Ostatnie zadanie na egzaminie będzie się składać z jednego bardziej złożonego lub dwóch prostych pytań teoretycznych. Pytanie takie będzie dotyczyło zagadnień poruszanych podczas wykładu, więc nie musi być związane z zadaniami z ćwiczeń. W szczególności, zagadnienia nieporuszane na ćwicze- niach (np. ekstrema globalne) mogą się pojawić w pytaniu teoretycznym. Żeby sprecyzować zakres wiedzy, którą Państwo koniecznie powinni znać, poniżej przedstawiam listę 66 zagadnień, które mogą się pojawić jako takie pytanie lub jedno z tych pytań z namiarami na to, gdzie w prezentacjach można znaleźć przynajmniej część odpowiedzi.
Zastrzeżenie: zadanie na egzaminie nie musi brzmieć dokładnie tak jak jedno z zagadnień wypisa- nych poniżej - może być sumą dwóch pytań (np. pytania 4 i 26 można połączyć w jedno ), może być fragmentem danego pytania (np. pytanie 7 prawdopodobnie nie będzie nigdy w całości na egzaminie - mogę zapytać np. tylko o zwrotność, spójność i równoważność ) lub jego lekkim przeformułowaniem (np. w pytaniu 23 zamiast „wyjaśnić związek między takimi ekstremami a pochodną dla funkcji róż- niczkowalnej” może się pojawić „sformułować warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum lokalnego dla funkcji różniczkowalnej”). Jednak mogę zagwarantować, że znajomość odpowiedzi na wszystkie poniższe pytania pozwoli bez problemu odpowiedzieć na każde pytanie teoretyczne, które pojawi się na egzaminie.
Nie wymagam uczenia się definicji na pamięć, zwłaszcza, że często i na prezentacjach są przed- stawione nie do końca formalnie! Jak najbardziej można na każde pytanie odpowiadać własnymi słowami, za pomocą przykładów itp., byle pokazać, że rozumie się jak najwięcej aspektów zagadnie- nia.
Oczywiście, ten spis nie oznacza, że to co nie jest zaznaczone jako odpowiedzi na pytania w wykładach, nie jest ważne. Są tam np. różne przykłady wyjaśniające zastosowania danych pojęć.
Jednak przerobienie tych pytań to dobry początek do zrozumienia materiału i zdania egzaminu.
Uwaga! Wzory nie są odpowiedziami na te pytania (chyba, że jest to wyraźnie w pytaniu napisane), choć do odpowiedzi mogą prowadzić - należy słownie opisać sens konkretnych pojęć, a za samo wypisanie wzorów, które z danym pojęciem się kojarzą, punktów nie będzie.
I-IV. Informacje wstępne
1. Opisać model demograficzny Malthusa i wyjaśnić, dlaczego jego przewidywania się nie spraw- dziły? (prezentacja II, slajdy 40-43)
2. Wyjaśnić pojęcie złożenia funkcji. Czy składanie funkcji zawsze jest przemienne? Jeśli tak, udowodnić, jeśli nie, podać przykład, że tak nie musi być? (prezentacja II, slajdy 47-50)
3. Co to jest funkcja odwrotna do danej? Przy jakich założeniach istnieje? Podać przykład funkcji, która posiada funkcję odwrotną oraz funkcji, dla której funkcja odwrotna nie istnieje. (prezentacja II, slajdy 57 i 58)
4. Co to jest funkcja wypukła i funkcja wklęsła? Podać przykład funkcji, która jest wypukła w całej dziedzinie, funkcji która jest wklęsła w całej dziedzinie i funkcji, która jest w pewnym przedziale wypukła, a w innym wklęsła. (prezentacja IIa, slajdy 22-26)
5. Co to jest relacja? Podać różnice między relacją a funkcją i podać przykład relacji, która nie jest funkcją (i wyjaśnić dlaczego nie jest). (prezentacja IV, slajdy 3-5,8)
6. Objaśnić związek pomiędzy relacją preferencji konsumenta i jego funkcją użyteczności. Wyjaśnić dlaczego porównywanie wartości funkcji użyteczności różnych osób w ogólnym przypadku nie ma sensu. (prezentacja IV, slajdy 20-30, prezentacja 7 dla kapitalizacji prostej, wszystkie inne dla złożonej)
