s ˛ a ci ˛ agłe w topologii produktowej Przykład: R

1 Wykład nr 1

Przestrze ´n wektorowa topolologiczna, X nad ciałem K (K = R lub C) to przestrze´n wektorowa z topologi ˛ a w której działania s ˛ a ci ˛ agłe czyli:

m : K × X 3 (α, v) −→ αv ∈ X s : X × X 3 (u, w) −→ u + w ∈ X



s ˛ a ci ˛ agłe w topologii produktowej Przykład: R

z topologi ˛ a dyskretn ˛ a nie jest PWT, bo gdy v 6= 0 to (

, v) −→ (0, v) w R × X

1

n

v 6= 0 wi˛ec

v −→ 0 w topologii dyskretnej Przykład: Przestrze´n unormowana jest PWT.

Np. || · || : X −→ R

jest norm ˛ a gdy:

1) ||x|| > 0 ∀x 6= 0

2) ||αx|| = |α|||x|| ∀α ∈ K, x ∈ X 3) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||

Metryk˛e okre´slon ˛ a przez norm˛e nazywamy funkcj˛e d(x, y) = ||x − y||

||x − z|| = kx − y + y − zk

Baz ˛ a otocze ´n punktu x

jest { B(x

, r); r > 0}

Ci ˛ agło´s´c s: Wystarczy dla r > 0, x

= u

+ w

znale´z´c otoczenie W pary (u

, w

) takie by s(w) ⊂ B(x

, r)

W = B(u

, r

) × B(w

, r

) czyli chodzi o to, by z nierówno´sci

 ||x − u

|| < r

||y − w

|| < r

||x + y −

x0

z }| { u

+ w

|| < r

≤

||x − u

|| + ||y − w

|| < r r

=

r-”dobre”

Odwzorowanie || · || : X → R

jednorodne i subaddytywne czyli spełniaj ˛ ace warunki 2) i 3) nazywamy seminorm ˛ a (półnorm ˛ a). Wówczas d(x, y) = ||x − y|| jest “pseudometryk ˛ a”-semimetryk ˛ a

Gdy || · || jest seminorm ˛ a, to ker(|| · ||) := {x ∈ X : ||x|| = 0} jest podprzestrzeni ˛ a wektorow ˛ a w X.

Na przestrzeni ilorazowej wzgl˛edem relacji równowa˙zno´sci:

x ∼ y ⇔ ||x − y|| = 0 czyli X

(= X

) = {[x] : x ∈ X}

wzór||[x]|| = ||x|| okresla norm˛e:

[x] + [y] := [x + y]

α[x] := [αx]

(´cw: seminorma || · || okre´sla PWT, ta topologia jest Hausdorffa (T

) ⇔ gdy || · || jest norm ˛ a) Dla zbiorów A, B ⊂ X ich sum˛e Minkowskiego definiujemy jako:

A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}

1) Odwzorowanie translacji τ

: X 3 v → v−x ∈ X oraz “podobie´nstwa” M

: X 3 v → α

∈ X 2) Suma i kombinacja liniowa odwzorowa´n ci ˛ agłych s ˛ a ci ˛ agłe (np ∀α, β ∈ K, g, f ∈ C(ω, X)) ⇒

αf + βg ∈ X jest ci ˛ agłe)

Przykład seminormy w R

, która nie jest norm ˛ a: ||(x, y)|| := |x|

||(0, y)|| := ker|| · || Odwzorowanie T : R

3 (x, y) → αx + βy ∈ R jest ci ˛ agłe jedynie(⇔) gdy B = 0

(´cw. ker|| · || =domkni˛ecie zbioru{0})

DEF. Odwzorowanie T : X

→ X

izomorfizm PWT X

oraz X

gdy 1) T jest homeomorfizmem

2) T jest liniowe DEF. Zbiór W ⊂ T jest

→ wypukły gdy ∀αβ ≥ 0(α + β = 1 ⇒ αW + βW ⊂ W, ∀x, y ∈ W αx + βy ∈ W )

→ zbalansowany gdy α ∈ K|α| ≤ 1, toαW ⊂ W

→ absolutnie wypukły, gdy jest wypukły i zbalansowany (⇔ ∀αW + βW ⊂ W, |α| + |β| ≤ 1)

→ pochłaniaj ˛ acy gdy ∀x ∈ X ∃α > 0 ∀β > α x ∈ βW (dla zbiorów wypukłych W jest pochłania- j ˛ acy ⇔ ∀x ∈ X ∃n > 0 x ∈ nW )

(´cw. Ka˙zde otoczenie zera jest pochłaniaj ˛ ace)

Gdy zbiór W jest pochłaniaj ˛ acy, funkcjonał Minkowskiego zbioru W definiujemy wzorem P

(x) := inf {t > 0 : x ∈ tW }

Lemat: gdy W jest pochłaniaj ˛ acy i absolutnie wypukły to P

jest seminorm ˛ a.

