• G. M. Fichtenholz „Rachunek różniczkowy i całkowy, tom I i II”

Ł. Pawelecc

Zalecane podręczniki

• W. Krysicki, L. Włodarski „Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II”

• G. M. Fichtenholz „Rachunek różniczkowy i całkowy, tom I i II”

• S. Dorosiewicz, J. Kłopotowski, D. Kołatkowski „Matematyka”

• http://dydmat.mimuw.edu.pl

• http://wazniak.mimuw.edu.pl

1 Szeregi liczbowe

Oznaczenie. Zapis

ω

X

n=α

a _n oznacza sumę a _α + a _α+1 + . . . + a _ω−1 + a _ω .

Definicja 1.1. Niech (a _n ) ⊂ R będzie ciągiem liczbowym. Szeregiem

+∞

X

n=1

a _n nazywamy nie- skończony ciąg sum częściowych S _k =

k

X

n=1

a n = a ₁ + a ₂ + . . . + a _k . Jeśli ten ciąg ma granicę skończoną, to mówimy, że szereg jest zbieżny. Jeśli ciąg nie ma granicy lub granicą jest ±∞, to mówimy że szereg jest rozbieżny.

Oznaczenie. Szereg

+∞

X

n=1

a _n będziemy również oznaczać jako ^X a _n .

Stwierdzenie 1.2 (warunek konieczny zbieżności). Jeśli szereg ^P a _n jest zbieżny, to

n→+∞ lim a _n = 0.

1.1 Szeregi o wyrazach dodatnich

Uwaga. W tej części o wszystkich szeregach zakładamy, że ich wyrazy są dodatnie. Możemy wówczas szereg zbieżny oznaczyć jako ^P a _n < +∞, a szereg rozbieżny jako ^P a _n = +∞.

Twierdzenie 1.3 (kryterium porównawcze). Dane są dwa ciągi a _n i b _n , o których wiemy, że a _n ≤ b _n dla wszystkich n ∈ N. Wówczas jeśli szereg ^P a _n jest rozbieżny, to szereg ^P b _n również; a jeśli ^P b n jest zbieżny, to również zbieżny jest ^P a n .

Twierdzenie 1.4 (ilorazowe kryterium porównawcze). Dane są dwa ciągi a n i b n , o których wiemy, że lim

n→+∞

a _n b n

= q. Wówczas:

i) gdy 0 < q < +∞: ^P a n < +∞ ⇐⇒ ^P b n < +∞;

ii) gdy q = 0: ^P a _n < +∞ ⇐= ^P b _n < +∞;

iii) gdy q = +∞: ^P a _n < +∞ =⇒ ^P b _n < +∞.

Fakt 1.5. Używając kryteriów porównawczych warto pamiętać, że ^X 1

n ^p < +∞ ⇐⇒ p > 1.

Twierdzenie 1.6 (kryterium d’Alemberta). Wyznaczmy granicę lim

n→+∞

a n+1

a _n . Jeśli ta gra-

nica istnieje (skończona bądź nie), oznaczmy ją jako g. Kryterium d’Alemberta mówi, że jeśli

g > 1, to szereg ^P a _n jest rozbieżny; jeśli 0 ≤ g < 1, to szereg jest zbieżny.

Twierdzenie 1.7 (kryterium pierwiastkowe Cauchy’ego). Wyznaczmy granicę lim

n→+∞

√

n

a n . Jeśli ta granica istnieje (skończona bądź nie), oznaczmy ją jako g. Kryterium Cauchy’ego mówi, że jeśli g > 1, to szereg ^P a _n jest rozbieżny; jeśli 0 ≤ g < 1, to szereg jest zbieżny.

Uwaga. W obu powyższych twierdzeniach w sytuacji gdy g = 1, musimy zastosować inną metodę by zbadać zbieżność szeregu.

Twierdzenie 1.8 (kryterium o zagęszczaniu). Załóżmy, że ciąg a _n jest nierosnący, a p > 1 jest liczbą naturalną. Wówczas

X p ⁿ a _p

ⁿ

< +∞ ⇐⇒ ^X a _n < +∞.

1.2 Szeregi ogólne

Definicja 1.9. Mówimy, że szereg ^P a _n jest bezwzględnie zbieżny, jeśli szereg wartości bez- względnych ^P |a _n | jest zbieżny. Mówimy, że szereg jest warunkowo zbieżny, jeśli jest zbieżny, ale nie jest bezwzględnie zbieżny; czyli jeśli ^P |a _n | = +∞, ale ^P a _n jest zbieżny.

Twierdzenie 1.10 (kryterium Leibniza). Dany jest szereg ^P a _n , dla którego:

i) dla każdego n ∈ N zachodzi a n · a _n+1 < 0; (taki szereg nazywamy przemiennym) ii) |a _n | jest ciągiem nierosnącym;

iii) lim

n→+∞ a _n = 0.

Wówczas szereg ^P a _n jest zbieżny.

Stwierdzenie 1.11 (Szacowanie reszty szeregów przemiennych). Załóżmy, że szereg

P a _n spełnia założenia kryterium Leibniza (Twr. 1.10). Wówczas zachodzi

    

+∞

X

n=r

a _n

    

≤ |a _r | .

1.3 Szeregi a całki

Definicja 1.12 (całka niewłaściwa). Niech f : [a, +∞) → R będzie funkcją całkowalną na dowolnym przedziale [a, b] dla b > a. Wówczas granicę

b→+∞ lim

Z b a

f (x) dx

nazywamy całką niewłaściwą funkcji f na przedziale [a, +∞) i oznaczamy jako

Z +∞

a

f (x) dx.

Jeśli ta granica istnieje i jest skończona, to mówimy, że całka jest zbieżna.

Twierdzenie 1.13 (kryterium całkowe zbieżności). Załóżmy, że f : [1, +∞) → R + jest funkcją nierosnącą i nieujemną. Wówczas mamy

+∞

X

n=1

f (n) < +∞ ⇐⇒

Z +∞

1

f (x) dx < +∞

Stwierdzenie 1.14 (Szacowanie reszty przez całkę). Załóżmy, że funkcja f założenia kryterium całkowego (Twr. 1.13). Wówczas zachodzi

Z +∞

r

f (x) dx ≤

+∞

X

n=r

f (n) ≤

Z +∞

r−1

f (x) dx.

