Dla danych r´ ownoodleg lych punkt´ ow a = x 0 < x 1 < · · · < x m = b definiujemy na przestrzeni funkcji rzeczywistych (semi-) iloczyn skalarny jako

(1)

Zadanie laboratoryjne 2 (za 10 punkt´ ow) termin: 27 stycznia 2017

Lab. 2.

Dla danych r´ ownoodleg lych punkt´ ow a = x 0 < x 1 < · · · < x m = b definiujemy na przestrzeni funkcji rzeczywistych (semi-) iloczyn skalarny jako

(1) hg, hi =

m

X

k=0

g(x _k ) h(x _k ).

Dla n ≤ m nale˙zy:

• Napisa´c funkcj e _,

function [beta, gamma] = ORTO(a, b, m, n)

obliczaj ac _, a wsp´ _, o lczynniki {β _k } ⁿ _k=1 , {γ _k } ⁿ _k=2 definiuj ace ci _, ag wielomian´ _, ow {p _k } ⁿ _k=0 or- togonalnych wzgl edem iloczynu skalarnego (1), zgodnie z formu l _, a tr´ _, ojcz lonow a _,

p 0 (x) = 1,

p ₁ (x) = (x − β ₁ ),

p _k (x) = (x − β _k ) p _k−1 (x) − γ _k p _k−2 (x), k = 2, 3, . . . , n.

• Nast epnie, dla danych funkcji f : [a, b] → R i dok ladno´sci e > 0 napisa´c funkcj _, e _, function [n opt] = WAPP(@f, a, b, beta, gamma, e)

zwracaj ac _, a najmniejsze n takie, ˙ze dla wielomianu w _, n,f stopnia ≤ n najlepiej aprok- symuj acego f wzgl _, edem (semi-) normy _,

kgk = v u u t

m

X

k=0

|g(x _k )| ²

zachodzi kf − w _n,f k ≤ e. Funkcja WAPP powinna te˙z rysowa´c wykres funkcji f oraz wielomianu w _n

_opt

_,f .

Warto´sci wielomian´ ow w _n,f nale˙zy oblicza´ c w czasie liniowym w n korzystaj ac z β _, _k i γ _k w nast epuj _, acy spos´ _, ob. Je´sli

w _n,f =

n

X

k=0

c _k p _k

to w _n,f (x) = d ₀ gdzie d ₀ obliczone jest wed lug nast epuj _, acego wzoru rekurencyjnego: d _, _n+2 = 0, d _n+1 = 0, oraz

d _k = c _k + (x − β _k+1 )d _k+1 − γ _k+2 d _k+2 dla k = n, n − 1, . . . , 0.

Testowa´ c dla ustalonych m i funkcji f i dla malej acych warto´sci b l _, edu e obserwuj _, ac jak _, n _opt zale˙zy od e.

Rozwi azania nale˙zy przes la´ _, c elektronicznie i powinny zawiera´ c:

• skrypty i funkcje w MATLAB (OCTAVE) z kr´ otk a informacj _, a dla u˙zytkownika, _,

• wyniki test´ ow wraz z dyskusj a. _,

Uwaga. O ci agach wielomian´ _, ow ortogonalnych traktuje rozdzia l 10 skryptu. Odpowiedni materia l

mo˙zna te˙z znale´ z´ c w ka˙zdym podr eczniku z analizy numerycznej. _,

Dla danych r´ ownoodleg lych punkt´ ow a = x 0 < x 1 < · · · < x m = b definiujemy na przestrzeni funkcji rzeczywistych (semi-) iloczyn skalarny jako

Zadanie laboratoryjne 2 (za 10 punkt´ ow) termin: 27 stycznia 2017

Lab. 2.

Dla danych r´ ownoodleg lych punkt´ ow a = x 0 < x 1 < · · · < x m = b definiujemy na przestrzeni funkcji rzeczywistych (semi-) iloczyn skalarny jako

(1) hg, hi =

m

X

k=0

g(x k ) h(x k ).

Dla n ≤ m nale˙zy:

• Napisa´c funkcj e ,

function [beta, gamma] = ORTO(a, b, m, n)

obliczaj ac , a wsp´ , o lczynniki {β k } n k=1 , {γ k } n k=2 definiuj ace ci , ag wielomian´ , ow {p k } n k=0 or- togonalnych wzgl edem iloczynu skalarnego (1), zgodnie z formu l , a tr´ , ojcz lonow a ,

p 0 (x) = 1,

p 1 (x) = (x − β 1 ),

p k (x) = (x − β k ) p k−1 (x) − γ k p k−2 (x), k = 2, 3, . . . , n.

