Udowodnij, »e dla x ≥ −1 i r ≥ 1 zachodzi nierówno±¢ (1 + x)r ≥ 1 + rx

Wrocªaw, 1 lutego 2018 POCHODNE - ZADANIA PRZED SPRAWDZIANEM

1. Wyznacz ekstrema funkcji x²e^1−x.

2. Udowodnij, »e dla x ≥ −1 i r ≥ 1 zachodzi nierówno±¢

(1 + x)^r ≥ 1 + rx.

3. Oblicz z denicji pochodn¡ funkcji sin(x).

4. Niech f(x) = x³− 3x + 2. Wyznacz te styczne do wykresu funkcji f, które przechodz¡

przez punkt (2, −4).

5. Dla jakiej warto±ci parametru a funkcja f(x) = ax² jest styczna do wykresu krzywej y = ln x?

6. Jak¡ najwi¦ksz¡ obj¦to±¢ ma walec wpisany w kul¦ o ±rednicy 12cm?

7. Wyznacz najmniejsz¡ warto±¢ funkcji f(x) = log^√_2/2(8x − x²). 8. Wyznacz najwi¦ksz¡ warto±¢ funkcji f(x) = sin²x + cosx.

9. Oblicz granice:

x→0lim

cosx − 1 xsinx

x→∞lim x(arctgx − π 2)

x→∞lim

ln(1 + x³) x − sinx 10. Znajd¹ liczb¦ L z dokªadno±ci¡ do delta, gdzie:

• L =√

10003, δ = 10⁻³

• L = ln²²₂₁, δ = 10⁻²

• L =√

e, δ = 10⁻⁵

11. Udowodnij, »e dla x > 0 zachodzi

ln(1 + x) > x −x² 2 .

Marcin Preisner [ marcin.preisner@uwr.edu.pl ].

1