Uwaga. Można zajrzeć też do: pl.wikipedia.org/wiki/Kryteria_zbieżności_szeregów

2 Przestrzenie metryczne

Definicja 2.1 (metryka). Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X × X → R

spełniającą warunki:

1. d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y 2. d(x, y) = d(y, x) (symetria)

3. d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z) (nierówność trójkąta)

nazywamy metryką. Parę (X, d) nazywamy przestrzenią metryczną.

Uwaga. Gdy będziemy (w temacie przestrzeni metrycznych) pisać R lub R ⁿ bez podawania explicite metryki, to zawsze mamy na myśli metrykę euklidesową.

2.1 Zbiory w przestrzeniach metrycznych

Definicja 2.2 (kula). Kulą (otwartą) o środku w punkcie c i promieniu r — co oznaczamy jako B(c, r) — nazywamy zbiór:

B(c, r) = {x ∈ X : d(c, x) < r}.

Definicja 2.3 (wnętrze zbioru). Niech A ⊂ X. Punkt a ∈ A nazywamy punktem wewnętrz- nym zbioru A, jeśli istnieje kula o środku w tym punkcie zawarta w zbiorze A. Zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru A nazywamy wnętrzem zbioru A i oznaczamy int A.

Definicja 2.4 (zbiór otwarty). Zbiór U ⊂ X nazywamy otwartym, jeśli int U = U . Uwaga: zbiór pusty traktujemy jako otwarty.

Stwierdzenie 2.5. Kula otwarta jest zbiorem otwartym w sensie powyższej definicji.

Twierdzenie 2.6. Dla dowolnego zbioru A zbiór int A jest zbiorem otwartym. Innymi słowy int int A = int A.

Twierdzenie 2.7. Suma dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. Przecięcie (część wspólna) skończonej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.

Definicja 2.8 (otoczenie). Otoczeniem punktu x ∈ X nazywamy dowolny zbiór otwarty U taki, że x ∈ U .

Definicja 2.9 (domknięcie zbioru). Punkt x ∈ X nazywamy punktem skupienia zbioru A ⊂ X, jeśli dla każdego otoczenia U punktu x mamy: U ∩ ^ A \ {x} ^ 6= ∅. Jeśli x ∈ A oraz x nie jest punktem skupienia zbioru A to x nazywamy punktem izolowanym zbioru A. Domknięciem zbioru A nazywamy zbiór złożony z wszystkich jego punktów skupienia i punktów izolowanych i oznaczamy cl A lub A.

Definicja 2.10 (zbiór domknięty). Zbiór F ⊂ X nazywamy domkniętym, jeśli cl F = F . Uwaga: zbiór pusty traktujemy jako domknięty.

Twierdzenie 2.11. Dla dowolnego zbioru A zbiór cl A jest zbiorem domkniętym. Innymi słowy

cl cl A = cl A.

Twierdzenie 2.12. Przecięcie dowolnej rodziny zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.

Suma skończonej rodziny zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.

Twierdzenie 2.13. Niech A ⊂ X. Wtedy A jest otwarty wtedy i tylko wtedy gdy A ^{0 def} = X \ A jest domknięty.

Definicja 2.14 (brzeg zbioru). Brzegiem zbioru A ⊂ X nazywamy zbiór bd A = cl A \ int A.

Uwaga. Brzeg dowolnego zbioru jest zbiorem domkniętym. Oznaczamy też bd A = ∂A.

Definicja 2.15 (zbiór gęsty). Zbiór A ⊂ X nazywamy gęstym, jeśli cl A = X.

Definicja 2.16 (zbiór brzegowy). Zbiór A ⊂ X nazywamy brzegowym, jeśli int A = ∅.

Definicja 2.17 (kres dolny i górny). Dany jest zbiór A ⊂ R. Wówczas kresem górnym (odp. dolnym) zbioru nazywamy najmniejszą (odp. największą) liczbę ograniczającą zbiór z góry (odp. z dołu). Innymi słowy s jest kresem górnym zbioru A, jeśli

∀ _x∈A x ≤ s oraz (∀ _x∈A x ≤ z) =⇒ z ≥ s, natomiast i jest kresem dolnym gdy

∀ x∈A x ≥ i oraz (∀ _x∈A x ≥ z) =⇒ z ≤ i,

Oznaczenie. Kres górny zbioru A oznaczamy jako sup A, kres dolny jako inf A. Jeśli zbiór nie jest ograniczony z góry (odp. z dołu), to piszemy sup A = +∞ (odp. inf A = −∞).

Definicja 2.18 (średnica zbioru). Średnicę zbioru A ⊂ X definiujemy jako:

diam A = sup

x,y∈X

d(x, y).

W przypadku gdy supremum to nie jest skończone mówimy, że zbiór ma nieskończoną średnicę.

Definicja 2.19 (zbiór ograniczony). Zbiór A ⊂ X nazywamy ograniczonym, jeśli diam A <

+∞.

2.2 Ciągi w przestrzeniach metrycznych

Definicja 2.20. Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x : N → X. Najczęściej ele- menty ciągu zapisujemy jako x _n zamiast x(n). Cały ciąg oznaczamy (x _n ) lub (x _n ) _n∈N .

Definicja 2.21 (ciąg zbieżny). Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną, a (x _n ) ciągiem z przestrzeni X. Ciąg ten nazywamy zbieżnym, jeśli istnieje g ∈ X takie, że:

∀ _ε>0 ∃ _{M ∈N} ∀ _n>M x _n ∈ B(g, ε).

Element g spełniający powyższy warunek nazywamy granicą ciągu. Jeśli granica nie istnieje, ciąg nazywamy rozbieżnym.

Stwierdzenie 2.22. Granica ciągu zbieżnego jest wyznaczona jednoznacznie.

Stwierdzenie 2.23. Ciąg zbieżny jest ograniczony.

Twierdzenie 2.24 (ciągowa definicja domkniętości). Zbiór A ⊂ X jest domknięty wtedy

i tylko wtedy gdy dla każdego ciągu (x _n ) elementów ze zbioru A zachodzi: jeśli ciąg (x _n ) jest

zbieżny, to jego granica leży w A.

