Rachunek różniczkowy i całkowy
Kolokwium 4., 26 XI 2008
Czas: 45 minut. Wszystkie odpowiedzi proszę dokładnie uzasadnić.
Zadanie 1. Niech α będzie ustaloną liczbą rzeczywistą z przedziału (−1, 1). Znaleźć granicę ciągu {an}∞n=1 lub pokazać, że nie jest on zbieżny: an=√
n2+ αn −√
n2− αn.
Zadanie 2. Zbadać zbieżność ciągu bn= n q
1 + 12+13+ . . . +n1 i znaleźć jego granicę, jeśli jest zbieżny.
Zadanie 3. Wykazać, że jeśli limn→∞an= 0, a ciąg bnjest ograniczony (z góry i z dołu), oraz oba ciągi mają wszystkie wyrazy dodatnie, to limn→∞an· bn= 0.
Zadanie 4. Czy szereg P an dla an= 3nsin n+5n!ncos n jest zbieżny bezwzględnie?
Rachunek różniczkowy i całkowy
Kolokwium 4., 26 XI 2008
Czas: 45 minut. Wszystkie odpowiedzi proszę dokładnie uzasadnić.
Zadanie 1. Niech α będzie ustaloną liczbą rzeczywistą z przedziału (−1, 1). Znaleźć granicę ciągu {an}∞n=1 lub pokazać, że nie jest on zbieżny: an=√
n2+ αn −√
n2− αn.
Zadanie 2. Zbadać zbieżność ciągu bn= n q
1 + 12+13+ . . . +n1 i znaleźć jego granicę, jeśli jest zbieżny.
Zadanie 3. Wykazać, że jeśli limn→∞an= 0, a ciąg bnjest ograniczony (z góry i z dołu), oraz oba ciągi mają wszystkie wyrazy dodatnie, to limn→∞an· bn= 0.
Zadanie 4. Czy szereg P an dla an= 3nsin n+5n!ncos n jest zbieżny bezwzględnie?
Rachunek różniczkowy i całkowy
Kolokwium 4., 26 XI 2008
Czas: 45 minut. Wszystkie odpowiedzi proszę dokładnie uzasadnić.
Zadanie 1. Niech α będzie ustaloną liczbą rzeczywistą z przedziału (−1, 1). Znaleźć granicę ciągu {an}∞n=1 lub pokazać, że nie jest on zbieżny: an=√
n2+ αn −√
n2− αn.
Zadanie 2. Zbadać zbieżność ciągu bn= n q
1 + 12+13+ . . . +n1 i znaleźć jego granicę, jeśli jest zbieżny.
Zadanie 3. Wykazać, że jeśli limn→∞an= 0, a ciąg bnjest ograniczony (z góry i z dołu), oraz oba ciągi mają wszystkie wyrazy dodatnie, to limn→∞an· bn= 0.
Zadanie 4. Czy szereg P an dla an= 3nsin n+5n!ncos n jest zbieżny bezwzględnie?
