h|A|sis∈S oraz dla ka»dej na- zwy operacji f: s1

(1)

Egzamin z wykªadu monogracznego

Teoria kategorii w podstawach informatyki semestr zimowy 2017/18

Poj¦cia, terminologia i notacja:

Przyjmujemy zwykª¡ denicj¦ sygnatury algebraicznej Σ, Σ-algebry i Σ-homomorzmu, stosuj¡c no- tacje z wykªadu.

Poziomowana sygnatura ∆ = hΣ, n, pi skªada si¦ ze zwykªej sygnatury algebraicznej Σ = hS, Ωi oraz liczby naturalnej k (liczba poziomów) i funkcji p, która ka»dej nazwie operacji f: s1× · · · × s_n→ s w Ω przypisuje liczb¦ 0 ≤ p(f) < k (ograniczenie podniesienia).

Poziomowana ∆-algebra A skªada si¦ z S-rodzajowego no±nika |A| = h|A|si_s∈S oraz dla ka»dej nazwy operacji f: s1× · · · × s_n → s w Ω, funkcji fA: |A|_s₁ × · · · × |A|_s_n → |A|_s, przy czym no±nik

|A|_s rodzaju s ∈ S jest podzielony na rozª¡czne warstwy |A|¹s, . . . , |A|^ks przyjmujemy notacj¦

|A|^≤j_s = Sj

i=1|A|ⁱ_s; st¡d |A|^≤k_s = |A|_s oraz dla f: s1× · · · × s_n → s i a1 ∈ |A|^j_s¹₁,. . . , an ∈ |A|^j_sⁿ₁, f_A(a₁, . . . , a_n) ∈ |A|s^≤m(j¹^,...,jⁿ^{,p(f ))}, gdzie m(j1, . . . , j_n, p(f )) = min({max ({1, j₁, . . . , j_n}) + p(f ), k}). Poziomowany ∆-homomorzm h: A → B mi¦dzy poziomowanymi ∆-algebrami A, B, to taki Σ-homomorzm h: A → B, »e dla s ∈ S, j = 1, . . . , k oraz a ∈ |A|^j_s, hs(a) ∈ |B|^≤j_s ; taki homomorzm h jest ±ci±le poziomowany je±li dla s ∈ S, j = 1, . . . , k oraz a ∈ |A|^js, hs(a) ∈ |B|^j_s.

Zwykªe poj¦cia zdeniowane na wykªadzie dla sygnatur Σ i Σ-algebr A (np. termy t ∈ |TΣ(X)|_s, warto±¢ tA[v]termu t w algebrze |A| przy danym warto±ciowaniu v: X → |A|, równo±ci ∀X.t = t⁰, itp) przenosz¡ si¦ na sygnatury i algebry poziomowane w oczywisty sposób.

Deniujemy ∆-zdania nast¦puj¡cych postaci, deniuj¡c te» ich speªnianie w ∆-algebrach A:

• EQ (∆): zbiór ∆-równo±ci ∀X.t = t⁰; A |= ∀X.t = t⁰ gdy dla ka»dego v: X → |A|, tA[v] = t⁰_A[v],

• POZ (∆): zbiór okre±le« ∆-poziomu ∀X.j(t), gdzie 1 ≤ j ≤ k, X jest S-rodzajowym zbiorem zmiennych, a t ∈ |TΣ(X)|_sjest ∆-termem; A |= ∀X.j(t) gdy dla ka»dego warto±ciowania v: X →

|A|, tA[v] ∈ |A|^j_s,

• POZ^≤(∆): zbiór ogranicze« ∆-poziomu ∀X.^≤j(t), gdzie 1 ≤ j ≤ k, X jest S-rodzajowym zbiorem zmiennych, a t ∈ |TΣ(X)|_s jest ∆-termem; A |= ∀X.^≤j(t)gdy dla ka»dego warto±ciowania v: X → |A|, tA[v] ∈ |A|^≤j_s .