Definicja 2.25 (zbiór zwarty). Zbiór A ⊂ X, gdzie (X, d) to przestrzeń metryczna nazywamy zwartym, jeśli z każdego ciągu elementów zbioru A można wybrać podciąg zbieżny do granicy w zbiorze A.

Stwierdzenie 2.26. Każdy zbiór zwarty jest zbiorem domkniętym.

Twierdzenie 2.27. Niech A ⊂ R ⁿ . Zbiór A jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest domknięty i ograniczony.

Definicja 2.28 (granica górna i dolna). Dany jest ciąg (x _n ) ⊂ R. Wówczas kres górny punktów skupienia ciągu (x _n ) nazywamy granicą górną ciągu, a kres dolny — granicą dolną.

Oznaczamy to jako lim sup

n→+∞

x n i lim inf

n→+∞ x n . Inaczej można powiedzieć, że L = lim sup

n→+∞

x n , gdy istnieje podciąg ciągu (x _n ) zbieżny do L oraz granica g dowolnego podciągu zbieżnego spełnia g ≤ L.

Uwaga. Punktem skupienia ciągu w R może być również +∞ oraz −∞.

Stwierdzenie 2.29. L jest granicą górną ciągu (x n ) wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnych L ₁ i L ₂ , takich że L ₁ < L < L ₂ , wszystkie x _n z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby spełniają x _n ≤ L ₂ oraz istnieje nieskończenie elementów ciągu (x _n ), dla których x _n ≥ L ₁ . Definicja 2.30 (ciąg Cauchy’ego). (X, d) – przestrzeń metryczna. Ciągiem Cauchy’ego na- zywamy ciąg spełniający warunek:

∀ ε>0 ∃ _{M ∈N} ∀ n,m>M d(x n , x m ) < ε.

Stwierdzenie 2.31. Każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy’ego.

Stwierdzenie 2.32. Każdy ciąg Cauchy’ego jest ograniczony.

Definicja 2.33 (przestrzeń zupełna). Przestrzeń metryczną (X, d) nazywamy zupełną, jeśli każdy ciąg Cauchy’ego elementów tej przestrzeni jest zbieżny.

Twierdzenie 2.34. Każda przestrzeń zwarta jest zupełna.

2.3 Norma

Definicja 2.35. Niech X będzie przestrzenią liniową nad R (lub C). Funkcja N : X → R nazywa się normą, gdy dla wszystkich t ∈ R; u, v ∈ X spełnione są warunki:

1. N (u) = 0 ⇐⇒ u = 0 (niezdegenerowaność) 2. N (tu) = |t|N (u) (jednorodność)

3. N (u + v) ≤ N (u) + N (v) (warunek trójkąta) Parę (X, N ) nazywamy przestrzenią unormowaną.

Stwierdzenie 2.36. Każda norma definiuje metrykę wzorem d(u, v) = N (u − v). Mówimy że jest to metryka indukowana przez normę lub metryka pochodząca od normy.

Stwierdzenie 2.37. Każdy iloczyn skalarny definiuje normę wzorem N (u) = (u|u). Mówimy że jest to norma indukowana przez iloczyn skalarny lub pochodząca od iloczynu skalarnego.

Definicja 2.38 (przestrzeń Banacha). Przestrzeń liniową unormowaną zupełną nazywamy

przestrzenią Banacha.

3 Ciągi funkcyjne

Definicja 3.1 (metryka supremum). Przekształcenie f : X → Y , gdzie Y to przestrzeń metryczna nazywamy ograniczonym, jeśli zbiór f (X) (czyli obraz przekształcenia f ) jest ogra- niczony. Zbiór przekształceń ograniczonych z przestrzeni X do przestrzeni metrycznej (Y, d _Y ) oznaczamy B(X, Y ). Niech f, g ∈ B(X, Y ), określamy:

ρ(f, g) = sup

x∈X

d _Y ^ f (x), g(x) ^ Wtedy (B(X, R), ρ) jest przestrzenią metryczną.

W szczególności, gdy Y = R, to metryka przyjmuje postać:

ρ(f, g) = sup

x∈X

 

 f (x) − g(x)    dla f, g ∈ B(X, R).

Twierdzenie 3.2. Jeśli przestrzeń metryczna Y jest zupełna, to przestrzeń B(X, Y ) także jest zupełna. Jeśli Y jest przestrzenią Banacha, to B(X, Y ) też jest przestrzenią Banacha, z normą

|||f ||| = sup

x∈X

||f (x)||, gdzie f ∈ B(X, Y ), a || · || to norma na przestrzeni Y .

Definicja 3.3 (Zbieżność punktowa). Ciąg funkcji f _n : X → R jest zbieżny punktowo na zbiorze A ⊂ X do funkcji f : X → R, jeśli

∀ _x∈A f _n (x) → f (x) dla n → +∞

innymi słowy: ∀ _x∈A ∀ _ε>0 ∃ _{M >0} ∀ _n>M |f _n (x) − f (x)| < ε.

Definicja 3.4 (Zbieżność jednostajna). Niech f, f _n ∈ B(X, R) dla n ∈ N. Ciąg funkcji f n

jest zbieżny jednostajnie na zbiorze A do funkcji f , jeśli jest zbieżny w sensie normy supremum, tzn:

kf _n − f k _sup

_A

→ 0 dla n → +∞

innymi słowy: ∀ _ε>0 ∃ _{M >0} ∀ _n>M ∀ _x∈A |f _n (x) − f (x)| < ε

Oznaczenie. Zbieżność punktową oznaczamy jako f _n → f , a zbieżność jednostajną jako f _n ⇒ f . Wniosek 3.5. Ciąg funkcji zbieżny jednostajnie jest zbieżny punktowo. Implikacja przeciwna nie zachodzi!

Definicja 3.6 (Zbieżność niemal jednostajna). Dany jest zbiór A ⊂ X. Jeśli f n ⇒ f na każdym zwartym podbiorze F ⊂ A, mówimy, że f _n jest zbieżny niemal jednostajnie do funkcji f na zbiorze A.

3.1 Własności zbieżności jednostajnej

Twierdzenie 3.7. Mamy ciąg funkcji f _n zbieżny jednostajnie do funkcji f . Jeśli f _n są ciągłe w

punkcie x ₀ , to funkcja graniczna f jest ciągła w x ₀ . Jeśli f _n są ciągłe, to f również jest ciągła.

