Zadania - lista 6
1. Stosuj ac zasad e indukcji matematycznej poka», »e dla ka»dej liczby naturalnej n liczba 10
n+1− 4 jest podzielna przez 6.
2. Udowodnij, »e dla ka»dej liczby naturalnej n liczba 2
6n+1+ 3
2n+2jest podzielna przez 11.
3. Udowodnij, »e dla ka»dej liczby naturalnej n ∈ N
+liczba 11
n+1+ 12
2n−1jest podzielna przez 133.
4. Poka», »e dla ka»dej liczy naturalnej n ∈ N
+liczba 10
n+ 4
n− 2
6 jest caªkowita.
5. Poka», »e dla dowolnej liczby n ∈ N
+1 + 3 + 3
2+ . . . + 3
n= 3
n+1− 1
2 .
6. Poka», »e dla dowolnej liczby n ∈ N
+1
2+ 2
2+ 3
2+ . . . + n
2= n(n + 1)(n + 2)
6 .
7. Udowodnij, »e dla dowolnej liczby naturalnej n ∈ N
+speª- niona jest równo±¢
1·1+2·3+3·7+. . .+n·(2
n−1) = (n−1)·2
n+1+2− n(n + 1)
2 .
1
8. Poka», »e dla dowolnej liczby naturalnej n wi ekszej od 1 prawdziwa jest nierówno±¢
1
n + 1 + 1
n + 2 + 1
n + 3 + . . . + 1
n + n > 13 24 .
9. Udowodni¢, »e dla ka»dej liczby naturalnej dodatniej n praw- dziwa jest nierówno±¢ Bernoulliego
(1 + x)
n≥ 1 + nx, x ∈ (−1, +∞).
10. Udowodni¢, »e dla ka»dej liczby naturalnej dodatniej n praw- dziwa jest nierówno±¢
n
X
k=1
√ 1
k ≥ √ n.
11. Udowodnij, »e dla ka»dej liczby naturalnej n > 1 i liczby rze- czywistej x nie b ed acej caªkowit a wielokrotno±ci a π zachodzi nierówno±¢
| sin nx| < n · | sin x|.
12. Udowodnij, »e je»eli (a
n) jest ci agoem arytmetycznym i ka»dy jego wyraz jest ró»ny od zera, to
1
a
1a
2+ 1
a
2a
3+ . . . + 1
a
n−1a
n= n − 1 a
1a
n.
13. Wyka», »e dla ci agu arytmetycznego (a
n) o wyrazach dodat- nich zachodzi równo±¢
√ 1
a
1+ √
a
2+ 1
√ a
2+ √
a
3+ . . . + 1
√ a
n−1+ √
a
n= n − 1
√ a
1+ √ a
n.
2