7. Co to jest relacja zwrotna, przechodnia, symetryczna, spójna, równoważności, preferencji?
Podać przykłady relacji spełniających i niespełniających tych definicji. (prezentacja IVa, slajdy 6-19 )
1. Granice funkcji
8. Wyjaśnić: co to jest granica/granica jednostronna funkcji w punkcie lub nieskończoności? Czy granica funkcji zawsze istnieje? Czy zawsze musi być tylko jedna? Odpowiedzi uzasadnić lub podać odpowiednie przykłady (prezentacja 1, slajdy 15-27,29-33,41-42)
9. Co to są symbole oznaczone, a co to są symbole nieoznaczone? Podać listę symboli nieozna- czonych i uzasadnić, czemu dany symbol nieoznaczony faktycznie jest nieoznaczony (prezentacja 1, slajd 53, prezentacja 1a, slajdy 3-5 i zadanie domowe ze slajdu 4)
10. Sformułować twierdzenie o symbolu [1∞] i twierdzenie o 3 funkcjach. Podać przykłady zasto- sowania tych twierdzeń. (prezentacja 1a, slajdy 17,23,24)
2. Ciągłość
11. Co to znaczy, że funkcja jest ciągła w punkcie? Podać przykłady funkcji ciągłej i nieciągłej w zadanym punkcie. (prezentacja 2, slajdy 5-7)
12. Sformułować twierdzenia Weierstrassa i Darboux o funkcjach ciągłych. Podać przykłady wskazujące, że założenia w tych twierdzeniach są konieczne oraz wyjaśnić co najmniej jeden wniosek ekonomiczny pochodzący od jednego z tych twierdzeń (prezentacja 2, slajdy 18-24,27-29)
13. Sformułować twierdzenie Darboux. Wyjaśnić, w jaki sposób można użyć tego twierdzenia do wyznaczenia przybliżonego rozwiązania dowolnego równania o obu stronach ciągłych. (prezentacja 2, slajdy 30-33)
3. Pochodne funkcji jednej zmiennej
14. Podać definicję i interpretację geometryczną pochodnej i różniczkowalności (prezentacja 3, slajd 7,11, prezentacja 3a, slajd 3,4 )
15. Jaka jest zależność między ciągłością a różniczkowalnością? Podać wzory funkcji, które w danym punkcie są: I. ciągła i różniczkowalna; II. ciągła i nieróżniczkowalna; III. nieciągła i różnicz- kowalna; lub wyjaśnić, że takie funkcje nie istnieją (prezentacja 3, slajdy 9-10)
16. Co to jest różniczka, sformułować twierdzenie o różniczce. (prezentacja 3a, slajd 8,9 )
17. Co to jest wartość krańcowa danej funkcji? Podać przykład istotnej w ekonomii wartości krań- cowej. Sformułować interpretację ekonomiczną wartości krańcowej funkcji f zmiennej x w punkcie x0, jeśli z obliczeń wychodzi że ta wartość jest równa y. (prezentacja 3b, slajd 4-7,10 )
18. Sformułować prawo Gossena oraz warunek matematyczny konieczny, by było ono spełnione, dla funkcji jednej oraz dwóch zmiennych. (prezentacja 3b, slajd 7-8, prezentacja 5, slajd 29, prezentacja 11a, slajd 17-18 )
19. Co to jest elastyczność danej funkcji? Podać przykład istotnej w ekonomii elastyczności.
Co to znaczy, że funkcja jest elastyczna/nieelastyczna/neutralna/sztywna/doskonale elastyczna?