Twierdzenie 3.8 (różniczkowanie ciągu funkcyjnego). Mamy ciąg funkcji różniczkowal- nych f _n : [a, b] → R, gdzie [a, b] ⊂ R. Jeśli f n ⁰ ⇒ g oraz ciąg f n (x ₀ ) jest zbieżny dla pewnego x ₀ ∈ [a, b], to:

i) ciąg f _n jest zbieżny jednostajnie do pewnej funkcji f : [a, b] → R;

ii) funkcja f jest różniczkowalna oraz f ⁰ = g.

Twierdzenie 3.9 (Weierstrass). Jeśli f jest funkcją ciągłą na przedziale [a, b], to istnieje ciąg wielomianów P n taki, że P n ⇒ f na [a, b].

Twierdzenie 3.10 (Bernstein). Jeśli f jest funkcją ciągłą na przedziale [0, 1], ciąg wielomia- nów P _n spełniający P _n ⇒ f na [0, 1] można zapisać wzorem

P _n (x) =

n

X

k=0

f k n

! n k

!

x ⁿ (1 − x) ^n−k .

3.2 Szeregi funkcyjne

Definicja 3.11. Niech dany będzie ciąg funkcyjny f _n , gdzie f _n : X → R. Oznaczmy przez S k

funkcję sum częściowych

S _k (x) =

k

X

i=1

f _i (x)

Dla szeregu S(x) =

∞

X

i=1

f _i (x) pojęcia zbieżności punktowej i jednostajnej definiujemy jak powy- żej wykorzystując ciąg funkcyjny S _k (x), przy czym szereg S(x) jest określony na zbiorze tych x ∈ X dla których jest on zbieżny jako szereg liczbowy (tj. punktowo).

Twierdzenie 3.12 (kryterium Weierstrassa). Dany jest ciąg funkcji f _n : X → R o których wiadomo, że

|f _n (x)| ≤ a _n dla każdego x ∈ X, n ∈ N.

Wówczas jeśli szereg ^P a _n jest zbieżny, to szereg ^P f _n (x) jest zbieżny jednostajnie. Jest także bezwzględnie zbieżny, czyli zbieżny jest szereg ^P |f n (x)|.

Przykład 3.13. Najważniejszym szeregiem funkcyjnym jest szereg potęgowy. Ma on postać

S(x) =

+∞

X

n=0

a _n (x − x ₀ ) ⁿ dla pewnego x ₀ ∈ R oraz ciągu (a n ) ⊂ R.

Stwierdzenie 3.14. Szereg potęgowy jest bezwzględnie zbieżny dla wszystkich x ∈ B(x ₀ , R) dla pewnego R oraz rozbieżny dla x ∈ R \ B(x 0 , R). Koło to nazywamy kołem zbieżności, a R — promieniem zbieżności. Dodatkowo szereg jest niemal jednostajnie zbieżny na kole zbieżności.

Uwaga. R może być również równe 0 (wtedy szereg jest zbieżny tylko dla x = x 0 ) oraz +∞

(wtedy jest zbieżny dla wszystkich x ∈ R).

Wniosek 3.15. Połączenie kryterium Cauchy’ego oraz kryterium Weierstrassa daje wzór na promień zbieżności:

R = 1

lim sup

n→+∞

√

n

a n

.

Podobny wzór można otrzymać stosując kryterium d’Alemberta zamiast Cauchy’ego.

Wniosek 3.16. Z Twr. 3.7 wynika, że szereg potęgowy jest funkcją ciągła wewnątrz koła zbież- ności, a zatem jest też funkcją całkowalną. Co więcej z Twr. 3.8 wynika, że jest funkcją róż- niczkowalną i (cały czas wewnątrz koła zbieżności) zachodzą wzory:

+∞

X

n=0

a _n (x − x ₀ ) ⁿ

! 0

=

+∞

X

n=1

a _n n(x − x ₀ ) ⁿ⁻¹

Z ^+∞

X

n=0

a _n (x − x ₀ ) ⁿ dx =

+∞

X

n=0

a _n

n + 1 (x − x ₀ ) ⁿ⁺¹ + C

3.3 Szeregi Taylora

Twierdzenie 3.17. Niech f : R → R będzie funkcją n–krotnie różniczkowalną w punkcie x 0 . Wówczas zachodzi

f (x) = f (x ₀ ) + f ⁰ (x ₀ )

1! (x − x ₀ ) + f ⁰⁰ (x ₀ )

2! (x − x ₀ ) ² + . . . + f ⁽ⁿ⁾ (x ₀ )

n! (x − x ₀ ) ⁿ + R _n (x)

=

n

X

k=0

f ^(k) (x ₀ )

k! (x − x ₀ ) ^k + R n (x) dla pewnej funkcji R _n (x) spełniającej

x→x lim

0

R n (x)

(x − x ₀ ) ⁿ = 0.

Powyższe równanie nazywamy wzorem (lub rozwinięciem) Taylora w punkcie x ₀ z resztą w postaci Peano.

Uwaga. Gdy x ₀ = 0, to taki szereg nazywa się czasem wzorem Maclaurina.

Twierdzenie 3.18 (reszta w postaci jawnej). Jeśli funkcja f jest (n + 1)–krotnie różnicz- kowalna w otoczeniu punktu x ₀ , to zachodzą następujące wzory na funkcję R _n (x):

a) R n (x) = f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (ξ)

(n + 1)! (x − x ₀ ) ⁿ⁺¹ , dla pewnego ξ ∈ [x 0 , x]; postać Lagrange’a reszty b) R _n (x) = f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (ξ)

n! (x − ξ) ⁿ (x − x ₀ ), dla pewnego ξ ∈ [x ₀ , x]; postać Cauchy’ego reszty c) R n (x) =

Z x x

0

(x − u) ⁿ

n! f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (u) du. postać całkowa reszty Definicja 3.19. Szereg

+∞

X

n=0

f ⁽ⁿ⁾ (x ₀ )

n! (x − x ₀ ) ⁿ

nazywamy szeregiem Taylora funkcji f . Jeśli ten szereg jest zbieżny punktowo do funkcji f (x)

dla x ∈ A, to mówimy, że funkcja f jest analityczna na A.

