Całki – po raz trzeci i ostatni

Wykład 16

Całki – po raz trzeci i ostatni

Na ostatnim wykładzie poświęconym całkom, zajmiemy się ich zastosowaniem w geometrii i interpretacjami niektórych zastosowań w fizyce.

Objętość

Załóżmy, że A ⊂ R jest zbiorem ograniczonym. Niech

P z oznacza pole przekroju zbioru ( ) A płaszczyzną przechodzącą przez punkt

0 0 z

   

   

 

, prostopadłą do osi OZ JJJG .

Wtedy objętość

zbioru A równa jest ( ) ,

b

a

P z dz

∫ ^{a i b} są tak dobrane, by płaszczyzna o której mowa nie przecinała zbioru , A gdy z ∉ [ , ]. a b Ścisłego dowodu tego twierdzenia nie podamy, spróbujmy wyjaśnić jego genezę. Punktem wyjścia będzie stwierdzenie, że jeśli zbiór A składa się z podstawy B zawartej w pewnej płaszczyźnie Π i wszystkich odcinków do niej prostopadłych, tej samej długości h , których jeden koniec leży w zbiorze B i które leżą po tej samej stronie płaszczyzny Π ( matematycy taki zbiór nazywają walcem o podstawie B , a zwykły walec - walcem kołowym), to objętość zbioru A jest równa P h ⋅ , gdzie P oznacza pole podstawy B . To stwierdzenie uogólnia wzory na objętość walca, prostopadłościanu, czy graniastosłupa prostego. Załóżmy teraz, że a z =

< < z

z

< < ... z

< z

= jest podziałem b przedziału [ , ] a b na dostatecznie krótkie przedziały, to części objętość zbioru A zawartej między płaszczyznami z z =

i z z = równa jest

P t z ( )(

− z

), gdzie t

∈ [ z

, ] z

jest odpowiednio dobranym punktem ( liczba ( ) P t

ma być średnią wartością pól ( ) P z dla

[

, ],

z ∈ z

z ta część zbioru A to nieomal walec na ogół nie kołowy o polu podstawy (

)).

P z

W tej sytuacji możemy stwierdzić, że objętość równa jest

1

( )( ).

n

i i i

i

P t z z

=

∑ − ^Jeżeli

teraz będziemy się starali zawężać przedziały [ z

, ] z

do zera to powyższa suma będzie dążyła do objętości zbioru A równej ( ) .

b

a

P z dz

∫ Można więc uściślić definicję objętości, albo przyjąć, że podany wzór to jej definicja. Pokażemy teraz na kilku przykładach jak ten wzór działa.

Przykłady

1. Niech B będzie zbiorem zawartym w płaszczyźnie Π , którego pole równe jest P .

Niech W będzie punktem leżącym poza płaszczyzną Π i niech S oznacza sumę

wszystkich odcinków zaczynających się w punkcie W , których drugi koniec leży w

zbiorze B (jeśli B jest kołem i punkt W leży nad jego środkiem, to S jest stożkiem o

Taki zbiór S matematycy nazywają stożkiem o podstawie B i wierzchołku W . Niech h oznacza odległość wierzchołka W od płaszczyzny Π , czyli wysokość stożka S . Przetnijmy stożek S płaszczyzną równoległa do Π , której odległość od płaszczyzny Π równa jest z ∈ [0, ]. h Otrzymany przekrój jest figurą podobną do , B w skali h z .

h

− Ponieważ stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa, więc pole ( ) P z tego przekroju jest równe

h z

h P

 − 

 

  . Wobec tego objętość jest równa

2 3 2 3

2 2 2

0 0

2 2 2

0 0 0

( ) ( 2 ) 2

3 2 3

h h h

h h

h z P P P h z z

Pdz h z dz h hz z dz h

h h h h

 

 −  = − = − + =  − +  =

 

   

∫ ∫ ∫

3

3 3

2

1 .

3 3

P h h h Ph

h

 

=  − +  =

 

Otrzymaliśmy, podawane w szkołach wzory na objętość stożka i ostrosłupa jednocześnie, w rzeczywistości wzór otrzymany w tym przykładzie jest nieco ogólniejszy.