• Nast epnie, dla danych funkcji f : [a, b] → R i dok ladno´sci e > 0 napisa´c funkcj , e , function [n opt] = WAPP(@f, a, b, beta, gamma, e)

zwracaj ac , a najmniejsze n takie, ˙ze dla wielomianu w , n,f stopnia ≤ n najlepiej aprok- symuj acego f wzgl , edem (semi-) normy ,

kgk = v u u t

m

X

k=0

|g(x k )| 2

zachodzi kf − w n,f k ≤ e. Funkcja WAPP powinna te˙z rysowa´c wykres funkcji f oraz wielomianu w n

,f .

Warto´sci wielomian´ ow w n,f nale˙zy oblicza´ c w czasie liniowym w n korzystaj ac z β , k i γ k w nast epuj , acy spos´ , ob. Je´sli

w n,f =

n

X

k=0

c k p k

to w n,f (x) = d 0 gdzie d 0 obliczone jest wed lug nast epuj , acego wzoru rekurencyjnego: d , n+2 = 0, d n+1 = 0, oraz

d k = c k + (x − β k+1 )d k+1 − γ k+2 d k+2 dla k = n, n − 1, . . . , 0.

Testowa´ c dla ustalonych m i funkcji f i dla malej acych warto´sci b l , edu e obserwuj , ac jak , n opt zale˙zy od e.

Rozwi azania nale˙zy przes la´ , c elektronicznie i powinny zawiera´ c:

• skrypty i funkcje w MATLAB (OCTAVE) z kr´ otk a informacj , a dla u˙zytkownika, ,

• wyniki test´ ow wraz z dyskusj a. ,

Uwaga. O ci agach wielomian´ , ow ortogonalnych traktuje rozdzia l 10 skryptu. Odpowiedni materia l

mo˙zna te˙z znale´ z´ c w ka˙zdym podr eczniku z analizy numerycznej. ,

g(x _k ) h(x _k ).

• Napisa´c funkcj e _,

obliczaj ac _, a wsp´ _, o lczynniki {β _k } ⁿ _k=1 , {γ _k } ⁿ _k=2 definiuj ace ci _, ag wielomian´ _, ow {p _k } ⁿ _k=0 or- togonalnych wzgl edem iloczynu skalarnego (1), zgodnie z formu l _, a tr´ _, ojcz lonow a _,

p ₁ (x) = (x − β ₁ ),

p _k (x) = (x − β _k ) p _k−1 (x) − γ _k p _k−2 (x), k = 2, 3, . . . , n.

• Nast epnie, dla danych funkcji f : [a, b] → R i dok ladno´sci e > 0 napisa´c funkcj _, e _, function [n opt] = WAPP(@f, a, b, beta, gamma, e)

zwracaj ac _, a najmniejsze n takie, ˙ze dla wielomianu w _, n,f stopnia ≤ n najlepiej aprok- symuj acego f wzgl _, edem (semi-) normy _,

|g(x _k )| ²

zachodzi kf − w _n,f k ≤ e. Funkcja WAPP powinna te˙z rysowa´c wykres funkcji f oraz wielomianu w _n

_,f .

Warto´sci wielomian´ ow w _n,f nale˙zy oblicza´ c w czasie liniowym w n korzystaj ac z β _, _k i γ _k w nast epuj _, acy spos´ _, ob. Je´sli

w _n,f =

c _k p _k

to w _n,f (x) = d ₀ gdzie d ₀ obliczone jest wed lug nast epuj _, acego wzoru rekurencyjnego: d _, _n+2 = 0, d _n+1 = 0, oraz

d _k = c _k + (x − β _k+1 )d _k+1 − γ _k+2 d _k+2 dla k = n, n − 1, . . . , 0.

Testowa´ c dla ustalonych m i funkcji f i dla malej acych warto´sci b l _, edu e obserwuj _, ac jak _, n _opt zale˙zy od e.

Rozwi azania nale˙zy przes la´ _, c elektronicznie i powinny zawiera´ c:

• skrypty i funkcje w MATLAB (OCTAVE) z kr´ otk a informacj _, a dla u˙zytkownika, _,

• wyniki test´ ow wraz z dyskusj a. _,

Uwaga. O ci agach wielomian´ _, ow ortogonalnych traktuje rozdzia l 10 skryptu. Odpowiedni materia l

mo˙zna te˙z znale´ z´ c w ka˙zdym podr eczniku z analizy numerycznej. _,