Przykład 3.20. Poniżej są szeregi Taylora różnych funkcji rozwinięte w x 0 = 0.

e ^x =

+∞

X

n=0

x ⁿ

n! = 1 + x + x ² 2 + x ³

6 + . . . dla x ∈ R

ln(1 + x) =

+∞

X

n=1

(−1) ⁿ⁺¹

n x ⁿ = x − x ² 2 + x ³

3 − . . . dla |x| < 1

sin(x) =

+∞

X

n=0

(−1) ⁿ

(2n + 1)! x ²ⁿ⁺¹ = x − x ³ 6 + x ⁵

120 − . . . dla x ∈ R

cos(x) =

+∞

X

n=0

(−1) ⁿ

(2n)! x ²ⁿ = 1 − x ² 2 + x ⁴

24 − . . . dla x ∈ R

arctg(x) =

+∞

X

n=0

(−1) ⁿ

2n + 1 x ²ⁿ⁺¹ = x − x ³ 3 + x ⁵

5 − . . . dla |x| ≤ 1

1 1 − x =

+∞

X

n=0

x ⁿ = 1 + x + x ² + x ³ + . . . dla |x| < 1 Uwaga. Można też zajrzeć do: https://pl.wikipedia.org/wiki/Wzór_Taylora.

4 Odwzorowania

4.1 Pochodna złożenia

Twierdzenie 4.1. Niech f : U → V będzie odwzorowaniem różniczkowalnym w punkcie x 0 , gdzie x ₀ ∈ U ⊂ X, a g : V → Z odwzorowaniem różniczkowalnym w punkcie y ₀ = f (x ₀ ), gdzie y ₀ ∈ V ⊂ Y . Wówczas odwzorowanie g ◦ f jest różniczkowalne w punkcie x ₀ oraz zachodzi wzór:

D(g ◦ f )(x 0 ) = Dg(y ₀ ) · Df (x ₀ ).

Przyjmijmy, że U = X = R ^l , V = Y = R ⁿ , a Z = R ^k . To oznacza, że możemy rozpisać f = (f ₁ , . . . , f _n ), gdzie f _i : R ^l → R oraz g = (g 1 , . . . , g _k ), gdzie g _j : R ⁿ → R. Macierze pochodnych wyglądają wówczas tak:

Df =

















∂f ₁

∂x ₁ . . . ∂f ₁

∂x _l .. . . .. .. .

∂f n

∂x ₁ . . . ∂f n

∂x _l

















, Dg =

















∂g ₁

∂y ₁ . . . ∂g ₁

∂y _n .. . . .. .. .

∂g k

∂y ₁ . . . ∂g k

∂y _n

















A pochodna złożenia to (mnożenie macierzy nie jest przemienne!):

D(g ◦ f ) =

















∂g ₁

∂y ₁ . . . ∂g ₁

∂y _n .. . . .. .. .

∂g _k

∂y ₁ . . . ∂g _k

∂y _n

















·

















∂f ₁

∂x ₁ . . . ∂f ₁

∂x _l .. . . .. .. .

∂f _n

∂x ₁ . . . ∂f _n

∂x _l

















Jeśli zapiszemy macierz w ogólnej postaci D(g ◦ f ) =

"

∂(g ◦ f ) _i

∂x j

#

i = 1 . . . k, j = 1 . . . l, to mnożąc macierze otrzymamy wzór:

∂(g ◦ f ) _i

∂x _j =

n

X

u=1

∂g _i

∂y _u · ∂f _u

∂x _j .

Definicja 4.2 (jakobian). Macierz pierwszej pochodnej funkcji f nazywamy również macierzą Jacobiego. Jej wyznacznik — o ile istnieje, tj. gdy f : R ⁿ → R ⁿ — nazywamy jakobianem i oznaczamy jako J _f .

4.2 Odwzorowanie odwrotne

Definicja 4.3 (iniekcja). Odwzorowanie f : X → Y jest iniekcją (różnowartościowe), gdy



f (x ₁ ) = f (x ₂ )



=⇒



x ₁ = x ₂



. Innymi słowy



x ₁ 6= x ₂



=⇒



f (x ₁ ) 6= f (x ₂ )



.

Definicja 4.4 (suriekcja). Odwzorowanie f : X → Y jest suriekcją (jest na Y ), gdy

∀ _y∈Y ∃ _x∈X f (x) = y.

Definicja 4.5 (bijekcja). Odwzorowanie f : X → Y jest bijekcją, gdy jest iniekcją i suriekcją.

Definicja 4.6. Odwzorowanie f : X → Y nazywamy globalnie odwracalnym, jeśli istnieje g : Y → X takie że

f (x) = y ⇐⇒ g(y) = x.

Innymi słowy, g musi spełniać

f ^ g(y) ^ = y oraz g ^ f (x) ^ = x.

Odwzorowanie g nazywamy odwzorowaniem odwrotnym i oznaczamy g = f ⁻¹ .

Stwierdzenie 4.7. Odwzorowanie f jest odwracalne wtedy i tylko wtedy gdy jest bijekcją.

Definicja 4.8. Odwzorowanie f : U → R ⁿ , gdzie U ⊂ R ^k nazywamy klasy C ¹ , jeśli jest róż- niczkowalne oraz dla każdego h ∈ R ^k odwzorowanie U 3 x 7→ Df (x)h jest ciągłe. Zapisujemy to jako f ∈ C ¹ (U, R ⁿ ).

Twierdzenie 4.9. Odwzorowanie f : U → R ⁿ , f = (f ₁ , f ₂ , . . . , f _n ), gdzie f _i : U → R, jest klasy C ¹ wtedy i tylko wtedy gdy istnieją w U wszystkie pochodne cząstkowe D j f i i są ciągłe.

Definicja 4.10 (dyfeomorfizm). Odwzorowanie f : U → V nazywamy dyfeomorfizmem, jeśli jest bijekcją oraz oba odwzorowania f i f ⁻¹ są klasy C ¹ .

Definicja 4.11. Niech f : X → Y . Powiemy, że f jest lokalnie odwracalne w punkcie p ∈ X, jeśli istnieje otoczenie U ⊂ X punktu p takie, że f obcięte do U jest odwracalne.

