2. Udowodni¢, »e dla ∂ z zadania 1. i F ∈ K[X 1 , . . . , X n ] mamy:

(1)

GEOMETRIA ALGEBRAICZNA, Lista 4

Niech K b¦dzie ciaªem algebraicznie domkni¦tym, n ∈ N >0 i V ⊆ A ⁿ b¦dzie rozmaito±ci¡ algeb- raiczn¡.

1. Udowodni¢, »e istnieje jedyne ró»niczkowanie

∂ : K[X ₁ , . . . , X _n ] → K[X ₁ , . . . , X _n , X ₁ ⁰ , . . . , X _n ⁰ ] takie, »e dla i ∈ {1, . . . , n} mamy ∂(X i ) = X _i ⁰ oraz ∂(K) = {0}.

2. Udowodni¢, »e dla ∂ z zadania 1. i F ∈ K[X 1 , . . . , X n ] mamy:

∂(F ) =

n

X

i=1

∂F

∂X i

X _i ⁰ .

3. Udowodni¢, »e je±li (F 1 , . . . , F m ) = (H 1 , . . . , H k ) , to dla ∂ z zadania 1. mamy:

(F ₁ , . . . , F _m , ∂(F ₁ ), . . . , ∂(F _m )) = (H ₁ , . . . , H _k , ∂(H ₁ ), . . . , ∂(H _k )).

4. Udowodni¢, »e je±li V jest gªadka, to T V te» jest gªadka.

5. Niech K = C i zaªó»my, »e V jest gªadka. Wtedy wiemy, »e V i T V maj¡ naturalne struktury rozmaito±ci ró»niczkowych. Niech T V oznacza wi¡zk¦ styczn¡ w sensie geometrii ró»niczkowej.

Udowodni¢, »e T V jest dyfeomorczna z T V i »e ten dyfeomorzm jest zgodny z rzutowaniami π V : T V → V i T V → V .

6. Zaªó»my, »e 0 = (0, . . . , 0) ∈ V . Deniujemy przeksztaªcenie K-dwuliniowe:

Ψ : K ⁿ × K[X ₁ , . . . , X _n ] → K, Ψ(¯ x, F ) = ∂F (0, ¯ x).

Udowodni¢, »e:

(a) Ψ(π _V ⁻¹ (0) × I(V )) = 0 ; (b) Ψ(K ⁿ × I(0) ² ) = 0 ;

(c) nast¦puj¡ce przeksztaªcenie K-dwuliniowe indukowane (dzi¦ki (a) i (b)) z Ψ Ψ : π e _V ⁻¹ (0) × I V (0)/I V (0) ² → K

jest niezdegenerowane (przypominam, »e: I(0), I(V ) C K[X 1 , . . . , X _n ], I _V (0) C K[V ]).

7. Niech R b¦dzie UFD, r ∈ R b¦dzie nierozkªadalny i L = R 0 . Deniujemy v _r : L ^∗ → Z, v _r (α) = n dla α = r ⁿ a

b , gdzie a, b ∈ R oraz r - ab.

Dla α, β ∈ L ^∗ udowodni¢, »e:

(a) je±li α + β ∈ L ^∗ , to v r (α + β) > min(v r (α), v r (β));

(b) v r (αβ) = v _r (α) + v _r (β) ; (c) v r (L ^∗ ) = Z.

8. Niech (R, m) b¦dzie pier±cieniem DVR i v R valuacj¡ dan¡ przez parametr uniformizuj¡cy R.

Udowodni¢, »e dla dowolnego a ∈ R \ {0} mamy v R (a) = n , gdzie a ∈ m ⁿ \ m ⁿ⁺¹ (m ⁰ := R ).

2. Udowodni¢, »e dla ∂ z zadania 1. i F ∈ K[X 1 , . . . , X n ] mamy:

GEOMETRIA ALGEBRAICZNA, Lista 4

Niech K b¦dzie ciaªem algebraicznie domkni¦tym, n ∈ N >0 i V ⊆ A ⁿ b¦dzie rozmaito±ci¡ algeb- raiczn¡.

1. Udowodni¢, »e istnieje jedyne ró»niczkowanie

∂ : K[X ₁ , . . . , X _n ] → K[X ₁ , . . . , X _n , X ₁ ⁰ , . . . , X _n ⁰ ] takie, »e dla i ∈ {1, . . . , n} mamy ∂(X i ) = X _i ⁰ oraz ∂(K) = {0}.

2. Udowodni¢, »e dla ∂ z zadania 1. i F ∈ K[X 1 , . . . , X n ] mamy:

∂(F ) =

n

X

i=1

∂F

∂X i

X _i ⁰ .

