Met.Numer. wykład 6 1
METODY NUMERYCZNE
dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH
Wykład 6.
Rozwiązywanie układów równań liniowych
Plan
• Metody dokładne
• Metoda eliminacji Gaussa
• Metoda Gaussa-Seidla
• Rozkład LU
Met.Numer. wykład 6 3
Układ równań liniowych
Układ równań liniowych:
b Ax =
gdzie:
• A – macierz o m wierszach i n kolumnach
• x – wektor o n niewiadomych
• b – wektor m danych liczb
możliwe rozwiązania:
• Nieskończenie wiele rozwiązań
• Dokładnie jedno rozwiązanie
• Brak rozwiązania (układ sprzeczny)
Pojęcie normy
x
nx
x + + +
=
1 2...
x
1(
12 22 2)
1/22
= x + x + ... + x
nx
{ x , x , ..., x
n}
max
1 2∞
= x
W przestrzeni Rn, której elementami są wektory:
x = [ x
1, x
2,..., x
n]
TDla dowolnego wektora x є Rn, obowiązują nierówności:
∞
∞
≤ x ≤ x ≤ x ≤ x
x n n
2 1
2
Met.Numer. wykład 6 5
Metody rozwiązywania układów algeraicznych równań liniowych
Metody dokładne - definicja
Jeśli rozwiązanie układu równań Ax=b polega na takim przekształceniu danych A i b, że przy założeniu dokładnie wykonywanych działań arytmetycznych po skończonej liczbie działań otrzymujemy rozwiązanie, to taką metodę rozwiązania nazywamy metodą dokładną.
Metody dokładne
Metody dokładne - cechy
• Mała liczba obliczeń potrzebnych do wyznaczenia rozwiązania
• Jeśli zadanie jest źle uwarunkowane numerycznie, to wyznaczone rozwiązanie może być obarczone dużym błędem.
• Mogą być niestabilne ze względu na błędy zaokrągleń
• Przekształcenie macierzy A obciąża w dużym stopniu
pamięć maszyny, zwłaszcza jeśli początkowe dane A i b
należy przechować celem ostatecznego sprawdzenia
Met.Numer. wykład 6 7
Metody dokładne - przykład
2 2 22 1 21
1 2 12 1 11
b x a x a
b x a x a
= +
= +
12 21 22 11
2 12 1 22
1
a a a a
b a b x a
−
= −
12 21 22 11
1 21 2 11
2
a a a a
b a b x a
−
= −
Przykład – wzory Cramera
38 , 0 50 , 0 70 , 0
54 , 0 70 , 0 99 , 0
2 1
2 1
= +
= +
x x
x x
Zakładamy dokładność do 2 cyfr dziesiętnych , każdy wynik przed dalszymi obliczeniami jest zaokrąglany
49 , 0 4900 , 0 70 , 0 70 , 0
50 , 0 4950 , 0 50 , 0 99 , 0
12 21
22 11
=
=
⋅
=
=
=
⋅
= a a
a a
01 , 0 49 , 0 50 ,
12
0
21 22
11
a − a a = − =
a
Sposób 1:
Metody dokładne - przykład 38
, 0 70 , 0 54 , 0 50 ,
2
0
12 1
22
b − a b = ⋅ − ⋅
a
01 0 , 0
0
1= =
x
54 , 0 70 , 0 38 , 0 99 ,
1
0
21 2
11
b − a b = ⋅ − ⋅
a
01 0 , 0
0
2
= =
x
0 27 , 0 27 , 0 2660 , 0 2700 ,
0 − = − =
=
0 38 , 0 38 , 0 3780 , 0 3762 ,
0 − = − =
=
Dokładne rozwiązanie tego układu równań daje wynik:
80 ,
1=
0
x
x
2= − 0 , 36
Met.Numer. wykład 6 9
Metody dokładne – przykład cd.
38 , 0 50 , 0 70 , 0
54 , 0 70 , 0 99 , 0
2 1
2 1
= +
= +
x x
x x
71 , 0 7070 , 99 0 , 0
70 , 0
11
21 = = ≅
a a
Sposób 2: metoda eliminacji Gaussa
Eliminujemy niewiadomą x1z drugiego równania układu równań.