Dla poziomowanej sygnatury ∆ = hΣ, k, pi i zbioru Φ ⊆ EQ(∆) ∪ POZ (∆) ∪ POZ^≤(∆) ∆-zda«, deniujemy nast¦puj¡ce kategorie i oczywiste funktory zapominaj¡ce:

• PozAlg(∆, Φ): kategoria poziomowanych ∆-algebr speªniaj¡cych ka»de ze zda« w Φ i poziomowanych ∆-homomorzmów mi¦dzy nimi;

• SPozAlg(∆, Φ): kategoria poziomowanych ∆-algebr speªniaj¡cych ka»de ze zda« w Φ i ±ci±le poziomowanych ∆-homomorzmów mi¦dzy nimi;

• U_∆,Φ: PozAlg(∆, Φ) → Alg(Σ)

• U_∆,Φ^S : SPozAlg(∆, Φ) → Alg(Σ)

W powy»szych oznaczeniach pomijamy Φ, gdy Φ = ∅.

1

(2)

Zadanie:

1. Które z poni»szych kategorii maj¡

P. produkty ka»dej rodziny obiektów (w szczególno±ci, obiekty ko«cowe) E. equalizatory ka»dej pary równolegªych morzmów

KP. koprodukty ka»dej rodziny obiektów (w szczególno±ci, obiekty pocz¡tkowe) KE. koequalizatory ka»dej pary równolegªych morzmów

dla ka»dej poziomowanej sygnatury ∆ i, gdzie stosowne, zbioru ∆-równo±ci Φ ⊆ EQ(∆), ogranicze« ∆-poziomów Φ⁰ ⊆ POZ^≤(∆) i okre±le« ∆-poziomów Φ⁰⁰ ⊆ POZ (∆)? Udowodnij lub uzasadnij odpowied¹ negatywn¡.

(a) PozAlg(∆)

(b) PozAlg(∆, Φ ∪ Φ⁰) (c) PozAlg(∆, Φ ∪ Φ⁰∪ Φ⁰⁰) (d) SPozAlg(∆)

(e) SPozAlg(∆, Φ ∪ Φ⁰) (f) SPozAlg(∆, Φ ∪ Φ⁰∪ Φ⁰⁰)

2. Które z poni»szych funktorów maj¡ lewy sprz¦»ony dla ka»dej poziomowanej sygnatury Σ oraz, gdzie stosowne, zbioru ∆-równo±ci Φ ⊆ EQ(∆), ogranicze« ∆-poziomów Φ⁰ ⊆ POZ^≤(∆) i okre±le« ∆-poziomów Φ⁰⁰ ⊆ POZ (∆)? Udowodnij lub uzasadnij odpowied¹ negatywn¡.

(a) U∆: PozAlg(∆) → Alg(Σ)

(b) U∆,Φ∪Φ⁰: PozAlg(∆, Φ ∪ Φ⁰) → Alg(Σ)

(c) U∆,Φ∪Φ⁰∪Φ⁰⁰: PozAlg(∆, Φ ∪ Φ⁰∪ Φ⁰⁰) → Alg(Σ) (d) U∆^S: SPozAlg(∆) → Alg(Σ)

(e) U∆,Φ∪Φ^S ⁰: SPozAlg(∆, Φ ∪ Φ⁰) → Alg(Σ)

(f) U_∆,Φ∪Φ^S ⁰∪Φ⁰⁰: SPozAlg(∆, Φ ∪ Φ⁰∪ Φ⁰⁰) → Alg(Σ) Uwagi:

• Mo»na korzysta¢ z omawianych na wykªadzie konstrukcji i twierdze« bez powtarzania ich dowodów.