Twierdzenie Minkowskiego

Zbiór W ⊂ X w przestrzeni wektorowej X jest “z dokładno´sci ˛ a do brzegu” kul ˛ a o ´srodku 0 dla pewnej seminormy || · || ⇔ W jest absolutnie wypukły, pochłaniaj ˛ acy tzn. {x : ||x|| < 1} ⊂ W {x : ||x|| ≤ 1}

Lemat: W ka˙zdej PWT istnieje baza zło˙zona ze zbalansowanych otocze´n zera Dowód: Niech v b˛edzie otoczeniem zera. Niech D = {α ∈ K : |α| ≤ 1}

Z ci ˛ agło´sci mno˙zenia K × X 3 (α, v) → αv ∈ X w punkcie (0, 0)

⇒ ∃s-otoczenie 0 w K, ∃U-otoczenie 0 w X takich ˙ze postaci {α : |α| < δ} = 4 ∀α ∈ 4, x ∈ U αx ∈ U

W := 4 · U - jest otoczeniem zbalansowanym 0

W ⊂ V, α ∈ 4, |β| < 1 ⇒ αβ ∈ 4 ⇒ β(αU ) ⊂ 4 · U



TW.

2 Wykład nr 2

Lemat: Je˙zeli T : X → Y jest odwzorowaniem liniowym mi˛edzy PWT X, Y to T jest ci ˛ agłe ⇐⇒ T jest ci ˛ agłe w pewnym punkcie x

∈ X

τ

: x → x − z

T addytywne, wi˛ec z ci ˛ agło´sci T w punkcie x

wynika ciagło´s´c T ◦ τ

w x

oraz ci ˛ agło´s´c T w punkcie x

− z (dowolny punkt X)

x

→ x

=⇒ T (x

) → T (x

) z

: z

→ z − 0

z

− z

+ x

→ x

z ci ˛ agło´sci w x

T (z

− z

+ x

) → T · x

T (z

) → T · z

(Ponadto gdy Y jest unormowana, to T ci ˛ agłe ⇐⇒ w ∃U otoczenie 0 w X takich, ˙ze:

T (U ) ⊂ {y : ||y|| < 1 ⇐⇒ T jest ograniczone na pewnym otoczeniu 0}) Przykład funkcjonału liniowego nieci ˛ agłego

1) na l

= {(α

)

, ∃x∀

α

= 0}

2) na l

= {(α

)

, pP(α

)

< ∞}

ϕ(α

) = P n · α



=ci ˛ ag(0, 0, ..., 1

|{z}

ck

, 0...) ϕ( P

k

) = k (nieci ˛ agły w 0 bo

k



→ 0,za´s ϕ od tego ci ˛ agu = ci ˛ ag √

k → +∞) Ka˙zdy ci ˛ ag liniowo niezale˙zny mo˙zna rozszerzy´c do bazy.

W l

ci ˛ ag liniowo niezale˙zny 

mo˙zna rozszerzy´c do bazy i niech np. 

= jaki´s wektor z tej bazy ró˙zny od wszystkich 

, (

)

T, t

∈ T \N

ϕ

(P c

· 

) := c

ϕ

(

) = 0 ∀

TW.

I Sko´nczenie (m-wymiarowe) PWT Hausdorffa s ˛ a izomorficzne z przestrzeni ˛ a euklidesow ˛ a K

II Na takich PWT ka˙zde odwzorowanie liniowe jest ci ˛ agłe

Dowód



Wniosek Podprzestrzenie liniowe sko´nczenie wymiarowe w PWT Hausdorffa s ˛ a domkni˛ete.

Dowód

 Uwaga Wn˛etrze ka˙zde podprzestrzeni liniowej wła´sciwej jest puste (⇒ w przestrzeniach Banacha wy- miar algebraiczny jest > κ

)

Dowód Uwagi → ´cwiczenia

Funkcjonał Minkowskiego zbioru E ⊂ X p

(x) := inf { t > 0 : x ∈ tE

| {z }

X_∅∀_x∈X(E

pochłaniaj ˛ acy

}

1) p

jest subaddytywny oraz p

(αx) = αp

(x) ∀

2) Gdy E absolutnie wypukły to p

(αx) = |α|p

(x) ∀

α > 0 αx ∈ αtE ⇐⇒ x ∈ tE

{s : αx ∈ sE} = α · {t : x ∈ tE} = {αt; x ∈ tE}

inf αA = αinf A ∀

tE + sE ⊂ (t + s)E dla E wypukłych

t

t+s

E +

E ⊂ E

∀

a +

b ∈ E (=wypukło´s´c) {r : (x + y) ∈ rE} ⊂ {s : x ∈ sE}

| {z }

+{t : y ∈ tE

| {z }

y=tb

} \\ inf (A + B) = inf A + inf B

{x : p

(x) < 1} ⊂ E{x : p

(x) ≤ 1}

x ∈ E ⇒ 1 ∈ {t : x ∈ tE} ≤ 1 Niech p

(x) < 1

∃

: z ∈ sE

z =

z + (1 − s) · 0 - kombinacja wypukła

0 ∈ E, bo E pochłaniaj ˛ acy

3 Wykład nr 3

{p

< 1} ⊂ E ⊂ {p

≤ 1}p

(x) = inf {t : x ∈ tE}

p

(x) < 1 ⇒ ∃

x ∈ s · E, x = s· s x = se + (1 − s) · 0

x ∈ E ⇒ 1 ∈ {t : x ∈ tE}

E - absolutnie wypukły (|α| + |β| ≤ 1 ⇒ αe + βf ∈ E)∀

αE + βE = (|α| + |β|)E ´cw

αx ∈ tE ⇔ |α|

∈ tE x ∈

E

x ∈ sE ⇔ αx ∈ |α|sE p

αx = |α|p

(x) Twierdzenie

Funkcjonał liniowy ϕ : X → K (na PWT X) jest:(NWSR) 1. ci ˛ agły (⇔)