W tym celu mnożymy pierwsze równanie przez:
Odejmując równania stronami po wcześniejszym zaokrągleniu do 2 cyfr:
00 , 0 00 , 0 x
2=
Otrzymujemy:
38 , 0 50 , 0 70 , 0
3818 , 0 4949 , 0 70 . 0
2 1
2 1
= +
= +
x x
x x
czyli układ nieoznaczony, posiadający nieskończenie wiele rozwiązań.
Układy równań z macierzą trójkątną
Macierz trójkątna – definicja
Macierz trójkątną nazywamy macierzą trójkątną dolną (górną), jeżeli wszystkie elementy nad (pod) diagonalą są równe zeru.
Macierz trójkątna dolna Macierz trójkątna górna
Met.Numer. wykład 6 11
Układy równań z macierzą trójkątną
n n n
i i
i
u u u
u
U
1,1 2,2 ,1
,
...
)
det( = ∏ = ⋅ ⋅
=
Obliczenie wyznacznika macierzy trójkątnej sprowadza się do wymnożenia elementów leżących na głównej
przekątnej:
n n n
i i
i
l l l
l
L
1,1 2,2 ,1
,
...
)
det( = ∏ = ⋅ ⋅
=
Układy równań z macierzą trójkątną
n n nn
n n n n n n n
n n n
n
n n n
n
b x a
b x a x a
b x a x a x
a
b x a x a x
a x a
=
= +
= +
+ +
= +
+ + +
−
−
−
−
−
−
−
−
−
1 ,
1 1 1 , 1
2 2
1 1 , 2 2
22
1 1
1 1 , 1 2
12 1 11
...
...
...
...
...
...
...
...
ii
i ii n
in i
i a
x a x
a
x =b − −...− +1 +1
nn n
n
a
x = b
Jeżeli macierz A układu n równań z n niewiadomymi Ax=b jest macierzą trójkątną (dolną lub górną), to rozwiązanie x takiego układu równań można uzyskać wykonując małą liczbę działań arytmetycznych i przy małych błędach zaokrągleń
1 ..., , 2 ,
1 −
−
= n n i
Ogólnie
Met.Numer. wykład 6 13
Układy równań z macierzą trójkątną
n n
M 2
1 2
1
2+
=
Koszt obliczeniowy:
Dla wyznaczenia wektora x należy wykonać M mnożeń i dzieleń oraz D dodawań:
n n
D 2
1 2
1
2+
=
Metoda eliminacji Gaussa
1 1
3 13 2 12 1
11
x a x a x ... a x b
a + + + +
n n=
2 2
3 23 2 22 1
21
x a x a x ... a x b
a + + + +
n n=
n n nn n
n
n
x a x a x a x b
a
1 1+
2 2+
3 3+ ... + = .
...
...
Etap pierwszy (zwany etapem eliminacji „do przodu”
zmiennych)
Wymaganych jest n-1 kroków eliminacji
Met.Numer. wykład 6 15
Metoda eliminacji Gaussa
1 1
3 13 2 12 1
11
x a x a x ... a x b
a + + + +
n n=
1 11 21 1
11 21 2
12 11 21 1
21
... b
a x a a a x a
a a x a
a + + +
n n=
Krok 1. Od drugiego wiersza odejmujemy pierwszy podzielony przez a11i pomnożony przez a21
1 11 21 2 1
11 21 2 2
12 11 21
22
... b
a b a x a a
a a x
a a
a a
n n
n= −
−
+
+
−
Otrzymujemy:
11 21
a a
2 2
3 23 2 22 1
21
x a x a x ... a x b
a + + + +
n n=
Metoda eliminacji Gaussa
' '
3 '
3 2 '
2 n
...
nn n nn
x a x a x b
a + + + =
1 1
3 13 2 12 1
11
x a x a x ... a x b
a + + + +
n n=
' 2 '
2 3
' 23 2 '
22
x a x ... a x b
a + + +
n n=
' 3 '
3 3
' 33 2 '
32
x a x ... a x b
a + + +
n n=
. ...
...