Co się dzieje z przychodem ze sprzedaży danego towaru, gdy funkcja popytu od ceny jest nieela- styczna/elastyczna, a cena wzrasta/maleje? Sformułować interpretację ekonomiczną elastyczności funkcji f zmiennej x w punkcie x0, jeśli z obliczeń wychodzi że ta wartość jest równa y. (prezentacja 3b, slajd 14-17 )
20. Sformułować regułę de L’Hospitala. Podać przykład, że założenia są istotne, by to twierdzenie działało. (prezentacja 4, slajd 3,15 )
21. Opisać (może być na przykładzie), w jaki sposób należy stosować regułę de L’Hospitala do granic typu [00], [∞0] lub [1∞]. (prezentacja 4, slajd 10-13 )
22. Podać twierdzenie o zależności monotoniczności funkcji od jej pochodnej. Czy jeśli funkcja jest rosnąca na przedziale (a, b) i przedziale (c, d) to jest rosnąca na sumie tych przedziałów? Odpowiedź uzasadnić lub podać kontrprzykład. (prezentacja 5, slajd 4, prezentacja II (wstęp), slajd 34 )
23. Podać definicję ekstremum lokalnego funkcji jednej zmiennej rzeczywistej i wyjaśnić związek między takimi ekstremami a pochodną dla funkcji różniczkowalnej. Dlaczego istotne w definicji jest słowo „lokalne”? (prezentacja 5, slajd 5-8,11-12 )
24. Podać warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej jednej zmiennej rzeczywistej. Podać przykład dowodzący, że założenie o różniczkowalności jest konieczne i przykład pokazujący, że warunek konieczny nie jest warunkiem wystarczającym istnienia ekstremum.
(prezentacja 5, slajd 8-13 )
25. Opisać algorytm poszukiwania wartości największej i najmniejszej funkcji ciągłej na zada- nym przedziale. Z jakiego twierdzenia wynika istnienie takich wartości? (prezentacja 5, slajd 21, ewentualnie przykład po nim )
26. Co to jest punkt przegięcia funkcji? Opisać związek pomiędzy pochodnymi funkcji a jej wklęsłością/wypukłością oraz punktami przegięcia. Podać przykład funkcji dwukrotnie różniczko- walnej dla której warunek konieczny istnienia punktu przegięcia nie jest warunkiem wystarczającym (prezentacja 5, slajd 24-28, 35-38)
27. Podać definicje asymptoty ukośnej i asymptoty pionowej funkcji. Podać przykład pary funkcji, określonych na takim samym przedziale, o tym samym znaku pierwszej i drugiej pochodnej w danym przedziale i o różnych asymptotach na jednym z końców tego przedziału (bez obliczeń asymptot).
(prezentacja 5a, slajd 3-8, 12, ewentualnie 14-16)
28. Podać definicje asymptoty ukośnej i asymptoty pionowej funkcji. Podać twierdzenie o wyzna- czaniu równania asymptoty ukośnej. (prezentacja 5a, slajd 7-8, 12-13)
4. Całki
29. Podać definicję funkcji pierwotnej do danej. Czy istnieje ona dla każdej ciągłej funkcji rze- czywistej? Jeśli nie, podać kontrprzykład. Jeśli nie, podać kontrprzykład. Ile funkcji pierwotnych może mieć ciągła funkcja rzeczywista? Odpowiedź uzasadnić. Podać definicję całki nieoznaczonej z funkcji rzeczywistej. (prezentacja 6, slajd 4-6,8)
30. Podać definicję funkcji pierwotnej do danej oraz całki nieoznaczonej z funkcji rzeczywistej. Po- dać przykład całki, których nie da się przedstawić za pomocą skończonej liczby działań na funkcjach elementarnych (prezentacja 6, slajd 4,8,15)
31. Podać wypowiedzi twierdzeń o całkowaniu przez części i całkowaniu przez podstawienie. Kiedy zazwyczaj stosujemy metodą całkowania przez części, a kiedy całkowania przez podstawianie? Sfor- mułować „wieżę całkowania” czyli algorytm wskazujący w jaki sposób wstawiać funkcje do wzoru przez całkowanie przez części (i wyjaśnić, jak ona działa). (prezentacja 6, slajd 17,21, 28-29)
32. Opisać jak się definiuje całkę oznaczoną (w sensie Riemanna). (prezentacja 7, slajd 18-23) 33. Jaki jest związek całki Riemanna z polem pod wykresem danej funkcji? A z polem zawartym pomiędzy wykresami dwóch funkcji? Podać wypowiedź zasadniczego twierdzenia rachunku całko- wego. (prezentacja 7, slajd 26,28,30)
34. Podać wypowiedź zasadniczego twierdzenia rachunku całkowego oraz twierdzenie o obliczaniu wartości średniej funkcji ciągłej na danym przedziale. (prezentacja 7, slajd 30,44)
35. Podać wzór na obliczanie dokładne (zasadnicze twierdzenie rachunku całkowego) oraz przybli- żone (kwadratura trapezów) całek oznaczonych . Wyjaśnić wszystkie symbole używane we wzorze kwadratury trapezów. Co się dzieje, gdy we wzorze trapezów zwiększamy n do wartości bliskich
∞? (prezentacja 7, slajd 30,48-51) Uwaga! Nie pytam tu o dokładny wzór na oszacowanie błędu kwadratury trapezów - trzeba tylko wiedzieć, jaki jest z niego wniosek.