Twierdzenie 4.12. Niech f : G → R ^k będzie odwzorowaniem klasy C ¹ , gdzie G ⊂ R ^k – zbiór otwarty. Wówczas, jeśli dla pewnego x 0 ∈ G zachodzi J f (x ₀ ) 6= 0, to:

a) istnieją otoczenia U 3 x ₀ oraz V 3 f (x ₀ ), takie że f jest bijekcją f : U → V ; b) odwzorowanie f ⁻¹ : V → U jest klasy C ¹ oraz zachodzi:

Df ⁻¹ (y) = ^ Df (x) ^{ −1} , dla x ∈ U oraz y = f (x).

Wniosek 4.13. Jeśli spełnione są założenia powyższego twierdzenia, to odwzorowanie jest lo-

kalnym dyfeomorfizmem w punkcie x ₀ .

Przykład 4.14 (przekształcenie biegunowe). Odwzorowanie Φ : R ^{e 2} → R ² dane wzorem Φ(r, ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ) = (x, y) e

jest różniczkowalne klasy C ¹ , o ile r 6= 0. Jest zatem lokalnie odwracalne w punktach r 6= 0.

Nie jest różnowartościowe, więc nie jest globalnie odwracalne.

Po obcięciu powyższego do odwzorowania Φ : (0, ∞) × (−π, π) → R ² \ ^ R ⁻ × {0} ^ danego tym samym wzorem

Φ(r, ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ) = (x, y)

dostajemy bijekcję zatem jest to odwzorowanie odwracalne globalnie. Ponieważ jest klasy C ¹ , a J f 6= 0, więc istnieje odwzorowanie odwrotne Φ ⁻¹ klasy C ¹ . Odwzorowanie Φ nazywamy przekształceniem biegunowym.

4.3 Odwzorowania uwikłane

Definicja 4.15. Niech będzie dane odwzorowanie f : U → Y , gdzie U ⊂ X × Y oraz odwzo- rowanie ϕ : V → Y , gdzie V ⊂ X. Jeśli f (x, ϕ(x)) = 0 dla każdego x ∈ V , to mówimy, że odwzorowanie f zadaje odwzorowanie uwikłane ϕ.

Twierdzenie 4.16 (o odwzorowaniu uwikłanym). Przypuśćmy, że X = R ⁿ , Y = R ^m , X × Y ⊃ G – podzbiór otwarty, a f : G → Y jest klasy C ¹ . Załóżmy, że f (x ₀ , y ₀ ) = 0 oraz

  

∂f

∂Y (x ₀ , y ₀ )    6= 0 (dla większej liczby wymiarów ten zapis oznacza jakobian). Wówczas istnieją otoczenia U 3 x 0 i V 3 y 0 , takie że U × V ⊂ G, oraz funkcja ϕ ∈ C ¹ (U, V ) takie że:

a) dla (x, y) ∈ U × V mamy f (x, y) = 0 ⇐⇒ y = ϕ(x);

b) dla x ∈ U ϕ ⁰ (x) = −f _Y ⁰ (x, ϕ(x)) ⁻¹ · f _X ⁰ (x, ϕ(x)).

Innymi słowy f lokalnie zadaje odwzorowanie uwikłane klasy C ¹ .

5 Funkcje wielu zmiennych

5.1 Ekstrema lokalne

Definicja 5.1 (macierz drugiej pochodnej). Niech f : R ^k ⊃ U → R będzie dwukrotnie różniczkowalna w punkcie x ₀ ∈ U . Oznaczmy a _ij = D _i D _j f (x ₀ ), gdzie i, j = 1, . . . , k. Niech A : R ^k → R ^k będzie odwzorowaniem dwuliniowym o macierzy (a _ij ).

Odwzorowanie to nazywamy drugą pochodną funkcji f w punkcie x ₀ , a macierz A macierzą tej pochodnej. Z twierdzenia Schwarza wynika, że macierz A jest symetryczna. Mamy:

D ² f (x ⁰ ) ^ h, h ^{0 } = h ^T Ah ⁰ , dla dowolnych h, h ⁰ ∈ R ^k . Definicja 5.2. Formą kwadratową H na R ^k nazywamy wielomian

H(x) =

k

X

i=1 k

X

j=1

a _ij x _i x _j , gdzie a _ij = a _ji .

Zauważmy, że każda macierz kwadratowa A zadaje formę kwadratową wzorem h 7→ h ^T Ah i

odwrotnie – każdą formę można zapisać jako h 7→ h ^T Ah, dla pewnej macierzy A..

Definicja 5.3 (określoność formy). Forma kwadratowa H na R ^k jest i) dodatnio określona, jeśli H(x) > 0 dla każdego 0 6= x ∈ R ^k ;

ii) ujemnie określona, jeśli H(x) < 0 dla każdego 0 6= x ∈ R ^k ; iii) nieujemnie określona, jeśli H(x) ≥ 0 dla każdego x ∈ R ^k ; iv) niedodatnio określona, jeśli H(x) ≤ 0 dla każdego x ∈ R ^k ;

v) nieokreślona, jeśli H(x) < 0 < H(y) dla pewnych x, y ∈ R ^k .

Mówimy, że macierz symetryczna A jest określona dodatnio (ujemnie, . . . ), jeśli odpowiadająca jej forma kwadratowa H _A (x) = x ^T Ax jest określona dodatnio (ujemnie, . . . ).

Uwaga. Do badania określoności macierzy (a przez to formy kwadratowej) najczęściej używa się kryterium Sylvestera (omawianego na Algebrze I).

Twierdzenie 5.4 (warunek konieczny ekstremum lokalnego). Niech U ⊂ R ^k będzie oto- czeniem punktu p oraz f : U → R. Wówczas:

a) Jeśli f przyjmuje w p ekstremum lokalne oraz istnieje pochodna kierunkowa ^∂f _∂h (p), to jest ona równa zeru (w szczególności każda pochodna cząstkowa _∂x ^∂f

i

(p) = 0).

b) Jeśli funkcja f przyjmuje w p minimum lokalne oraz jest dwukrotnie różniczkowalna w p, to macierz drugiej pochodnej D ² f (p) jest nieujemnie określona.

c) Jeśli funkcja f przyjmuje w p maksimum lokalne oraz jest dwukrotnie różniczkowalna w p, to macierz drugiej pochodnej D ² f (p) jest niedodatnio określona.