3. Udowodni¢, »e je±li (F 1 , . . . , F m ) = (H 1 , . . . , H k ) , to dla ∂ z zadania 1. mamy:

(F ₁ , . . . , F _m , ∂(F ₁ ), . . . , ∂(F _m )) = (H ₁ , . . . , H _k , ∂(H ₁ ), . . . , ∂(H _k )).

4. Udowodni¢, »e je±li V jest gªadka, to T V te» jest gªadka.

5. Niech K = C i zaªó»my, »e V jest gªadka. Wtedy wiemy, »e V i T V maj¡ naturalne struktury rozmaito±ci ró»niczkowych. Niech T V oznacza wi¡zk¦ styczn¡ w sensie geometrii ró»niczkowej.

Udowodni¢, »e T V jest dyfeomorczna z T V i »e ten dyfeomorzm jest zgodny z rzutowaniami π V : T V → V i T V → V .

6. Zaªó»my, »e 0 = (0, . . . , 0) ∈ V . Deniujemy przeksztaªcenie K-dwuliniowe:

Ψ : K ⁿ × K[X ₁ , . . . , X _n ] → K, Ψ(¯ x, F ) = ∂F (0, ¯ x).

Udowodni¢, »e:

(a) Ψ(π _V ⁻¹ (0) × I(V )) = 0 ; (b) Ψ(K ⁿ × I(0) ² ) = 0 ;

(c) nast¦puj¡ce przeksztaªcenie K-dwuliniowe indukowane (dzi¦ki (a) i (b)) z Ψ Ψ : π e _V ⁻¹ (0) × I V (0)/I V (0) ² → K

jest niezdegenerowane (przypominam, »e: I(0), I(V ) C K[X 1 , . . . , X _n ], I _V (0) C K[V ]).

7. Niech R b¦dzie UFD, r ∈ R b¦dzie nierozkªadalny i L = R 0 . Deniujemy v _r : L ^∗ → Z, v _r (α) = n dla α = r ⁿ a

b , gdzie a, b ∈ R oraz r - ab.

Dla α, β ∈ L ^∗ udowodni¢, »e:

(a) je±li α + β ∈ L ^∗ , to v r (α + β) > min(v r (α), v r (β));

(b) v r (αβ) = v _r (α) + v _r (β) ; (c) v r (L ^∗ ) = Z.

8. Niech (R, m) b¦dzie pier±cieniem DVR i v R valuacj¡ dan¡ przez parametr uniformizuj¡cy R.

Udowodni¢, »e dla dowolnego a ∈ R \ {0} mamy v R (a) = n , gdzie a ∈ m ⁿ \ m ⁿ⁺¹ (m ⁰ := R ).

9. Niech v b¦dzie waluacj¡ (dyskretn¡) na ciele L. Deniujemy

O _v := {x ∈ L | v(x) > 0}, m _v := {x ∈ L | v(x) > 0}.

Udowodni¢, »e (O v , m _v ) jest pier±cieniem DVR i »e v = v O

.

2. Udowodni¢, »e dla ∂ z zadania 1. i F ∈ K[X 1 , . . . , X n ] mamy:

GEOMETRIA ALGEBRAICZNA, Lista 4

Niech K b¦dzie ciaªem algebraicznie domkni¦tym, n ∈ N >0 i V ⊆ A n b¦dzie rozmaito±ci¡ algeb- raiczn¡.

1. Udowodni¢, »e istnieje jedyne ró»niczkowanie

∂ : K[X 1 , . . . , X n ] → K[X 1 , . . . , X n , X 1 0 , . . . , X n 0 ] takie, »e dla i ∈ {1, . . . , n} mamy ∂(X i ) = X i 0 oraz ∂(K) = {0}.

2. Udowodni¢, »e dla ∂ z zadania 1. i F ∈ K[X 1 , . . . , X n ] mamy:

∂(F ) =

n

X

i=1

∂F

∂X i

X i 0 .

3. Udowodni¢, »e je±li (F 1 , . . . , F m ) = (H 1 , . . . , H k ) , to dla ∂ z zadania 1. mamy:

(F 1 , . . . , F m , ∂(F 1 ), . . . , ∂(F m )) = (H 1 , . . . , H k , ∂(H 1 ), . . . , ∂(H k )).

4. Udowodni¢, »e je±li V jest gªadka, to T V te» jest gªadka.

5. Niech K = C i zaªó»my, »e V jest gªadka. Wtedy wiemy, »e V i T V maj¡ naturalne struktury rozmaito±ci ró»niczkowych. Niech T V oznacza wi¡zk¦ styczn¡ w sensie geometrii ró»niczkowej.

Udowodni¢, »e T V jest dyfeomorczna z T V i »e ten dyfeomorzm jest zgodny z rzutowaniami π V : T V → V i T V → V .