36. Co to jest całka niewłaściwa? Jaka jest jej interpretacja ekonomiczna? Kiedy mówimy, że jest ona zbieżna/rozbieżna? W jaki sposób ją obliczamy? (prezentacja 7, slajd 57-58,63)
5. Funkcje wielu zmiennych: różniczkowanie i całkowanie
37. Jak definiujemy pochodne cząstkowe i różniczkowalność dla funkcji wielu zmiennych rzeczywi- stych? Jak je obliczamy w praktyce? (prezentacja 8, slajd 16-17)
38. Jak obliczamy drugie pochodne cząstkowe? Jakie jest najbardziej podstawowe twierdze- nie o pochodnych mieszanych? Co to jest macierz Hessego? Jakie są jej podstawowe własności?
(prezentacja 8, slajd 23-25)
39. Jak definiujemy różniczkę funkcji wielu zmiennych i jak jaki jest jej związek z obliczaniem wartości przybliżonych? (prezentacja 8, slajd 26-27)
40. Objaśnić pojęcia: wartość krańcowa funkcji wielu zmiennych i elastyczność funkcji wielu zmiennych. Jakie są ich interpretacje ekonomiczne? (prezentacja 8, slajd 29,32-33)
41. Wyjaśnić definicję całki wielokrotnej w sensie Riemanna po obszarze regularnym. (prezentacja 9, slajd 4-13)
42. Podać twierdzenie o równoważności całki wielokrotnej i iterowanej po obszarze normalnym względem wybranej osi (prezentacja 9, slajd 23)
5. Funkcje wielu zmiennych: zagadnienia zaawansowane
43. Podać wypowiedź reguły łańcuchowej dla funkcji dwóch zmiennych (prezentacja 10, slajd 5)
44. Podać wypowiedź twierdzenia o funkcji uwikłanej. Wyjaśnić, co może się dziać z poziomicą danej funkcji jeśli założenie (o wartości pochodnej) nie jest spełnione (chodzi tu o wyjaśnienie geo- metryczne, a nie, że „wtedy dzieliłoby się przez zero”). (prezentacja 10, slajd 9-11,15-16)
45. Wyjaśnić pojęcie krańcowej stopy substytucji oraz elastyczności krańcowej stopy substytucji, jak się je oblicza oraz sformułować ich interpretację ekonomiczną. (prezentacja 10, slajd 21-23,26-27) 46. Podać definicję funkcji jednorodnej stopnia α, lemat Eulera oraz wypisać przykładowe funkcje jednorodne zadanego stopnia trzech zmiennych, takie, że ich pochodna cząstkowa względem każdej z tych zmiennych jest niezerowa. (prezentacja 10, slajd 32-35,40)
47. Co to jest gradient funkcji wielu zmiennych? Jaka jest jego interpretacja geometryczna? Jaka jest zależność między gradientem a pochodną kierunkową? (prezentacja 11a, slajd 8,13)
48. Co to jest pochodna kierunkowa funkcji wielu zmiennych? Jaka jest jej interpretacja geome- tryczna? Jaka jest zależność między gradientem a pochodną kierunkową? (prezentacja 11a, slajd 11-13)
49. Podać definicję ekstremum lokalnego funkcji wielu zmiennych rzeczywistych i podać warunek konieczny i wystarczający jego istnienia. (prezentacja 11b, slajd 6-8,12 )
50. Podać warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej wielu zmiennych rzeczywistych. Podać przykład dowodzący, że założenie o różniczkowalności jest konieczne i przykład pokazujący, że warunek konieczny nie jest warunkiem wystarczającym istnienia ekstre- mum. (prezentacja 11b, slajd 8-12 )
51. Wytłumaczyć, na czym polega i do czego służy metoda najmniejszych kwadratów. (prezentacja 11b, slajd 20-22,24-25,29-30 )