Twierdzenie 5.5 (warunek wystarczający ekstremum lokalnego). Niech U ⊂ R ^k będzie otoczeniem punktu p, f : U → R będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną w p. Załóżmy, że Df (p) = 0. Wówczas:

a) Jeśli macierz D ² f (p) jest dodatnio określona, to funkcja f przyjmuje w p minimum lokalne.

b) Jeśli macierz D ² f (p) jest ujemnie określona, to funkcja f przyjmuje w p maksimum lokalne.

c) Jeśli macierz D ² f (p) jest nieokreślona, to funkcja f nie ma ekstremum w p.

d) Jeśli macierz D ² f (x) jest nieujemnie określona dla x ∈ U dowolnego otoczenia punktu p, to funkcja f przyjmuje w p minimum lokalne (być może niewłaściwe).

e) Jeśli macierz D ² f (x) jest niedodatnio określona dla x ∈ U dowolnego otoczenia punktu p, to funkcja f przyjmuje w p maksimum lokalne (być może niewłaściwe).

Uwaga. W dwóch ostatnich podpunktach powyższego twierdzenia musimy dodatkowo założyć,

że f jest klasy C ² (czyli że druga pochodna jest ciągła) na otoczeniu punktu p.

5.2 Ekstrema warunkowe

Definicja 5.6 (punkt regularny). Dana jest funkcja G : R ⁿ ⊃ U → R ^k klasy C ¹ . Rozpa- trujemy poziomicę zerową P = ⁿ x ∈ U : G(x) = 0 ^o . Mówimy, że punkt p ∈ P jest punktem regularnym, jeśli DG(p) jest epimorfizmem, tj. rząd odpowiadającej jej macierzy jest maksy- malny. W przeciwnym przypadku p nazywamy punktem nieregularnym poziomicy.

Definicja 5.7 (gradient). Dana jest różniczkowalna funkcja f : R ⁿ ⊃ U → R. Macierz pierw- szej pochodnej nazywamy również gradientem i oznaczamy ∇f (p) = grad f (p) = Df (p).

Stwierdzenie 5.8. Gradient jest prostopadły do poziomicy. Tzn. że prosta styczna do poziomicy (w punkcie regularnym p) jest prostopadła do wektora danego przez ^ ∇G(p) ^{ T} .

Zatem wektor v jest styczny do {G = 0} wtedy i tylko wtedy gdy v ∈ ker ∇G(p), tj. ∇G(p)·v = 0.

Definicja 5.9 (ekstremum warunkowe). Dana jest funkcja G : R ⁿ ⊃ U → R ^k oraz funkcja f : R ⁿ ⊃ V → R. Mówimy, że f ma minimum warunkowe w punkcie p przy warunku G = 0, jeśli G(p) = 0 oraz funkcja f obcięta to zbioru ⁿ x ∈ U : G(x) = 0 ^o przyjmuje minimum lokalne w tym punkcie. Innymi słowy istnieje W _p otoczenie punktu p, takie że

∀ _x∈W

_p



G(x) = 0



=⇒



f (x) ≥ f (p)



. Analogiczna definicja zachodzi dla maksimum warunkowego.

Twierdzenie 5.10 (warunek konieczny ekstremum warunkowego).

Dane są funkcje G = (G 1 . . . G _k ) : R ⁿ ⊃ U → R ^k oraz f : R ⁿ ⊃ V → R, obie klasy C ¹ . Niech p ∈ P = ⁿ x ∈ U : G(x) = 0 ^o będzie punktem regularnym. Wówczas jeśli p jest ekstremum warunkowym funkcji f przy warunku G = 0, to

istnieją λ ₁ , . . . , λ _k ∈ R takie że ∇f (p) =

k

X

i=1

λ _i ∇G _i (p).

Liczby λ ₁ , . . . , λ _k nazywamy mnożnikami Lagrange’a.

Twierdzenie 5.11 (warunek dostateczny ekstremum warunkowego).

Dane są funkcje G = (G ₁ . . . G k ) : R ⁿ ⊃ U → R ^k oraz f : R ⁿ ⊃ V → R, obie klasy C ² . Niech p ∈ P = ⁿ x ∈ U : G(x) = 0 ^o będzie punktem regularnym. Załóżmy, że p spełnia warunek konieczny istnienia ekstremum, tj.

grad f (p) =

k

X

i=1

λ _i grad G _i (p) dla pewnych λ ₁ , . . . , λ _k ∈ R.

Zdefiniujmy L _λ (x) = f (x) − ^{P k} _i=1 λ _i G _i (x). Wówczas

a) Jeśli D ² L(v, v) > 0 dla wszystkich 0 6= v ∈ ker DG(p), to p jest minimum warunkowym.

b) Jeśli D ² L(v, v) < 0 dla wszystkich 0 6= v ∈ ker DG(p), to p jest maksimum warunkowym.

c) Jeśli D ² L(v, v) > 0 > D ² L(w, w) dla pewnych v, w ∈ ker DG(p), to p nie jest ekstremum warunkowym.

W powyższych przypadkach mówimy, że forma D ² L obcięta do ker DG(p) jest dodatnio określona

(odp. ujemnie określona, nieokreślona). L nazywamy funkcją Lagrange’a.

5.3 Wielowymiarowa całka Riemanna

Definicja 5.12 (kostka). Kostką (domkniętą) w R ⁿ będziemy nazywać każdy zbiór postaci [a ₁ , b ₁ ] × . . . × [a _n , b _n ] dla pewnych a ₁ < b ₁ , . . . , a _n < b _n .

Definicja 5.13. Podziałem kostki K będziemy nazywać rodzinę kostek {K _i } ⁿ _i=1 , takich że:

a) K =

n

[

i=1

K _i

b) int K _i ∩ int K _j = ∅ dla i 6= j (czyli podkostki stykają się co najwyżej brzegami).

Rodzinę wszystkich podziałów kostki K oznaczmy przez P(K).

