1. Udowodni¢, »e dla ka»dego x ∈ M mamy:

Teoria modeli ciaª, Lista 14

Niech p b¦dzie liczb¡ pierwsz¡, e, n ∈ N, M |= SCF ^λ _p,e b¦dzie modelem monstrum, b = {b 1 , . . . , b _e } wyró»nion¡ p-baz¡ M i K 4 M.

1. Udowodni¢, »e dla ka»dego x ∈ M mamy:

x = X

j∈(p

)

x ^p _j

b ^j .

2. Niech y ∈ M, ¯z ⊆ M. Udowodni¢, »e je±li y ∈ K(¯z) ^sep , to wtedy y _6n ⊆ K(¯ z _6n , y) .

3. Udowodni¢, »e je±li X ⊆ M ⁿ jest deniowalny i niesko«czony, to RM(X) = ∞ .

4. Niech ¯x ⊆ M. Udowodni¢, »e:

(a) acl(¯ x) = F _p (¯ x _∞ , b) ^sep , (b) dcl(¯ x) = F _p (¯ x _∞ , b) .

5. Niech {m 0 , . . . , m _p

₋₁ } = Γ _b . Ideaª I C K[X ∞ ] jest rozdzielczy, gdy dla ka»dych f 0 , . . . , f _p

₋₁ ∈ K[X _∞ ] mamy:

p X

−1 j=0

f _j ^p m _j ∈ I =⇒ f ₀ , . . . , f _p

₋₁ ∈ I.

Deniujemy te»:

I ₀ := h{X _i −

p X

−1 j=0

X _(i,j) ^p m _j | i ∈ p ^∞ }i C K[X _∞ ].

Udowodni¢, »e obrazem S 1 (K) przy odwzorowaniu S ₁ (K) 3 tp(a/K) 7→ I _K ^λ (a) C K[X _∞ ]

jest zbiór ideaªów pierwszych rozdzielczych K[X ∞ ] zawieraj¡cych I 0 .

1