52. Co to jest ekstremum warunkowe? Opisać procedurę znajdowania ekstremów warunkowych.
(prezentacja 12a, slajd 5,7-12 )
53. Co to jest programowanie liniowe? Opisać procedurę programowania liniowego dla wielokątów lub wielokątów uogólnionych (prezentacja 12b, slajd 14,18-19 lub 26-29 )
6. Równania różniczkowe
54. Co to jest równanie różniczkowe zwyczajne? Co to jest postać normalna równania różniczko- wego? Podać przykład równania różniczkowego w postaci normalnej i równania różniczkowego, które nie jest w postaci normalnej. (prezentacja 13, slajd 3-5,9 )
55. Podać definicję zagadnienia Cauchy’ego i twierdzenia Peano-Piccarda. Pokazać, że w tym twierdzeniu założenia są istotne, podając kontrprzykład na jego tezę, jeśli założenia nie są spełnione (prezentacja 13, slajd 11-13 )
56. Co to jest równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych? Podać przykład takiego równania oraz równania różniczkowego, które takie nie jest. Opisać procedurę rozwiązywania takiego równania.
(prezentacja 13, slajd 20-21 )
57. Co to jest równanie różniczkowe liniowe jednorodne i niejednorodne? Podać przykłady takich równań oraz przykład równania różniczkowego, które nie jest liniowe. Opisać procedurę rozwiązywa- nia równań różniczkowych liniowych niejednorodnych. (prezentacja 13, slajd 28,31-32 )
58. Co to jest portret fazowy równania różniczkowego? Dla jakich równań możemy go naryso- wać? Dlaczego rysowanie portretu fazowego zamiast rozwiązywania danego równania różniczkowego ma sens? Narysować portret fazowy dla prostego równania autonomicznego i wyciągnąć na jego podstawie wnioski o rozwiązaniach tego równania. (prezentacja 13a, slajdy 3,5-7,15 )
7. Ciągi i szeregi liczbowe
59. Podać wypowiedź twierdzenia Heinego dla granicy funkcji w punkcie. Jaka jest relacja pomię- dzy granicą ciągu a granicą funkcji w pewnym punkcie? (prezentacja 14a, slajdy 15,18,22 )
60. Co to jest szereg liczbowy, a co to jest jego suma? Co to znaczy, że jest szereg jest zbieżny/rozbieżny? Jaki jest warunek konieczny zbieżności szeregu liczbowego? Podać przykład szeregu, który spełnia taki warunek, ale jest rozbieżny. (prezentacja 14b, slajdy 10-11,13 )
7. Szeregi potęgowe i Taylora
61. Co to jest szereg potęgowy? Co uznajemy za dziedzinę szeregu potęgowego? Czy taka dziedzina zawsze jest niepusta (odpowiedź uzasadnić). Podać przykład funkcji zapisanej w postaci „klasycznej”
i równej jej postaci szeregu potęgowego. (prezentacja 15a, slajdy 4,6-7 )
62. Co to jest promień zbieżności, przedział zbieżności i środek przedziału zbieżności szeregu potęgowego? Dla wybranego szeregu potęgowego podać jego promień i przedział zbieżności. Skon- struować szereg potęgowy o zadanym promieniu zbieżności. (prezentacja 15a, slajdy 8-10 )
63. Podać wypowiedzi twierdzeń Cauchy’ego i d’Alamberta zbieżności szeregów potęgowych oraz przykłady szeregów, których promień zbieżności za ich pomocą można wyznaczyć. (prezentacja 15a, slajd 12 )
64. Podać definicję szeregu Taylora funkcji f o środku w x0 oraz wypowiedź twierdzenia Taylora?
Czym się różni wzór Taylora od aproksymacji Taylora? Jaka jest zależność między różniczką a wzorem aproksymacją Taylora? (prezentacja 15b, slajdy 4,6,8-9 )
65. Co to jest reszta Lagrange’a szeregu Taylora? Dlaczego w typowych sytuacjach zmierza ona do zera, gdy n dąży do nieskończoności (prezentacja 15b, slajdy 6-7 ).
66. Jak wyglądają rozwinięcia w szereg Taylora funkcji f (x) = ex, f (x) = sin x f (x) = cos x?
(prezentacja 15b, slajdy 18 ).
67. Jaki jest pożytek z rozwijania funkcji w szeregi potęgowe? Czy można różniczkować szereg Taylora „wyraz po wyrazie”? A całkować? (prezentacja 15b, slajdy 19-21,23 ).