6. Zaªó»my, »e 0 = (0, . . . , 0) ∈ V . Deniujemy przeksztaªcenie K-dwuliniowe:

Ψ : K n × K[X 1 , . . . , X n ] → K, Ψ(¯ x, F ) = ∂F (0, ¯ x).

Udowodni¢, »e:

(a) Ψ(π V −1 (0) × I(V )) = 0 ; (b) Ψ(K n × I(0) 2 ) = 0 ;

(c) nast¦puj¡ce przeksztaªcenie K-dwuliniowe indukowane (dzi¦ki (a) i (b)) z Ψ Ψ : π e V −1 (0) × I V (0)/I V (0) 2 → K

jest niezdegenerowane (przypominam, »e: I(0), I(V ) C K[X 1 , . . . , X n ], I V (0) C K[V ]).

7. Niech R b¦dzie UFD, r ∈ R b¦dzie nierozkªadalny i L = R 0 . Deniujemy v r : L ∗ → Z, v r (α) = n dla α = r n a

b , gdzie a, b ∈ R oraz r - ab.

Dla α, β ∈ L ∗ udowodni¢, »e:

(a) je±li α + β ∈ L ∗ , to v r (α + β) > min(v r (α), v r (β));

(b) v r (αβ) = v r (α) + v r (β) ; (c) v r (L ∗ ) = Z.

8. Niech (R, m) b¦dzie pier±cieniem DVR i v R valuacj¡ dan¡ przez parametr uniformizuj¡cy R.

Udowodni¢, »e dla dowolnego a ∈ R \ {0} mamy v R (a) = n , gdzie a ∈ m n \ m n+1 (m 0 := R ).

9. Niech v b¦dzie waluacj¡ (dyskretn¡) na ciele L. Deniujemy

O v := {x ∈ L | v(x) > 0}, m v := {x ∈ L | v(x) > 0}.

Udowodni¢, »e (O v , m v ) jest pier±cieniem DVR i »e v = v O

.

Niech K b¦dzie ciaªem algebraicznie domkni¦tym, n ∈ N >0 i V ⊆ A ⁿ b¦dzie rozmaito±ci¡ algeb- raiczn¡.

∂ : K[X ₁ , . . . , X _n ] → K[X ₁ , . . . , X _n , X ₁ ⁰ , . . . , X _n ⁰ ] takie, »e dla i ∈ {1, . . . , n} mamy ∂(X i ) = X _i ⁰ oraz ∂(K) = {0}.

X _i ⁰ .

(F ₁ , . . . , F _m , ∂(F ₁ ), . . . , ∂(F _m )) = (H ₁ , . . . , H _k , ∂(H ₁ ), . . . , ∂(H _k )).

Udowodni¢, »e T V jest dyfeomorczna z T V i »e ten dyfeomorzm jest zgodny z rzutowaniami π V : T V → V i T V → V .

6. Zaªó»my, »e 0 = (0, . . . , 0) ∈ V . Deniujemy przeksztaªcenie K-dwuliniowe:

Ψ : K ⁿ × K[X ₁ , . . . , X _n ] → K, Ψ(¯ x, F ) = ∂F (0, ¯ x).

(a) Ψ(π _V ⁻¹ (0) × I(V )) = 0 ; (b) Ψ(K ⁿ × I(0) ² ) = 0 ;

(c) nast¦puj¡ce przeksztaªcenie K-dwuliniowe indukowane (dzi¦ki (a) i (b)) z Ψ Ψ : π e _V ⁻¹ (0) × I V (0)/I V (0) ² → K

jest niezdegenerowane (przypominam, »e: I(0), I(V ) C K[X 1 , . . . , X _n ], I _V (0) C K[V ]).

7. Niech R b¦dzie UFD, r ∈ R b¦dzie nierozkªadalny i L = R 0 . Deniujemy v _r : L ^∗ → Z, v _r (α) = n dla α = r ⁿ a

Dla α, β ∈ L ^∗ udowodni¢, »e:

(a) je±li α + β ∈ L ^∗ , to v r (α + β) > min(v r (α), v r (β));

(b) v r (αβ) = v _r (α) + v _r (β) ; (c) v r (L ^∗ ) = Z.

Udowodni¢, »e dla dowolnego a ∈ R \ {0} mamy v R (a) = n , gdzie a ∈ m ⁿ \ m ⁿ⁺¹ (m ⁰ := R ).

9. Niech v b¦dzie waluacj¡ (dyskretn¡) na ciele L. Deniujemy

O _v := {x ∈ L | v(x) > 0}, m _v := {x ∈ L | v(x) > 0}.

Udowodni¢, »e (O v , m _v ) jest pier±cieniem DVR i »e v = v O