• Odpowiedzi na powy»sze pytania nie s¡ niezale»ne. Na przykªad, w oczywisty sposób s¡ powi¡- zane zadania 1.P.a i 1.P.b: dowód istnienia produktów w ka»dej kategorii PozAlg(∆, Φ ∪ Φ⁰) pokazywaªby te» istnienie produktów w PozAlg(∆), a kontrprzykªad na istnienie produktów w kategorii PozAlg(∆) byªby te» kontrprzykªadem na ich istnienie w PozAlg(∆, Φ ∪ Φ⁰). W ta- kich przypadkach wystarczy to po prostu wskaza¢, nie powtarzaj¡c argumentacji. Tak naprawd¦

jest tu wi¦c znacznie mniej pyta« ni» mogªoby si¦ wydawa¢ na pierwszy rzut oka. Z drugiej strony, taka konstrukcja zadania niekiedy umo»liwia odpowied¹ na pytanie ªatwiejsze (np. 1.P.a), bez odpowiadania na pytanie potencjalnie trudniejsze (np. 1.P.b). Mo»na przyj¡¢, »e odpowiedzi na pytania dotycz¡ce kategorii wyznaczonych przez sygnatury (bez zbiorów równo±ci) wystarcz¡

na ocen¦ pozytywn¡.

2

(3)

Szkic mo»liwych rozwi¡za«:

Na pocz¡tek prosta odpowied¹ pozytywna:

Rozwa»my dowoln¡ poziomowan¡ sygnatur¦ ∆ i zbiór zda« Ψ ⊆ EQ(∆) ∪ POZ (∆) ∪ POZ^≤(∆), oraz poziomowane ∆-algebry A, B ∈ |Alg(∆, Φ)| i poziomowane ∆-homomorzmy g, h: A → B.

Niech E b¦dzie poziomowan¡ ∆-podalgebr¡ algebry A zbudowan¡ w oczywisty sposób na no±niku

|E|_s = {a ∈ |A|_s | g_s(a) = h_s(a)} (z operacjami i warstwami zdeniowanymi przez obci¦cie ich odpowiedników w A). Wówczas inkluzja z E do A jest equalizatorem h i h⁰ zarówno w PozAlg(∆, Ψ), jak i dla ±ci±le poziomowanych h i h⁰, w SPozAlg(∆, Ψ). St¡d:

1.{E}.{a,b,c,d,e,f}: TAK

Dalej kilka prostych odpowiedzi negatywnych:

Rozwa»my poziomowan¡ sygnature ∆cz jedn¡ staª¡ c: s i dwoma poziomami, poziomowan¡ ∆c-agebr¦

A z cA ∈ |A|¹_s oraz poziomowan¡ ∆c-algebr¦ B z cB ∈ |B|²_s. Nie istnieje poziomowana ∆c-algebra C taka, »e istniej¡ ±ci±le poziomowane ∆c-homomorzmy hA: C → A i hB: C → B, ani poziomowana

∆_c-algebra D taka, »e istniej¡ ±ci±le poziomowane ∆c-homomorzmy hA: A → D i hB: B → D. To daje natychmiast:

1.{P,KP}.{d,e,f}: NIE

Ponadto, poniewa» z powy»szego wynika nieistnienie w SPozAlg(∆) pocz¡tkowej poziomowanej ∆c- algebry, dostajemy te»:

2.{d,e,f}: NIE

Nast¦pny kontrprzykªad: rozpatrzmy dwupoziomow¡ sygmatur¦ poziomowan¡ ∆f z dwoma rodzajami s, s⁰ i binarn¡ operacj¡ f: s × s⁰ → s z ograniczeniem podniesienia 1. Niech A b¦dzie poziomowan¡