2. Załóżmy, że każdy przekrój poziomy zbioru A otrzymany w wyniku przecięcia zbioru A płaszczyzną znajdującą się na wysokości z ∈ [0, ] h ma to samo pole P oraz że przekroje płaszczyznami znajdującymi się na innych wysokościach są puste. Wtedy objętość zbioru A równa jest

0

.

h

Pdz Ph =

∫ Otrzymany wynik stosuje się oczywiście do prostopadłościanu, ale również do równoległościanu, mogą dojść skręcenia różne na różnych poziomach. Twierdzenie pozwalające obliczać w ten sposób objętość zbioru

A zostało sformułowane przez matematyka włoskiego

Bonawentura Francesco Cavalieri (1598 -1647) i jest zwane zasadą Cavalieri’ego.

W czasach kiedy autor tego tekstu był uczniem liceum, zasada ta znajdowała się w po- dręczniku do geometrii Stefana Straszewicza – twórcy olimpiady matematycznej, z którego uczyli się wszyscy licealiści w Polsce.

3. Zajmiemy się teraz kulą o promieniu r . Bez straty ogólności rozważań można przyjąć, że jej środkiem jest punkt 0

0 .

   

  Przecinając kulę płaszczyzną złożoną z punktów, których trzecia współrzędna równa jest z otrzymujemy koło o promieniu

2 2

.

r − z Pole tego koła równe jest π ( r

− z

). Wobec tego objętość kuli równa jest

2 2 2

1

1

2

4

( ) ( ( ) ( ) 2 .

3 3 3 3

r

r

r z dz r r r r r r r r

π π π π

−

     

− =   − − −   − −     =   −   =

∫ ^Znów

otrzymaliśmy w prosty sposób znany ze szkoły wzór. Otrzymał go dawnemu temu Archimedes stosując zręczne rozumowanie geometryczne, jednak ponieważ nie znano w jego czasach całek, zajęło mu to więcej miejsca niż nam korzystających z wielu znacznie późniejszych pomysłów.

4. Znajdziemy objętość dętki zakładając, że powstaje ona w wyniku obrotu koła o promieniu r > 0 wokół prostej leżącej w płaszczyźnie tego koła w odległości R r >

od jego środka. Matematycy powierzchnię dętki nazywają torusem. Przyjmiemy, że

środkiem koła o promieniu r jest punkt 0 0

  R

   

   

oraz że to koło leży w płaszczyźnie

0.

y = Przetnijmy dętkę płaszczyzną poziomą przechodzącą przez punkt 0 0 . z

   

   

  Przekrój jest pierścieniem kołowym, którego promień wewnętrzny jest równy

2 2

R − r − z a zewnętrzny R + r

− z

, zatem polem pierścienia kołowego jest

(

) (

)

2 2

4 .

R r z R r z R r z R r z R r z R r z

r z

π π π

π

   

+ − − − − =  + − + − −   + − − + − 

= −

Wynika stąd, że objętością dętki jest

1

4 4 2 .

2

r

r

R r z dz R r Rr

π π π π

−

− = =

∫

W obliczeniu całki skorzystaliśmy ze wcześniej wyprowadzonego wzoru ( patrz wykład 15) na pole półkola.

Tych kilka przykładów nieźle ilustruje skuteczność rachunku całkowego. Otrzymanie ich bez rachunku całkowego jest możliwe, ale znane wyprowadzenia w istocie zawierają przejścia graniczne znacznie trudniejsze niż rachunki powyżej. Można więc stwierdzić, że stworzenie rachunku całkowego stanowiło ukoronowanie wysiłków wielu ludzi obliczających różne wielkości, np. objętości.

Pola jeszcze raz

Przedstawiliśmy przed chwilą podejście do kwestii obliczania objętości polegające na ,, plasterkowaniu” zbioru trójwymiarowego. Załóżmy, że są dane dwie funkcje ciągłe

, :[ , ] ,

g f a b → R przy czym dla każdego [ , ] x ∈ a b zachodzi równość ( ) f x ≥ g x ( ).