2. Ker(ϕ) := {x ∈ X : ϕ(x) = 0} jest zbiorem domknietym (⇔) 3. ∃U -otwarty6= ; ϕ(U ) 6= K

Przestrzenie unormowane i operatory liniowe

Twierdzenie Gdy X, Y -unormowane T : X → Y liniowe to NWSR:

1. T jest ci ˛ agły

2. T jest ograniczony na (pewnej) kuli 3. ||T || := sup

||T x|| < ∞

4. ∃M : ∀

||T x|| ≤ M ||x|| (= wniosek Lipschnitza (x=w-u)) Przykład R

z norm ˛ a euklidesow ˛ a ||(x

, ..., x

)|| = px

+ ... + x

T : R

→ Y y

:= T (

)

)

= (1, 0, ..., 0) .

)

= (0, 0, ..., 1

|{z}

(k)

, ..., 0) to:

T (P x



) = P x

y

||T x|| ≤ P |x

|||y

|| ≤

||x|| · ||(β

· ... · β

)||

| {z }

=M

∀

x ∈domku kuli jednostkowej

Czy norma jest ci ˛ agła z warunkiem Lipschniza?

| kxk − kyk | ≤ kx − yk (2-ga nierówno´s´c trójk ˛ ata)

Definicja

B(X, Y ) = {T : T -jest operatorem liniowym ci ˛ agłym z X doY }

Jest to przestrze´n unormowana. Ponadto kT · Sk ≤ kT · Sk, kT (S(x))k < kT k kSxk ≤ kT k kSk kxk Np. k(T

+ T

)xk = kT

x + T

xk ≤ kT

xk + kT

xk ≤ kT

k kxk + kT

k kxk = (kT

+ T

k) kxk ⇒ kT

+ T

k ≤ kT

k + kT

k

Definicja

Przestrze´n Banacha = p. unormowana zupełna

Przykład: C[a, b] z norm ˛ a kf k = sup

[f (t)] jest zupełna ∀

|f

(t

)| ≤ kf

− f

k (´cw)

C

[a, b] = f ∈ C[a, b] : ∃

{p|

:p-wielomian} s ˛ a podprzestrzeniami g˛estymi C

[a, b] nie jest zupełna z norm ˛ a “supremow ˛ a” ale jest zupełna z norm ˛ a kf k

= |f (a) + sup

f

(t)| (równo- wa˙zn ˛ a z norm ˛ a sup

|f | + sup

|f

|

Definicja

Normy kk

, kk

na X s ˛ a równowa˙zne ⇔ ∃

∀

C

|x|

≤ kxk

≤ C

kxk

Twierdzenie

Gdy X, Y unormowane X 6= {0}, to B(X, Y ) jest zupełna ⇔ Y jest zupełna Dowód

(⇐)

Niech (T

⊂ B(X, Y )) bedzie ci ˛ agiem Cauchy’ego.

Dla dowolnie ustalonego x

∈ X mamy

kT

x

− T

x

k = k(T

− T

)x

k ≤ kT

− T

k kx

k)

−→ 0 (⇒)

T

x

jest ci ˛ agiem Cauchy’ego w Y

Y - zupełna ⇒ ∃T

(x

) :=lim T

x

x

= x

+ x

T

: x

→ T

x

T

: x

→ T

x

⇒ T

(x

+ x

)

| {z }

−>T₀(x1+x2)

→ T

x

+ T

x

\\ addydtywno´s´c T

Wyka˙zemy, ˙ze T

jest ograniczony kT

− T

k → 0 Ustalmy  > 0, ∃

∀

kT

− T

k <  Dla kxk ≤ 1 kT

x − T

xk <  · kxk ≤  m → ∞ z ci ˛ agło´sci normy

kT

x − T

xk ≤ 

⇒ (po przej´sciu do kresu (sup

)) mamy kT

− T

k ≤  ∀n ≥ K M = sup kT

k

kT

xk ≤ M kxk → kT

xk ≤ M kxk



Gdy T = K to B(X, K) oznaczamy jako X

(przestrze´n dualna do X) B(X

, K) =

X

(druga dualna do X)

Zanurzenie kanoniczne:

j : X 3 x → x

∈ X Dla ϕ ∈ X

x

(ϕ) := ϕ(x) kx

k = sup|ϕ(x)| ≤ ∗

kϕk ≤ 1 ϕ ∈ X

⇒ |ϕ(x)| ≤ kϕk kxk

∗ ≤ kxk Uwaga

Zachodzi “Dualny wzór na norm˛e”

kxk = sup

|ϕ(x)|, j jest izometri ˛ a (x

) ci ˛ ag w X

P x

= x

oznacza, ˙ze ∃x

= lim

P

x

tzn. kS

− x

k k → ∞

Definicja

Szereg P x

bezwzgl˛ednie zbie˙zny gdy P kx

k < ∞

Szereg ten jest warunkowo zbie˙zny gdy ∀π : N → N bijekcja P

n=1

x

jest zbie˙zny.