Podobnie postępujemy z pozostałymi wierszami:
12 11 21 22 '
22 a
a a a
a = −
gdzie:
. . .
n n
n a
a a a
a 1
11 21 2 '
2 = −
Met.Numer. wykład 6 17
Metoda eliminacji Gaussa
' 2 '
2 3
' 23 2 '
22
x a x ... a x b
a + + +
n n=
Krok 2. Powtarzamy procedurę kroku 1 dla trzeciego wiersza
' 3 '
3 3
' 33 2 '
32
x a x ... a x b
a + + +
n n=
22 32
' ' a a
' ' 2 22 ' 32 '
22 ' ' 32 2 ' 3
22 ' ' 32 23 2 '
32
... b
a x a a a a a x
a a x
a + + +
n n=
Otrzymujemy:
2 22 32 3 2
22 32 3 3
23 22 ' 32
33
'
' ' ' ' '
' ' ...
' '
' b
a b a x a a
a a x
a a
a a
n n
n= −
−
+
+
−
Metoda eliminacji Gaussa
' 2 '
2 3
' 23 2 '
22
x a x ... a x b
a + + +
n n=
"
3
"
3 3
"
33
x ... a x b
a + +
n n=
"
"
3
"
3
...
nn n nn
x a x b
a + + =
. ...
...
Po kroku 2 otrzymujemy
Met.Numer. wykład 6 19
Metoda eliminacji Gaussa
' 2 '
2 3
' 23 2 '
22
x a x ... a x b
a + + +
n n=
"
3
"
3 3
"
33
x ... a x b
a + +
n n=
( )n−1 n
=
n(
n−1)
nn
x b
a
1 1
3 13 2 12 1
11
x a x a x ... a x b
a + + + +
n n=
. ...
...
Pod koniec kroku n-1 układ równań przybiera postać:
Metoda eliminacji Gaussa
=
− (n- )
n
"
'
n ) (n nn
"
n
"
' n '
'
n
b b b b
x x x x
a a a
a a
a
a a
a a
1 3 2 1
3 2 1
1 3 33
2 23
22
1 13
12 11
0 0 0 0
0 0 0
⋮
⋮
⋮
⋯
⋮
⋮
⋮
⋯
⋯
⋯
Po przeprowadzeniu n-1 kroków eliminacji zmiennych otrzymane równania możemy zapisać w postaci macierzy:
Otrzymana macierz jest macierzą trójkątną!
Met.Numer. wykład 6 21
Metoda eliminacji Gaussa
Etap drugi zwany postępowaniem odwrotnym (podstawieniem wstecznym)
Ponieważ otrzymana macierz jest macierzą trójkątną korzystamy ze wzorów
:
( ) ( )
( )11
1 ,..., 1
1 1
−
=
− ∑
=
=−+−
−
n i a dla
x a b
x
iii n
i
j j
i ij i
i i
) 1 (
) 1 (
−
=
n− nn n nn
a
x b
( ) ( ) ( ) ( )
( )
... 1 ,..., 1
1
1 , 2
1 2 , 1 1
1 , 1
−
− =
−
−
=
−−
−+ + −−+ + −dla i n a
x a x
a x a
x b
iii
n i
n i i
i i i i i
i i i i i
Metoda eliminacji Gaussa
n n n
M 3
1 3
1
3 2− +
=
Metoda eliminacji Gaussa – koszt obliczeniowy Łączna ilość mnożeń i dzieleń:
Łączna ilość dodawań:
n n n
D 6
5 2 1 3
1
3 2− +
=
Met.Numer. wykład 6 23
Metoda eliminacji Gaussa - przykład
Czas t (s)
Prędkość (m/s)
5 106.8
8 177.2
12 279.2
Prędkość rakiety została przybliżona wielomianem:
( )
2 3, 5 t 12.