Korzystając ze wzoru na ,, pole pod wykresem” funkcji i odejmując pole pod wykresem funkcji g od pola pod wykresem funkcji f ( można oczywiście założyć, że ( ) 0 g x ≥ dla każdego [ , ], x ∈ a b bo pole nie zmienia się przy przesunięciu) otrzymujemy

( ) ( ) ( ( ) ( ))

b b b

a a a

f x dx − g x dx = f x − g x dx

∫ ∫ ∫ i to jest pole obszaru ograniczonego z dołu wykresem funkcji g a z góry wykresem funkcji . , f Jest mniej więcej jasne, że jeśli opuścimy założenie

,

f ≥ g to wzór na pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji g i f w dalszym ciągu będzie obowiązywać, tyle że otrzymamy ( ) ( ) .

b

a

f x − g x dx

∫ Okazuje się, że całkujemy długość

odcinka otrzymanego w przecięciu obszaru prostą pionową ( zamiast pola przekroju w

przypadku objętości) i w wyniku otrzymujemy pole obszaru (zamiast objętość). Przykładowo

pole koła można obliczać traktując je jako obszar zawarty między wykresami funkcji

2 2

r x

− − oraz r

− x

. Jest więc one równe

( )

(

) ²

² ₂

^.

r r

r r

r x r x dx r x dx π r π r

− −

− − − − = − = =

∫ ∫

Nie będziemy teraz mnożyć przykładów. Zaznaczyć chcieliśmy, że pola można obliczać posługując się tą samą ideą, która ma zastosowanie w przypadku objętości.

Sugeruje to możliwość zbudowania ogólniejszej teorii niezależnej od wymiaru.

Zostało to dokonane przez matematyków na przełomie XIX i XX wieku, dwa najważniejsze nazwiska to Georg.,Friedrich, Bernhard Riemann (1826-1866) oraz Henri, Leon, Lebesque (1875-1941). Teoria Lebesque, której elementy poznamy podczas nauki Analizy II zyskała wielką popularność ze względu na znacznie wygodniejsze w użyciu twierdzenia pozwalające na obliczanie granic ciągów całek.

Długość wykresu funkcji

Załóżmy, że funkcja :[ , ] f a b → (0, +∞ jest różniczkowalna i że jej pochodna ' ) f jest ciągła na przedziale [ , ]. a b Jasne jest, że długość krzywej powinniśmy przybliżać długością łamanej (linii złożonej z odcinków), której wierzchołki dzielą wykres funkcji f na małe fragmenty. Omówimy to nieco dokładniej. Niech

0 1 2

...

.

a x = < < x x < < x = Niech b l oznacza długość odcinka łączącego punkty

1

(

)

i i

x f x

−

−

 

 

  i .

( )

i i

x f x

 

 

  Mamy więc l

= ( x

− x

)

+ ( ( ) f x

− f x (

) .

Z twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej wynika, że istnieje liczba t

∈ [ x

, ], x

taka, że zachodzi równość

l

= ( x

− x

)

+ f t '( ) (

x

− x

)

= ( x

− x

) 1 + f t '( ) .

Stąd wynika, że długość łamanej równa jest

1

...

(

) 1 '( ) .

i

l l l x x

f t

=

+ + + = ∑ − +

Wobec tego długość wykresu funkcji f to 1 ( '( ))

b

a

f x dx

∫ + . Ten wynik jest

oczywisty z punktu widzenia fizyki. Zakładamy, że wykres funkcji to np. szosa, po której porusza się samochód, w ten sposób, że składowa pozioma wektora prędkości równa jest 1. Niech x oznacza czas. Wtedy w chwili x znajdujemy się w punkcie

( ) x f x

 

  −

  zakładamy, że startujemy z punktu 0 (0) , f

 

 

  wtedy '( ) f x mierzy prędkość

zmian wartości funkcji f w chwili , x jest to więc składowa pionowa wektora

prędkości naszego pojazdu. Jego prędkością skalarną jest więc 1 ( '( )) , + f x

ta

prędkość jest oczywiście zależna od czasu. Przebytą drogę należy obliczać mnożąc

czas przez prędkość. Ponieważ prędkość jest zmienna, więc prowadzi to do dzielenia

czasu podróży na krótkie odcinki, w krótkim okresie czasu prędkość jest prawie stała