Twierdzenie Przestrze´n (X, kk) jest zupełna ⇔ ka˙zdy szereg bezwzgl˛ednie zbie˙zny jest zbie˙zny⇔ Gdy

∀(x

) kx

k ≤ c

⇒ P x

zbie˙zny

4 Wykład nr 4

Twierdzenie (Kryterium “Szeregowe” zupełno´sci (X, kk)) Mamy ustalony ci ˛ ag liczb c

= 0 takie, ˙ze P c

< ∞ Wówczas:

1) X, kk jest zupełna

2) Szeregi bezwzgl˛ednie zbie˙zne o wyrazach z X s ˛ a zbie˙zne 3) x

∈ X, kx

k ≤ C, to P

n=1

x

jest zbie˙zny 4) Gdy z

∈ X : kz

− z

k ≤ c

to ∃limz

∈ X Dowód

1) ⇒ 2) Ustalamy x takie, ˙ze P

n=1

x

< ∞ S

:= P

n=1

x

, to mamy wykaza´c, ˙ze ∃limS

(=

P

x

) m > k, to kS

− S

k =

P

n=k+1

x

≤ P

n=k+1

kx

k

−→ 0 czyli ci ˛ ag sum cz˛e´sciowych spełnia warunek Cauchy’ego ⇒ teza x

= z

− z

P

n=0

x

= z

, kx

k ≤ c

⇒ P x

- zbie˙zny czyli ∃lim z

(4) ⇒ (1) Ustalmy dowolny ci ˛ ag Cauchy’ego y

w X Uwaga: gdy pewien podci ˛ ag y

jest zbie˙zny (do granicy g) to: y

→ y.

 ∃

∀

ky

− y

k <

∃

∀

ky

− gk <

(y

) jest Cauchy’ego ⇐⇒ diam{y

: n ≥ k} → 0 diamA

< C

diamA

< C

, (∃n

> n

) k ≥ l, to y

, y

∈ A

n

≥ n

ky

− y

k ≤ c

dzi˛eki

dla

=⇒ ∃lim y

Przykład szeregu zbie˙znego bezwarunkowo, lecz nie bezwzgl˛ednie X = l

= {(d

)

: sup|α

| < ∞}



= ci ˛ ag(0, ..., 0, 1

|{z}

(k)

, 0, ...)) S := ci ˛ ag

S − S

=ci ˛ ag(0, ..., 0,

,

, ...), kS − S

k =

Ustalamy σ : N → N bijekcja

Wyka˙zemy, ˙ze S = P

x

Je˙zeli w´sród licz od σ(1), ..., σ(k) s ˛ a wszystkie pocz ˛ atkowe liczby 1, ..., m (k ≥ max{σ

(1), ..., σ

(m)}) to S − S

=ci ˛ ag(0, ..., 0

|{z}

(m)

{(

lub 0, ...))

S − S

≤



Twierdzenie

Gdy T ∈ B(X, Y ) - liniowo ci ˛ agły, to dla szeregu zbie˙znego (S = P

n=1

) w X, szereg P T x

te˙z jest zbie˙zny so sumy T (S)

Zbie˙zno´s´c bezwzgl˛edna (odp. bezwarunkowa P x

) implikuje analogiczn ˛ a zbie˙zno´s´c P T x

T ( P

1

x

) =

lim

T ( P

1

x

) = lim P

1

T x

= P

T x

kT x

k ≤ |T | kx

k

Przykład 1

X = C([0, 1]), kf k = sup

|f | Y = R T f := R

0

f (t)dt, kT k = 1

wi˛ec gdy P f

jest jednostajnie zbie˙zny to R

0

(P f

(t))dt = P R

0

f

(t)dt Przykład 2

T f = f

X = C

[a, b], Y = C[a, b] z normy sup|f

| + |f (a)|

Twierdzenie (Banacha o przedłu˙zaniu ze zbiorów g˛estych)

Gdy D ⊂ X jest g˛est ˛ a podprzestrzeni ˛ a przestrzeni unormowanej (X, kk), za´s Y przestrzeni ˛ a Banacha, ka˙zdy operator liniowy i ci ˛ agły T : D → Y ma dokładnie jedno przedłuzenie ˜ T ∈ B(X, Y ) (tzn.