2
1
+ + ≤ ≤
= a t a t a t
v Przykład:
Znaleźć współczynniki a1, a2, a3metodą eliminacji Gaussa i prędkość w chwili t = 6 s
Metoda eliminacji Gaussa - przykład ( ) t a t a t a , 5 t 12.
v = +
2+
3≤ ≤
2 1
=
3 2 1
3 2 3
2 2 2
1 2 1
1 1 1
v v v a
a a t
t t t
t t
3 2 1
=
2 . 279
2 . 177
8 . 106
1 12 144
1 8 64
1 5 25
3 2 1
a a a s
m v
s
t
1= 5 , ( 5 ) = 106 , 8 / s m v
s
t
2= 8 , ( 5 ) = 177 , 2 / s m v
s
t
3= 12 , ( 5 ) = 279 , 2 /
Met.Numer. wykład 6 25
Metoda eliminacji Gaussa - przykład
Podzielić równanie 1 przez 25 i pomnożyć przez 64
[ 25 5 1 ⋮ 106 . 8 ] × 2 . 56 =
[ ]
[ ]
[ 0 4 . 8 1 . 56 96 . 208 ]
408 . 273 56
. 2 8 . 12 64
177.2 1
8 64
−
−
−
−
⋮
⋮
⋮
2 . 279 1
12 144
2 . 177 1
8 64
8 . 106 1
5 25
⋮
⋮
⋮
−
−
−
2 . 279 1
12 144
208 . 96 56
. 1 8 . 4 0
8 . 106 1
5 25
⋮
⋮
⋮
56 . 25 2 64 =
Odjąć wynik od równania nr 2
[ 64 12 . 8 2 . 56 ⋮ 273 . 408 ]
Otrzymujemy
Metoda eliminacji Gaussa - przykład
.
[ 25 5 1 ⋮ 106 . 8 ] × 5 . 76 =
−
−
−
2 . 279 1
12 144
208 . 96 56
. 1 8 . 4 0
8 . 106 1
5 25
⋮
⋮
⋮
[ ]
[ ]
[ 0 16 . 8 4 . 76 335 . 968 ]
168 . 615 76
. 5 8 . 28 144
279.2 1
12
144
−
−
−
−
⋮
⋮
⋮
25 5 1 ⋮ 106 . 8 76 . 25 5 144 =
Podzielić równanie 1 przez 25 i pomnożyć przez 144
Odjąć wynik od równania nr 3
Po pierwszym kroku eliminacji
[ 144 28 . 8 5 . 76 ⋮ 615 . 168 ]
Met.Numer. wykład 6 27
Metoda eliminacji Gaussa - przykład
[ 0
−4 . 8
−1 . 56 ⋮
−96 . 208 ]
×3 . 5
=
−
−
−
−
−
−
968 . 335 76
. 4 8 . 16 0
208 . 96 56
. 1 8 . 4 0
8 . 106 1
5 25
⋮
⋮
⋮
[ ]
[ ]
[ 0 0 0 . 7 0 .76 ]
728 . 336 46
. 5 16.8 0
335.968
76 . 4 16.8 0
⋮
⋮
⋮
−
−
−
−
−
−
−
−
−
76 . 0 7
. 0 0 0
208 . 96 56
. 1 8 . 4 0
8 . 106 1
5 25
⋮
⋮
⋮
5 . 8 3 . 4
8 . 16 =
−
−
Odjąć wynik od równania nr 3
Podzielić równanie 2 przez -4.8 i
pomnożyć przez - 16.8
[ 0
−16 . 8
−5 . 46 ⋮
−336 . 728 ]
Po drugim kroku eliminacji
Metoda eliminacji Gaussa - przykład
−
=
−
−
⇒
−
−
−
76 . 0
208 . 96
8 . 106
7 . 0 0 0
56 . 1 8 . 4 0
1 5
25
7 . 0 7
. 0 0 0
2 . 96 56
. 1 8 . 4 0
8 . 106 1
5 25
3 2 1
a a a
⋮
⋮
⋮
08571 . 1
7 . 0
76 . 0
76 . 0 7 . 0
3 3 3
=
=
=
a a
Obliczanie a3
a
Eliminacja wsteczna
Met.Numer. wykład 6 29
Metoda eliminacji Gaussa - przykład
6905 19.
