Problem dwóch prób przy uporz¸adkowanych alternatywach
Teresa Ledwina
Instytut Matematyczny PAN Oddział Wrocław ul. Kopernika 18
e-mail: ledwina@impan.pan.wroc.pl
Grzegorz Wyłupek
Instytut Matematyczny PAN Oddział Wrocław ul. Kopernika 18
e-mail: wylupek@impan.pan.wroc.pl
Niech F oznacza dystrybuant¸e rozkładu w grupie kontrolnej a G dystrybu- ant¸e w grupie zabiegowej. Zakładamy, że F i G s¸a ci¸agłe. Popularnym niepa- rametrycznym opisem pozytywnego oddziaływania zabiegu jest relacja stocha- stycznego porz¸adku : F G. Rozważmy problem testowania
H : brak stochastycznego porz¸adku F G, przeciwko
A+: F G F 6= G.
W literaturze brak testów dla tak sformułowanego problemu testowania. Kla- syczne testy, takie jak test Wilcoxona czy test Kołmogorowa-Smirnowa, s¸a do- stosowane jedynie do testowania F ¬ G przeciwko F G, F 6= G. Użycie ich w problemie testowania H prowadzi, w wielu sytuacjach, do bł¸edu pierwszego rodzaju bliskiego lub równego 1.
Przedstawimy skonstruowane przez nas rozwi¸azanie powyższego problemu i omówimy pewne jego własności. Nowa statystyka testowa bazuje na estymowa- nych współczynnikach Fouriera γj, j = 1, 2, ... g¸estości porównawczej w ukła- dzie rzutowanych, na stożek funkcji niemalej¸acych, klasycznych funkcji Haara.
W terminach współczynników γ = (γ1, γ2, ...) rozważane hipotezy wyrażaj¸a si¸e nast¸epuj¸aco : γ ∈ Γc+ przeciwko γ ∈ Γ+, gdzie
Γ+= { γ : γj 0, j = 1, 2, ... z ostr¸a nierówności¸a dla pewnego j }, a •c oznacza dopełnienie zbioru •. Statystyka testowa jest funkcj¸a pewnej sta- tystyki adaptacyjnej dla testowania γ1 = γ2 = ... = 0 przy nieograniczonych alternatywach oraz statystyki, która kontroluje zachodzenie warunku γ ∈ Γ+. Innymi słowy, nowy test sprawdza czy wektor estymowanych współczynników Fouriera jest istotnie różny od 0 i czy leży we właściwej cz¸eści przestrzeni R∞. Pokazujemy, mi¸edzy innymi, że tak skonstruowany test jest asymptotycznie nie- obci¸ażony dla H przy alternatywie A+.
1