T | ˜

= T ) Dowód

f, g ∈ C(X, Y ) to {x : f (x) = g(x)} jest zbiorem domknietym (z topologii i gdy f |

= g|

⇒ f = g na X) (dowód (⇒ jednoznaczno´sci przedłu˙zenia))

Dowód istnienia ci ˛ agu Cauchye’go

(Konstrukcja) Dla z ∈ X ∃

z = lim x

Istnieje wa˙zno´s´c lim T x

kT

− T ˆ x

k = kT (x

− ˆ x

)k ≤ kT k

kz−zk=0 przy n,m→∞

z }| {

kx

− ˆ x

k ⇒ jest to ci ˛ ag Cauchy’ego gdy ˆ x

→ z, to lim T ˆ x

=

limT x

T jest liniowy ˆ ˆ T (lim x

+ lim w

) = limT x

+ limT w

x

→ z to

T ˆ

= lim kT x

k ≤ kT k lim kx

k = kzk

 Lemat Gdy S ∈ B(x)(= B(x, x)), to operatory lewostronnego i prawostronnego mnozenia przez S:

L

: B(x) 3 T → S · T (=

ST ) R

: B(x) 3 T → T · S

s ˛ a liniowo ci ˛ agłe Dowód

liniowo´s´c - OK

ci ˛ agło´s´c: kL

(T )k = kS · T k ≤ kSk kT k



Twierdzenie (Carl Neumann) o szeregu Neumanna

Gdy X jest przestrzeni ˛ a Banacha, to gdy T ∈ B(X), kT − Ik < 1, to ∃ T

∈ B(x) Dowód

Niech A := I + P

n=1

(I − T )

. Jest to szereg bezwzgl˛ednie zbie˙zny, bo k(I − T )

k ≤ k(I − T )k

, zupełno´s´c X gwarantuje zupełno´s´c B(x) ⇒ zbie˙zno´s´c szeregu

(I − T )A

| {z }

A−T A

= I − T + L

( P

n=1

(I − T )

) = I − T + P

n=1

(I − T )

= P

n=1

(I − T )

= A − I A − T A = A − I

T A = T Podobnie AT = I (korzystamy z lematu dla R

)



5 Wykład nr 5

L ˆ

(µ) = {f − mierzalna, R

|f |

|{z}

(kf k_p)^p

dp < ∞}, µ-zupełna

L

(µ) = ˆ L

/

p

, kf k

= 0 ⇐⇒ f = 0 p.w. (1 ≤ p < ∞) [f ] = {g : g = f p.w. [µ]} (wówczas kf k

= kρk

=

k[f ]k

) Definicja

Je´sli p, q > 0 s ˛ a wykładnikami sprz˛e˙zonymi (lub liczbami harmonicznie sprz˛e˙zonymi), gdy

+

= 1 ⇐⇒ pq = p + q

(1 − p)(1 − q) = 1 − (p + q) + pq = 1

-

6

R

0

x

dx =

R

0

y

dx =

Je´sli a,b>0

ab <

+

dlaa

6= b ab <

+

dlaa

= b

-

6

(=Nierówno´s´c Younga)

ab ≤

+

Twierdzenie

Dla f ∈ ˆ L

(µ), g ∈ ˆ L

(µ)

| R f gdµ| ≤ kf k

kqk

(Nierówno´s´c H ¨ oldera) Dowód

Gdy kf k

= 0 lub kgk

= 0, to która´s z tych funkcji ≡ 0 p.w[µ] ⇐⇒ lewa strona = 0 Zało˙zenia: kf k

6= 0, kgk

6= 0

Dowód przy załozeniu kf k

= 1 = kgk

-st ˛ ad wynika, ˙ze | R

kf k_pkgk_q

f gdµ| ≤ 1 (dla

p

spełnia

1 kf k_p

= 1 z jednorodno´sci k·k

)

|f (w)g(w)| ≤

+

Całkuj ˛ ac stronami R |f g|dµ ≤

+

q q

q

=

+

= 1



Nierówno´s´c Minkowskiego

Dla 1 < p < ∞; ϕ, ψ ∈ L

(µ) kϕ + ψk

≤ kϕk

+ kψk

Dowód

Niech

+

= 1

kϕ + ψk

= R |ϕ + ψ|

dµ = R y|ϕ + ψ||ϕ + ψ|

dµ ≤ R |ϕ||ϕ + ψ|dµ + R |ψ||ϕ + ψ|

dµ ≤ kψk

kϕ + ψk

p q

p

Sprawdzamy, ˙ze |ϕ + ψ|

∈ L

:

|ϕ + ψ|

= |ϕ + ψ|

p+q−q

z }| {

pq − q = |ϕ + ψ|

Z nierówno´sci H ¨ oldera R |ϕ| |ϕ + ψ|

dµ ≤ kϕk

·

(ϕ + ψ)

= kϕk

(R |ϕ + ψ|

dµ)

= kϕk

kϕ + ψk

p

pq

kϕ + ψk

≤ (kϕk

+ kψk

) kϕ + ψk

p q

p

kϕ + ψk

p q

p

≤ kϕk + kψk

kϕ + ψk

, to p −

=

=

= 1

 Lemat

dla f ∈ L

(µ), α > 0

µ{w ∈ Ω : |f (w)| > α} ≤

p p

α^p

kf k

= R

Ω

|f |

dµ > R

A

|f |

dµ ≥ α

µ(A) Wniosek:

gdy f

→ f w L

, czyli kf

− f k → 0 to f

(µ)