4.8
1.08571 1.56
96.208 8 . 4
56 . 1 208 . 96
208 . 96 56
. 1 8 . 4
2 2
3 2
3 2
= −
× +
= −
− +
= −
−
=
−
−
a a a a a a
−
=
−
−
76 . 0
208 . 96
8 . 106
7 . 0 0 0
56 . 1 8 . 4 0
1 5
25
3 2 1
a a a
Obliczanie a2
08571 .
3=
1
aMetoda eliminacji Gaussa - przykład
08571 . 1 6905 . 19 5 8 . 106
25 5 8 . 106
8 . 106 5
25
3 2 1
3 2 1
−
×
= −
−
= −
= + +
a a a
a a a
−
=
−
−
76 . 0
2 . 96
8 . 106
7 . 0 0 0
56 . 1 8 . 4 0
1 5
25
3 2 1
a a a
Obliczanie a1
08571 .
3
= 1
a a
2= 19 . 6905
Met.Numer. wykład 6 31
Metoda eliminacji Gaussa - przykład
=
2 279
2 177
8 106
1 12 144
1 8 64
1 5 25
3 2 1
. . .
a a a
=
08571 . 1
6905 . 19
290472 .
0
3 2 1
a a a
Rozwiązanie:
( )
2 30 . 290472
219 . 6905 1 . 08571 , 5 12
21
+ + = + + ≤ ≤
= a t a t a t t t
t v
( ) 6 = 0 . 290472 ( ) 6
2+ 19 . 6905 ( ) 6 + 1 . 08571 = 129 . 686 m/s .
v
Metoda eliminacji Gaussa
Wady metody:
• Może nastąpić zatrzymanie procesu obliczeń w powodu dzielenia przez zero.
• Jest szczególnie podatna na narastanie błędu zaokrąglenia.
Zalety metody:
• Liczba wykonywanych działań w metodzie eliminacji Gaussa jest bez porównania mniejsza niż przy pomocy wzorów Cramera
W przypadku 15 równań:
M=1345 mnożeń w metodzie eliminacji Gaussa i M=5·1012 dla wzorów Cramera
Maszyna cyfrowa wykonująca 106mnożeń na sekundę:
0,01 s w metodzie eliminacji Gaussa i ponad rok dla wzorów Cramera
Met.Numer. wykład 6 33
Metoda eliminacji Gaussa
Dzielenie przez zero może wystąpić podczas każdego kroku eliminacji zmiennych
=
−
−
28 14 15
5 1 24
3 5 6
7 10 12
3 2 1
x x x
−
=
−
−
2 5 . 6 15 19
21 0
5 . 6 0 0
7 10 12
3 2 1
x x x
w następnym kroku, dzielenie przez zero
Metoda eliminacji Gaussa
=
−
−
9 751 . 1
45 3
1 5
7 249 . 2 3
10 15
20
3 2 1
x x x
=
1 1 1
3 2 1
x x x
=
999995 . 0
05 . 1
9625 . 0
2 1
x x x Układ równań:
Rozwiązanie dokładne
Rozwiązanie z dokładnością 6 cyfr dziesiętnych w każdym kroku
Rozwiązanie z dokładnością 5 cyfr dziesiętnych w każdym kroku
=
99995 . 0
5 . 1
625 . 0
3 2 1
x x x
Met.Numer. wykład 6 35
Metoda eliminacji Gaussa
Elementem podstawowym nazywamy ten element macierzy A, za pomocą którego eliminujemy zmienną z dalszych równań.
Dotychczas jako elementy podstawowe wybieraliśmy element leżący na diagonali
Stosując częściowy wybór elementu podstawowego wybieramy ten z elementów k-tej kolumny w k-tej macierzy, który ma największy moduł. Przez zmianę kolejności wierszy w macierzy można uzyskać element podstawowy leżący na diagonali Metoda eliminacji Gaussa-Crouta (ang. partial pivoting)
- z częściowym wyborem elementu podstawowego
• Zapobiega dzieleniu przez zero.