∆-algebr¡ z |A|s = ∅ i |A|s⁰ = |A|¹_s0 = {a}. Niech dalej B b¦dzie poziomowan¡ ∆-algebr¡ z |B|¹s = {x}, |B|²s = {y}, |B|s⁰ = |B|¹_s0 = {b₁, b₂}, fB(x, b₁) = x, fB(x, b₂) = f_B(y, b₁) = f_B(y, b₂) = y. Niech h, h⁰: A → B b¦d¡ ∆-homomorzmami takimi, »e hs⁰(a) = b1 i hs⁰(a) = b2. Dla dowolnego poziomowanego ∆-homomorzmu g: B → C, je±li h;g = h⁰;g to gs⁰(b₁) = g_s⁰(b₂), wi¦c tak»e gs(x) = g_s(f_B(x, b₁)) = g_s(f_B(x, b₂)) = g_s(y); co pokazuje, »e g nie jest ±ci±le poziomowany. Zatem:

1.{KE}.{d,e,f}: NIE

Jeszcze dwie ªatwe odpowiedzi negatywne: nie istnieje poziomowana ∆c-algebra speªniaj¡ca jed- nocze±nie ∀∅.1(c) i ∀∅.2(c), zatem kategoria PozAlg(∆c, {∀∅.1(c), ∀∅.2(c)}) jest pusta, co daje:

1.{P,KP}.c, 2.c: NIE

Rozpatrzmy poziomowan¡ dwupoziomow¡ sygnatur¦ ∆a,b, z jednym rodzajem s i dwoma staªymi a, b: s. Niech A, B b¦d¡ poziomowanymi ∆a,b-algebrami takimi, »e |A|¹s = {a_A} i |A|²s = {b_A, x}

oraz |B|¹s = {a_B} i |B|²s = {b_B}. Niech h, h⁰: A → B, gdzie hs(a_A) = h⁰_s(a_A) = h_s(x) = a_B i h_s(b_A) = h⁰_s(b_A) = h⁰_s(x) = b_B. Dla dowolnego poziomowanego ∆a,b-homomorzmu g: B → C, je±li h;g = h⁰;g to aC = g_s(a_B) = g_s(b_B) = b_C. St¡d wniosek, »e nie istnieje koequalizator h i h⁰ w PozAlg(∆, {∀∅.1(a), ∀∅.2(b)}), co daje:

1.{KE}.c: NIE

Na koniec znów wyniki pozytywne: dla dowolnej poziomowanej sygnatury ∆ = hhS, Ωi, k, pi zde- niujmy sygnatur¦ pierwszego rz¦du (sygnatur¦ algebraiczn¡ z predykatami) Π(∆) = hS, Ω, P i, przez dodanie zbioru nazw predykatów P zawieraj¡cego unarne przedykaty ^≤j: s dla wszystkich s ∈ S oraz j = 1, . . . , k. Niech dalej Φ∆ b¦dzie zbiorem nast¦puj¡cych Π(∆)-zda«:

• ∀x:s.

≤j(x) =⇒^≤(j + 1)(x) dla s ∈ S, j = 1, . . . , k − 1 3

(4)

• ∀x:s.^≤k(x)

• ∀x₁:s₁, . . . , x_n:s_n.

(^≤j₁(x₁) ∧ . . . ∧^≤j_n(x_n)) =⇒^≤m(j₁, . . . , j_n, p(f ))(f (x₁, . . . , x_n)) dla ka»dej nazwy operacji f: s1× . . . × s_n → s oraz j1, . . . , j_n= 1, . . . , k.

Dla dowolnego zbioru ∆-zda« Φ ⊆ EQ(∆) ∪ POZ^≤(∆), kategoria PozAlg(∆, Φ) jest równowa»na kategorii Π(∆)-struktur pierwszego rz¦du speªniaj¡cych Φ ∪ Φ∆. Wiadomo, »e ta ostatnia kategoria jest zupeªna i kozupeªna, a funktor zapominaj¡cy wzgl¦dem zanurzenia sygnatury algebraicznej (bez predykatów) hS, Ωi w Π(∆) ma lewy sprz¦»ony to pokazuje:

1.{P,E,KP,KE}.{a,b}, 2.{a,b}: TAK

2

4