→ f czyli ∀

µ{(f

− f ) > α} → 0 Twierdzenie Riesza

I Przestrze´n L

(µ) jest zupełna

II Ka˙zdy ci ˛ ag zbiezny w k·k

zawiera podci ˛ ag zbiezny p.w. [µ]

Dowód

ad 1) Stosujemy kryterium “szeregowe zupełno´sci” dla c

= 3

Zało˙zenia: kf

k

≤ 3

Teza: P

n=1

f

jest zbie˙zny w L

(µ), tzn. ∃

lim

P

n=1

f

− S

→ 0 (dygresja: x

= z

− z

to P x

= (limz

) − z)

Niech B

= {w ∈ Ω : |f

(w)| ≥ 2

} z lematu:

⇒ µ(B

) ≤

p p

(_2n¹ )^p

≤ ((

)

)

⇒ P µ(B

) < ∞ z lematu Borela-Cantellego µ(limsupB

) = 0 B = T T

B

, x ∈ do nieko´nczenie wieu B.

∀

P

f

− S

p

p

= R lim

| P

I

f

− P

1

f

|

dµ ≤ liminf R | P

f

− P

f

|

=

= liminf

R | P

f

|

dµ = liminf

P

f

p p

S − P

f

≤ lim

P

f

≤ lim P

k+1

kf

k

≤ P

k+1

3

→ 0 ad 2)

z

+ z

≤ 3

6 Wykład nr 6

Zadanie

(Ω, B, µ) - przestrze´n z miar ˛ a

f : Ω → R

mierzalna to rozwa˙zamy jej funkcj˛e “rozkładu”

g(f ) := µ{w ∈ Ω : f (w) > f } Wykaza´c, ˙ze R |h|

dµ < ∞

Całka Stieltjesa: R hdg = granica sum postaci:

n

X

I

h(ξ

)[g(t

) − g(t

)], ξ ∈ [t

, t

]g ∈ C

, to Z

a

hdg = Z

a

h(t)g

(t)dt

Twierdzenie Zało˙zenia:

p(λx) = |λ|p(x) ∀

|λ|>1

p : X −→ R

ϕ : X → C Wówczas:

|ϕ| ≤ p ⇔ Reϕ ≤ p tzn ∀

[ϕ(x) ≤ p(x)] ⇔ [∀

Reϕ(x) ≤ p(x)]

Dowód

⇒ bo Rez ≤ |z|

⇐ ∃

: |λ| = 1 |ϕ(x)| = λ · ϕ(x) = ϕ(λx) = Reϕ(λx) ≤ p(λx) = p(x)

 Wnioski:

1) Dla ϕ - jak wy˙zej M ⊂ X - podprzestrzeni liniowej gdy Reϕ|

≤ 0, to M ⊂ Ker(ϕ), czyli ϕ|

= 0

2) Odwzorowanie:

(B)(X, C) = X

3 ϕ −→ Reϕ ∈ B

(X, R) = X

jest izometri ˛ a (χF )(x) = F (x) − iF (ix)

2 χ(Reϕ) = ϕ

Definicja

Przestrze ´n unitarna to przestrze´n wektorowa H z iloczynem skalarnym czyli odwzorowaniem h·, ·i : H × H → K K = R lub C, które jest liniowe wzgl˛edem pierwszej zmiennej sko´snie syme- tryczna (hy, xi = hx, yi) hα

x

+ α

x

, yi = α

hx

, yi + α

hx

, yi i dodatnio okre´slona hx, xi >

0 ∀

Wektory u, w ∈ H s ˛ a prostopadłe w (H, h, i) gdy hu, wi = 0 [ozn u⊥w]

hαx, αxi = α hx, αxi = αα

|{z}

|α|²

hx, xi

⇒ jednorodno´s´c

kx + yk

= kxk

+ kyk

+ 2Re hx, yi

| {z }

√

hx,yi+hy,xi

Wniosek: Tw Pitagorasa: x⊥y → kx + yk

= kxk

+ kyk

Przykład 1 iloczynu skalarnego

W C

mamy “standarowy iloczyn skalarny”: (z = (z

, . . . , z

), w = (w

, . . . , w

)) hz, wi := z

w

+ z

w

+ . . . + z

w

Przykład 2 iloczynu skalarnego

hf, gi :=

Z

f (t)g(t)dt

w l

h(α

, (β

)i) =

inf ty

X

j=1

α

β

W R

we´zmy baz˛e ~ f

, ~ f

. ~ f

= (1, 0), ~ f

= (1, 1)

s ∈ R

3 y, to niech x = x

f ~

+ x

f ~

hx, yi := x

y

+ x

y

Dlaczego prostopadłe? Bo po podstawieniu x = 0 + 0 = 0 i hx, yi := 0 + 0 = 0 Z twierdzenia kosinusów:

kx − yk

= kxk

+ kyk

− 2 kxk · kyk cos∠(x, y) = kxk

+ kyk

− 2Re hx, yi cos ∠(x, y) = Re hx, yi

kxk kyk to definiuje k ˛ at Nierówno´s´c Cauchy’ego-Buniakowskiego-Schwarza (CBS)