• Zmniejsza błąd numeryczny.
a
kkMetoda eliminacji Gaussa
144 , 64 , 25
2 . 279 1
12 144
2 . 177 1
8 64
8 . 106 1
5 25
⋮
⋮
⋮
Wartości w pierwszej kolumnie to:
Zamiana wiersza trzeciego z pierwszym Przykład :
=
2 279
2 177
8 106
1 12 144
1 8 64
1 5 25
3 2 1
. . .
a a a
⇒
8 . 106 1
5 25
2 . 177 1
8 64
2 . 279 1
12 144
⋮
⋮
⋮
Met.Numer. wykład 6 37
Metoda eliminacji Gaussa
144 , 64 , 25
2 . 279 1
12 144
2 . 177 1
8 64
8 . 106 1
5 25
⋮
⋮
⋮
Wartości w pierwszej kolumnie to:
Zamiana wiersza trzeciego z pierwszym Przykład :
=
2 279
2 177
8 106
1 12 144
1 8 64
1 5 25
3 2 1
. . .
a a a
⇒
8 . 106 1
5 25
2 . 177 1
8 64
2 . 279 1
12 144
⋮
⋮
⋮
Metoda Gaussa – Crouta w obliczaniu wyznaczników
Po eliminacji Gaussa
[ ]
=
1 12 144
1 8 64
1 5 25 A
Obliczyć wyznacznik macierzy [A]
[ ]
−
−
=
7 . 0 0 0
56 . 1 8 . 4 0
1 5
25 B
Użyteczne twierdzenie: Jeżeli macierz B powstaje z macierzy A przez dodanie lub odjęcie od jednego wiersza innego wiersza pomnożonego przez liczbę to nie zmienia to wyznacznika
Met.Numer. wykład 6 39
Metoda Gaussa – Crouta w obliczaniu wyznaczników
[ ]
−
=
2 . 0 0
0
8264 . 0 917 . 2 0
1 12
144 C
Po zastosowaniu metody częściowego wyboru elementu podstawowego otrzymaliśmy macierz[C]
det(C)=(-)(-)det(B)=144 (2.917) (-0.2)=-84,00 Użyteczne twierdzenie: Jeżeli macierz B powstaje z
macierzy A przez przestawienie jednego wiersza z drugim to zmienia się tylko znak wyznacznika
tu wystąpiło dwukrotne przestawienie wierszy
Metoda eliminacji Gaussa
[ 144 12 1 ⋮ 279 . 2 ] × 0 . 4444 = [ 63 . 99 5 . 333 0 . 4444 ⋮ 124 . 1 ]
8 . 106 1
5 25
2 . 177 1
8 64
2 . 279 1
12 144
⋮
⋮
⋮
[ ]
[ ]
[ 0 2 . 667 0 .5556 53 . 10 ]
124.1 0.4444
5.333 63.99
177.2 1
8 64
⋮
⋮
⋮
−
8 . 106 1
5 25
10 . 53 5556
. 0 667 . 2 0
2 . 279 1
12 144
⋮
⋮
⋮
4444 . 144 0
64 =
Podzielić równanie 1 przez 144 i pomnożyć przez 64
Odjąć rezultat od
równania nr 2
Met.Numer. wykład 6 41
Metoda eliminacji Gaussa
[ 144 12 1 ⋮ 279.2 ] × 0 . 1736 = [ 25 . 00 2 . 083 0 . 1736 ⋮ 48 . 47 ]
[ ]
[ ]
[ 0 2 . 917 0 . 8264 58 . 33 ]
48.47 0.1736
2.083 25
106.8 1
5 25
⋮
⋮
⋮
−
8 . 106 1
5 25
10 . 53 5556
. 0 667 . 2 0
2 . 279 1
12 144
⋮
⋮
⋮
33 . 58 8264
. 0 917 . 2 0
10 . 53 5556
. 0 667 . 2 0
2 . 279 1
12 144
⋮
⋮
⋮
1736 . 144 0
25 =
Odjąć rezultat od równania nr 3
Podzielić równanie 1 przez 144 i pomnożyć przez 25
Metoda eliminacji Gaussa
2.917 , 667 . 2
⇒
33 . 58 8264
. 0 917 . 2 0
2 . 279 1
12 144 10
. 53 5556
. 0 667 . 2 0
2 . 279 1
12 144
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
Wartości w drugiej kolumnie drugiego i trzeciego wiersza to:
Maksimum to 2.917 w trzecim wierszu
Zamiana wiersza trzeciego z drugim
Met.Numer. wykład 6 43
Metoda eliminacji Gaussa
[ 0 2.917 0.8264 ⋮ 58.33 ]
×0 . 9143
=[ 0 2 . 667 0 . 7556 ⋮ 53 . 33 ]
10 . 53 5556 . 0 667 . 2 0
33 . 58 8264 . 0 917 . 2 0
2 . 279 1
12 144
⋮
⋮
⋮
[ ]
[ ]
[ 0 0 0 . 2 0 . 23 ]
53.33 0.7556
2.667 0
53.10 0.5556
2.667 0
−
−
−
⋮
⋮
⋮
−
− 0 . 2 0 . 23 0
0
33 . 58 8264
. 0 917 . 2 0
2 . 279 1
12 144
⋮
⋮
⋮
. 9143 . 917 0 . 2
667 .