( prędkość jest funkcją ciągłą czasu), następnie mnożymy ten krótki odcinek czasu

przez prędkość w jakim się w nim poruszamy i sumujemy. Otrzymujemy sumę

2 1

1

( ) 1 '( )

n

i i i

i

x x

f t

=

− +

∑ , a po przejściu granicznym (rozpatrywane odcinki czasu są coraz bliższe 0) otrzymujemy całkę 1 ( '( ))

.

b

a

f x dx

∫ +

Rozumując analogicznie dojść można do wniosku, że ( )

b

a

f x dx

∫ jest drogą przebytą przez pojazd poruszający się po prostoliniowej drodze w ten sposób, że w chwili x jego prędkość jest f x Zamieszczamy to rozumowanie wiedząc, że wielu studentów ( ).

nie przepada za fizyką i argumentami fizycznymi. Jednak ten argument jest bardzo ważny historycznie: Isaac Newton ( 1642-1727) tworzył rachunek różniczkowy i całkowy w silnym związku z fizyką. Po drugie pojęcie prędkości nie jest trudne, przemawia do wyobraźni, więc nawet jeśli ktoś nie znosił fizyki w szkole i nie znosi jej na studiach proszony jest o chwile zastanowienia się nad tym tekstem.

Przykład

5. Półokrąg o promieniu r > 0 możemy potraktować jako wykres funkcji r

− x

zdefiniowanej na przedziale [ , ]. − r r Wobec tego jego długość równa jest

(

)

sin 2 cos

2

1 1 1

[ ( )] .

2 2

r r r r

r r r r

x r t

dx r tdt

x x r

r x dx dx dx

r x

r x r x

r dt r r

π

π

π π π

− − − −

=

=

−

 − 

 

+   −   = +   −   = + − = − =

= = − − =

∫ ∫ ∫ ∫

∫

ZZZZZZ X YZZZZZ Z

Otrzymaliśmy więc dobrze znany wynik.

Pola powierzchni brył obrotowych

Pokażemy teraz jeszcze jedno zastosowanie geometryczne całek, tym razem do obliczania pola powierzchni brył obrotowych. Tym razem punktem wyjścia będzie wzór na pole powierzchni bocznej stożka , π rl gdzie r to promień podstawy stożka, a l to długość tworzącej. Z tego wzoru można bez trudu wyprowadzić wzór na pole powierzchni bocznej stożka ściętego, w którym większa podstawa ma promień r a mniejsza

r a tworząca

długość .l Ten stożek ścięty można potraktować jako wynik odcięcia od stożka o promieniu podstawy r i tworzącej

1 2

l r

r r − stożka o promieniu podstawy r i tworzącej

1 2

l r

r r −

− wynika to z podobieństwa trójkątów. Wobec tego pole powierzchni bocznej stożka ściętego jest równe

2 2

1 2

1 2

1 2 1 2

( ).

lr lr

l r r

r r r r

π − π = π +

− −

Załóżmy, że funkcja :[ , ] f a b → (0, +∞ jest różniczkowalna i że jej pochodna jest ciągła. )

Obróćmy wykres funkcji wokół osi x . W wyniku otrzymamy powierzchnię, której pole

Podzielimy przedział [ , ] a b na krótkie, niekoniecznie równe przedziały punktami

0 1 2

...

.

a x = < < x x < < x = To co powstaje w wyniku obrotu części wykresu odpowiadającej b przedziałowi x

, x

można przybliżyć stożkiem ściętym o wysokości x

− x

i promieniach podstaw f x ( ), (

f x

) (ten stożek staje się walcem, gdy f x (

) = f x ( )

).

Pole powierzchni bocznej takiego stożka to zgodnie z przypomnianymi przed chwilą wzorami π l f x

( (

+ x

)), gdzie l oznacza jego tworzącą, czyli

2 2 2

1 1 1

( ) ( ( ) ( )) ( ) 1 ( ( ))

i i i i i i i i

l = x − x

+ f x − f x

= x − x

+ f t dla pewnego t

∈ ( x

, ) x

, istnienie takiej liczby t wynika z twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej. Ponieważ przedział [ x

, ] x

jest ,,krótki”, więc π l f x

( (

) + f x ( )) 2

≈ π f t ( ) 1 ( '( )) ,

+ f t

przyjęliśmy tu, że f x (

) ≈ f t ( )

≈ f x ( ),

co jest dopuszczalne, ale nie chcemy się wdawać w bardziej szczegółowe szacunki, bo dla osób o niewielkiej wprawie będą one trudne i na pewno żmudne, dla wprawnych banalne ( odsyłamy zainteresowanych np. do Fichtenholza Rachunek Różniczkowy i Całkowy tom II).