∀

khx, xik ≤ kxk kyk Dowód

Ustalmy x, y ∈ H ∀

+ t

kyk

≥ 0 stałe

⇒ wyró˙znik tego trójmianu (zmiennej t ∈ B) jest ≥ 0 4(Re hx, yi)

− 4 kxk

kyk

⇒ Re hx, yi ≤ kxk kyk kx + yk

≤ kxk + kyk ⇔

kx + yk

≤ kxk

+ kyk

+ 2 kxk kyk

kx + yk

= kxk

+ kyk

− 2 kxk kyk cos ∠(x, y)



Definicja

Przestrze ´n Hilberta to przestrze´n unitarna, która jest zupełna w normie kxk = phx, xi Przykład

L

(µ) jest p. Hilberta z iloczynem hf, yi = R f ¯ gdµ

p =, g = 2 s ˛ a kanonicznie sprz˛e˙zone wi˛ec z nierówno´sci Holdena:

| Z

f ¯ gdµ

| {z }

|hf,gi|

| ≤ Z

|f ¯ g|dµ ≤ ( Z

|f |

)

( Z

¯ g

)

| {z }

kf kkgk

kx + yk

= kxk

+ kyk

+ 2Re hx, yi

kx − yk

= kxk

+ kyk

− 2Re hx, yi + //dodajemy stronami

⇔ (Reguła równoległoboku: kx + yk

+ kx − yk

= 2(kxk

+ kyk

)) Wzór polaryzacyjny:

1

4 (kx + yk

− kx − yk

) = Re hx, yi hx, yi = 1

4 (kx + yk

− kx − yk

− i kx + iyk

+ i kx − iyk

)

Rzut prostopadły punktu x na zbiór domkni˛ety, wypukły M , to taki punkt x

zbioru M dla którego x − x

= inf

kx − mk

Oznaczenia x

= P

x

kx − a − (y − a)k = kx − yk (przesuni˛ecia s ˛ a izometriami przestrzeni unormowanych) Uwaga: Gdy x = 0, to P

0 jest “najkrótszym wektorem w zbiorze M”

kP

0k = inf

m∈M

kmk =

δ W ogólnym przypadku dzi˛eki izometrii ⇒ P

x = x + P

0

Uwaga: P

(P

x) = P

x (P

◦ P

= P

) (własno´s´c przesuwalno´sci rzutów) Twierdzenie

W przestrzeni Hilberta ka˙zdy punkt ma dokładnie jeden rzut na dany zbiór domkni˛ety, niepusty i wypu- kły M.

Dowód:

Dzi˛eki przesuwalno´sci rzutów, wystarczy dowie´s´c istnienia i jednoznaczno´sci rzytu punktu x = 0, czyli tego, ˙ze:

∀!

kz

k = inf

m∈M

kmk =

δ (jest najmniejsze) Wybierzmy ci ˛ ag (z

) w zbiorze M taki, ˙ze kz

k → δ

Uwaga: wypukły ⇒ ∀

2

(u + w) ∈ M wi˛ec ku + wk

≥ 4δ

Chcemy sprawdzi´c warunek Cauchy’ego:

0 ≤ kz

= z

k = 2(kz

k

+ kz

k

) − kz

+ z

k

≤ 2(kz

k

+ kz

k

)

| {z }

n,k→∞

−→δ²

−4δ

Wniosek

Z zupełno´sci i z otrzymanego wła´snie warunku Cauchy’ego to istnienie granicy z

:= lim z

. Z ci ˛ agło´sci k·k ⇒ kz

k = lim kz

k = δ

Gdyby kz

k = δ, z

= M kz − z

k

≤ 2(kz

k

+ kz

k

) − 4δ

= 0 ⇒ z

= z

Twierdzenie

z

= P

z

 z

∈ M

z − z

⊥m ∀

gdy M = lim M

7 Wykład nr 7

y

= rzut na zbiór (wypukły domkniety) M , gdy y

= P

x

- rzut x

na M odległo´s kx

− y

k minimalizacja odległo´sci kx

− mk, m ∈ M i y − 0 ∈ M Niech z ∈ M ⇒ ∀

tz + (1 − t)Y

∈ M

⇒ funkcja kx

− [tz + (1 − t)y

]k

osi ˛ aga warto´s´c najmniejsz ˛ a na [0, 1] w punkcie t = 0 Ψ = kx

− y

+ t(y

− z)k

= kx

− y

k

+ 2tRe hx

− y

, y

− zi + t

ky

− zk

Ψ(0) = min

Ψ ⇒ ψ

(0) ≥ 0

Twierdzenie (wariancyjna charakteryzacja rzutu) Gdy x

∈ H, y

∈ M , M - domkni˛ety i wypukły, to:

