierzchoªkowy graf planarny o minimalnym stopniu wierzchoªka 3 zawiera skojarzenie o mocy co najmniej n/3. Poka», »e staªa 3 w mianowniku jest optymalna.
Wskazówka: Wiadomo±ci z wykªadu plus fakt (dowodzony na MD), »e ka»dy dwu- dzielny n-wierzchoªkowy graf planarny ma co najwy»ej 2n − 4 kraw¦dzi.
Uwaga: Je±li nie umiesz pokaza¢ skojarzenia o mocy n/3, mile widziane tak»e skoja- rzenie o mocy n/c, dla mo»liwie maªej staªej c.
2. Niech M = (S, I) b¦dzie niepust¡ rodzin¡ zamkni¦t¡ na branie podzbiorów, oraz r : 2S → N funkcj¡ rz¦du dla rodziny M. Poka», »e M jest matroidem wtedy i tylko wtedy gdy r jest submodularna.
Wskazówka: np.: wªasno±¢ uniformity ⇒ submodularno±¢ ⇒ wªasno±¢ induced circuits.
3. Niech G = (V, E) b¦dzie grafem skierowanym. Niech S, T ⊆ V oraz
I = {X ⊆ T : istnieje |X| rozª¡cznych wierzchoªkowo ±cie»ek z S do X}.
Par¦ (T, I) nazywamy gammoidem. Poka», »e ka»dy gammoid jest matroidem.
Wskazówka: Skorzystaj z zadania 2.
4. Dane s¡ trzy matroidy M1 = {S,I1}, M2= {S,I2}, M3 = {S,I3}oraz liczba naturalna k. Zaªó»my, »e w ka»dym z tych matroidów mo»na w czasie wielomianowym sprawdzi¢, czy dany zbiór jest niezale»ny. Poka», »e sprawdzenie, czy istnieje F ∈ I1 ∩I2 ∩I3
taki, »e |F | ≥ k jest problemem NP-zupeªnym.
Wskazówka: cie»ka Hamiltona.
Zasady gry
1. Rozwi¡zania powinny by¢ przygotowane starannie. Rozwi¡zania nale»y skªada¢ jako wydruk dokumentu przygotowanego elektronicznie (najlepiej w systemie LATEX). Roz- wi¡zania prosz¦ oddawa¢ do 06.11.2013 o godz. 10.15 (przed wykªadem).
2. Swoje rozumowania nale»y uzasadnia¢, a na ocen¦ b¦dzie miaªa wpªyw jako±¢ prezen- tacji.
3. Zadania powinny by¢ rozwi¡zywane samodzielnie i indywidualnie. W szczególno±ci zabronione jest korzystanie z gotowych rozwi¡za« (np. z literatury lub internetu).