Wobec tego pole powierzchni powstałej w wyniku obrotu wykresu funkcji f można

przybliżyć sumą

1

2 ( ) 1 ( '( )) ,

n

i i

i

f t f t

π

=

∑ + która z kolei przybliża całkę

2 ( ) 1 ( '( ))

.

b

a

f t f t dt

π ∫ + Wobec tego ta całka jest równa polu powierzchni powstałej w wyniku obrotu wykresu funkcji f wokół osi x .

Przykłady

5. Niech f x ( ) = r

− x

dla a x a h ≤ ≤ + przy czym r a , − ≤ oraz a h r + ≤ . W wyniku obrotu funkcji f ( mamy oczywiście na myśli jej wykres)określonej w przedziale [ , a a h + otrzymujemy część powierzchni kuli zawartą między dwoma równoległymi ] płaszczyznami, których odległość równa jest h . Zgodnie z omówionym wzorem pole tej części sfery równe jest

2

2 2

2 2

2 1 2 2 .

a h a h

a a

r x x dx r dx rh

r x

π

− ⋅ + ^  ^{− }  = π

= π

 − 

∫ ∫

W szczególności jeśli a = − r i h = 2 r otrzymujemy wzór na pole powierzchni całej kuli,

który większość studentów miała okazję poznać w szkole. Jednak otrzymaliśmy coś

więcej: wzór na pole powierzchni części sfery między dwoma równoległymi

płaszczyznami oddalonymi o h . Zauważmy jeszcze, że we wzorze tym nie występuje

liczba a . Oznacza to, że pole jest od a niezależne, ważne jest tylko to, że obie

płaszczyzny przecinają sferę. Może się zdarzyć, że jedna z płaszczyzn przechodzi przez

jeden z biegunów, a może się zdarzyć, że płaszczyzna równika dzieli przestrzeń między

nimi na pół. Nie jest to chyba całkiem oczywiste, choć Archimedes ( 287-212 p.n.e.) to

wiedział. W podręczniku do Geometrii Stefana Straszewicza, używanym we wszystkich

polskich liceach, gdy autor tego tekstu był jeszcze uczniem, twierdzenie to było podawane

wraz z dowodem nie korzystającym z jawnej postaci całek.

6. Obliczymy teraz pole powierzchni dętki opisanej w przykładzie 4. Przypomnijmy:

powierzchnia dętki była otrzymana jako wynik obrotu okręgu zdefiniowanego równaniami y = 0,( x R − )

+ z

= wokół osi r

z . Można więc przyjąć, że obracamy wokół osi z (a nie wokół osi x) wykresy dwu funkcji zmiennej z

2 2

,

.

R + r − z R − r − z Część wspólna otrzymanych półokręgów składa się ze średnicy koła, jej pole równe jest 0, więc możemy obliczyć pola obu powierzchni i dodać. W pierwszym przypadku pole równe jest

2 (

) 1

2

1 2

4

,

r r

r r

z R

R r z dz r dz rR r

r z r z

π π π π

− −

 −   

+ − ⋅ +   =  +  = +

− −

   

∫ ∫

w drugim przypadku

2 (

) 1

2

1 2

4

.

r r

r r

z R

R r z r Rr r

r z r z

π π π π

− −

 −   

− − ⋅ +   =  − =  −

− −

   

∫ ∫

Sumując otrzymujemy 4 π

Rr .

Jest więc widoczne, że za pomocą całek można dać sobie radę z liczeniem objętości, pól i długości. Dodać warto, że często wyniki nie dają się wyrazić za pomocą funkcji elementarnych . Jednak wyrażenie ich nawet za pomocą całki jest ważne, bo wymyślono wiele metod przybliżonego obliczania całek, więc nawet jeśli mam wynik nieelementarnie wyrażony, to i tak można uzyskiwać istotne oszacowania z dokładnością całkowicie wystarczającą dla zastosowań w matematyce i poza nią.