1) y

= P

x

⇔ ∀

Re hx

− y

, y

− zi ≥ 0

2) W przypadku, gdy M jest podprzestrzeni ˛ a afiniczn ˛ a domkni˛et ˛ a (tzn. m − y

jest podprzestrzeni ˛ a liczbow ˛ a), to

y

= P

x ⇔ x

− y

⊥M − y

, czyli x

− y − 0⊥m − y

∀

3) Gdy M jest domkni˛et ˛ a podprzestrzeni ˛ a liniow ˛ a to

y

= P

x

⇔ y

∈ M oraz x

− y

⊥M

@

@

@

@

@

@

@

@

@

Dowód(1)

(⇒) było (Ψ - osi ˛ aga minimum w punkcie t = 0) (⇐) ψ

(t) ≡ const ≥ 0

2 ky

− zk

(⇒) ψ

ro´snie, gdy ψ

(0) ≥ 0 ⇒ ψ

(t) ≥ 0 ∀

Wnioskiem jest twierdzenie o rozkładzie ortogonalnym Twierdzenie o rozkładzie ortogonalnym

Gdy M = ¯ M = lim(M ) ⊂ H, H - p. Hilberta

∀

∃!

1,x2)∈M ×M^⊥

, x = x

+ x

, tzn. x

∈ M, x

⊥M Dowód

x

:= P

x x

:= x − x

⊥M z punktu (3) ostatniego twierdzenia Gdyby x = ¯ x

+ ¯ x

, to x

− ¯ x

| {z }

∈M

= ¯ x

− x

| {z }

∈M^⊥

⇒ x

− ¯ x

∈ M ∩ M

= {0}

i to jest dowód jednoznaczno´sci Np gdy M = {f ∈ L

[−1, 1] : f (t) = f (−t) p.w.} to (P

f )(t) =

2

p.w. to M

=funkcja nieparzysta

Uwaga: Lindenstrauss i Tzafriri wykazali ˙ze:

gdy w przestrzeni Banacha X dla ka˙zdej podprzestrzeni liniowej domkni˛etej M istnieje jaka´s podprze- strze´n liczbowa domkni˛eta N ⊂ X

X = M + N, M ∩ N = {0}, to X jest izomorficzna z pewn ˛ a podprzestrzeni ˛ a Hilberta

Własno´sci rzutu prostopadłego na domkni˛et ˛ a podprzestrze ´n liniow ˛ a M Niech P = P

, P : H → H

(1) P jest odwzorowaniem liniowym (2) P ◦ P (czyli P

)= P

(3) kP k = 1 gdy M 6= {0} (i 0 gdy M = 0) (4) “symetria” hP

, yi = hx, P

i

(5) Gdy P i H → H spełnia (1),(2) i jeden z warunków (3) lub (4) to ∃

P = P

, M = P (H) = ker(I − P )

D

x = x

|{z}

∈M

+ x

|{z}

∈M

I − P : x → (x − x

) = x

wi˛ec I − P

= P

K

Dowód(1)

x

= P

- rzut x x = x

+ x

x

, y

∈ M

y = y

+ y

x

, y

⊥M (x + y) = (x

+ y

| {z }

∈M

) + (x

+ y

| {z }

⊥M

)

Dowód(2)

(P x) = P x

|{z}

∈M

+ 0

|{z}

⊥M

⇒ P (P x) = P x

Dowód(3)

kxk

= kx

k

+ kx

k

≥ kx

k

= kP xk

kP xk ≤ 1 · kxk kP k ≤ 1

∃

, to P m

= m

⇒ kP k ≥ 1 Dowód(4)

Wyka˙zemy, ˙ze hP

i = hP x, P yi = hx, P yi

⇔ z addytywno´sci hP x, ·i hP x, y − P yi = 0 Dowód 5

Niech M := P (H) Q = I − P

Wówczas QP = P Q = 0, Q

= Q (algebra), oraz H = M + Q(H)

| {z }

suma prosta

, M ∩ Q(H) = {0} ⇒ P

z = 0

Poniewa˙z H = Q(H) + Q(H)

wi˛ec z liniowo´sci P wystarczy dowie´c, ˙ze:

P

= P

z w 2 przypadkach:

(1) dla z ∈ Q(H) (2) dla z⊥Q(H)

z ∈ Q(H), to z = Qz, P

= P Qz = 0 P

z = 0 To samo zrobi´c trzeba w drugim przypadku (2)

x = P z, y = Qz, to

kzk

≤ kP

k

= kz − yk

= kzk

− 2Re hz, yi + kyk

→ kyk

= 0 y = 0 ⇒ P

= z Twierdzenie Riesza-Frecheta (o postaci funkcjonału)

Gdy ϕ : H → K jest funkcjonałem liniowym ci ˛ agłym na H to ∃!

: ∀

ϕx = hx, zi. Ponadto kzk = kϕk

U

: hx, αzi = α hx, zi Dowód

Gdy ϕ 6= 0, niech M = ker ϕ ⊂ H

∃

: y

⊥M oraz ϕ(y

) = 1

(z twierdzenia o rozkładzie - tu wykorzystujemy zupełno´s´c)

st ˛ ad x − ϕ(x)y

⊥y

hx − ϕxy

, y

i = 0 hx, y

i = ϕ(x) hy

, y

i

| {z }

=ky0k²

z =

0k²

hx, zi = ϕ(x)