2 =
Odjąć rezultat od równania nr 3
Podzielić równanie 2 przez 2.917 i pomnożyć przez 2.667
Metoda eliminacji Gaussa
67 19.
917 . 2
15 . 1 8264 . 0 33 . 58
917 . 2
8264 . 0 33 . 58
33 . 58 8264
. 0 917 . 2
3 2
3 2
=
×
= −
= −
= +
a a a a
−
=
− 0 23
33 58
2 279
2 0 0
0
8264 0 917 2 0
1 12
144
3 2 1
. .
.
a a a
. . .
Obliczanie a
2Met.Numer. wykład 6 45
Metoda eliminacji Gaussa
2917 . 0
144
15 . 1 67 . 19 12 2 . 279
144 12 2 . 279
2 . 279 12
144
3 2 1
3 2 1
=
−
×
= −
−
= −
= + +
a a a
a a a
−
=
− 0 23
33 58
2 279
2 0 0
0
8264 0 917 2 0
1 12
144
3 2 1
. .
.
a a a
. . .
Obliczanie a
1Metoda eliminacji Gaussa
=
2 279
2 177
8 106
1 12 144
1 8 64
1 5 25
3 2 1
. . .
a a a
=
15 . 1
67 . 19
2917 . 0
2 1
a a a
Rozwiązanie to:
Met.Numer. wykład 6 47
Metoda Gaussa – Seidla
1 1
3 13 2
12 1
11 x a x a x ... a x b
a + + + +
n n=
2 3
23 2
22 1
21 x a x a x ... a x b
a + + + +
2n n=
n n
nn n
n
n
x a x a x a x b
a 1 1 + 2 2 + 3 3 + ... + =
. . . . . .
Układ n równań z n niewiadomymi:
. . .
Metoda Gaussa – Seidla
11
1 3
13 2 12 1
1
a
x a x
a x a
x = b − − … … −
n nnn
n n,n n
n n n
,n n
n ,n n n ,n n ,
n , n n n
n n
a
x a x
a x a x b
a
x a x a x
a x a x b
a
x a x
a x a x b
1 1 2
2 1 1
1 1
1 2 2 1 2
2 1 1 1 1 1 1
22
2 3
23 1 21 2 2
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
− −
−
−
−
= −
−
−
−
= −
−
−
= −
…
…
…
…
⋮
⋮
⋮
…
…
Przekształcenie równań do postaci:
z równania 1
z równania 2 z n-1
z równania n
Met.Numer. wykład 6 49
Metoda Gaussa – Seidla
. , , 2 , 1 ,
1
n a i
x a b
x
ii n
i j
j ij j i
i
= …
− ∑
=
≠=Postać ogólna dla i - tego równania
Jest to metoda iteracyjna
Metoda Gaussa – Seidla
× 100
= −
∈
newi old i new i a i
x x x
n - n
2
x x
x x
1 1
⋮
Zakładamy początkowe wartości od x1do xn i
podstawiamy je do wcześniej przekształconych równań
Obliczamy błąd względny uzyskanych nowych wartości:
Procedurę powtarzamy iteracyjnie aż do uzyskania odpowiedniego wartości o zadawalającym błędzie