Definicja 5.14. Miarą (objętością) kostki K = [a 1 , b 1 ] × . . . × [a _n , b n ] nazwiemy liczbę m(K) =

n

Y

i=1

|b _i − a _i | = |b ₁ − a ₁ | · · · |b _n − a _n |.

Definicja 5.15. Niech f : K → R będzie funkcją ograniczoną, a {K i } ⁿ _i=1 dowolnym podziałem kostki. Wówczas możemy zdefiniować sumę górną oraz sumę dolną wzorami

S ^ f, {K _i } ⁿ _i=1 ^ =

n

X

i=1

m(K _i ) sup

x∈K

i

f (x) s ^ f, {K _i } ⁿ _i=1 ^ =

n

X

i=1

m(K _i ) inf

x∈K

i

f (x).

Definicja 5.16. Niech f : K → R będzie funkcją ograniczoną. Wówczas definiujemy całkę górną oraz całkę dolną wzorami

Z

D

f (x) dx = inf

{K

i

}∈P(K) S ^ f, {K _i } ^

Z

D

f (x) dx = sup

{K

_i

}∈P(K)

s ^ f, {K _i } ^ .

Definicja 5.17. Ograniczoną funkcję f : K → R nazywamy całkowalną w sensie Riemanna (lub po prostu całkowalną), jeśli

Z

K

f (x) dx =

Z

K

f (x) dx i oznaczamy jako

Z

K

f (x) dx =

Z

K

f.

Oznaczenie. Całki na R ² i R ³ oznaczamy często jako

ZZ

K

f oraz

Z Z Z

K

f .

Definicja 5.18. Jeśli funkcja f : A → R, gdzie A ⊂ R ⁿ jest dowolnym ograniczonym zbiorem, to całkę ^R _A f definiujemy biorąc K ⊃ A oraz przy pomocy wzoru (o prawa strona istnieje):

Z

A

f (x) dx =

Z

K

11 _A (x)f (x) dx,

gdzie funkcja 11 _A (x) nazywa się funkcją charakterystyczną zbioru A i wyraża się wzorem 11 A (x) =

( 1 dla x ∈ A

0 dla x / ∈ A .

Definicja 5.19. Mówimy, że A ⊂ R ⁿ jest zbiorem miary zero (lub krócej ma miarę zero), jeśli dla każdego ε > 0 istnieje ciąg kostek (K _i ) _i∈N taki że

A ⊂ ^[

i

K i oraz ^X

i

m(K i ) < ε.

Twierdzenie 5.20. Niech A ⊂ K ⊂ R ⁿ , a f będzie funkcją całkowalną na kostce K. Wówczas całka ^R _A f istnieje wtedy i tylko wtedy gdy bd A jest zbiorem miary zero.

Twierdzenie 5.21. Ograniczona funkcja f : R ⁿ ⊃ K → R jest całkowalna wtedy i tylko wtedy gdy zbiór punktów nieciągłości funkcji f ma miarę zero.

Stwierdzenie 5.22 (własności całki). Poniższe równości zachodzą pod warunkiem, że wszyst- kie wyrażenia istnieją (odpowiednie funkcje są całkowalne, brzeg A ma miarę zero):

1) dla dowolnego c ∈ R

Z

A

(cf ) = c

Z

A

f 2)

Z

A

(f + g) =

Z

A

f +

Z

A

g 3) jeśli f ≤ g na A, to

Z

A

f ≤

Z

A

g 4)

    Z

A

f

   

≤

Z

A

|f |

5) jeśli A ma miarę zero, to

Z

A

f = 0 6) jeśli int A ₁ ∩ int A ₂ = ∅, to

Z

A

1

∪A

₂

f =

Z

A

1

f +

Z

A

2

f

5.4 Techniki całkowania

Twierdzenie 5.23 (Fubini). Dane są kostki K ₁ ⊂ R ⁿ i K ₂ ⊂ R ^m oraz całkowalna funkcja f : K 1 × K 2 → R. Wówczas

Z

K

1

×K

2

f (x, y) dxdy =

Z

A

Z

B

f (x, y) dy



dx =

Z

B

Z

A

f (x, y) dx



dy,

o ile wszystkie powyższe funkcje są całkowalne. Czyli zakładamy że dla każdego x ∈ A całkowalna jest funkcja f (x, ·) : B → R oraz dla każdego y ∈ B całkowalna jest funkcja f (·, y) : A → R.

Uwaga. Aby w powyższym twierdzeniu całki istniały wystarczy, żeby funkcja f była ciągła.

Twierdzenie 5.24. Dany jest zbiór postaci A = ⁿ (x, y) ∈ R ² : a ≤ x ≤ b, u ₁ (x) ≤ y ≤ u ₂ (x) ^o dla pewnych a, b ∈ R oraz funkcji ciągłych u ¹ , u 2 : [a, b] → R, takich że u 1 < u 2 . Jeśli f : A → R jest funkcją ciągłą, to

ZZ

A

f (x, y) dxdy =

b

Z

a







u

2

(x)

Z

u

1

(x)

f (x, y) dy





 dx.

Analogiczna wersja twierdzenia zachodzi gdy A ⊂ R ³ i ogólnie A ⊂ R ⁿ .

Twierdzenie 5.25 (o zamianie zmiennych). Mamy funkcję ciągłą f : A → R oraz dyfe- omorfizm φ : R ⁿ ⊃ U → V ⊂ R ⁿ , gdzie A ⊂ V . Wówczas zachodzi

Z

A

f =

Z

φ

⁻¹

(A)

f ◦ φ · |J _φ |, czyli wstawiając y = φ(x) mamy

Z

A

f (y ₁ , . . . , y _n ) dy ₁ . . . dy _n =

Z

φ

⁻¹

(A)

f (φ(x ₁ , . . . , x _n )) ·    J _φ | _x

₁

_,...,x

_n

   dx ₁ . . . dx _n .

6 Odwzorowania c.d.

6.1 Ciągłość odwzorowań

Definicja 6.1 (ciągłość wg Heinego). Niech (X, d X ), (Y, d _Y ) – przestrzenie metryczne. Mó- wimy, że odwzorowanie f : X ⊃ A → Y jest ciągłe w punkcie x ₀ , jeśli dla każdego ciągu (x _n ) ⊂ A zbieżnego do x ₀ ciąg f (x _n ) jest zbieżny do f (x ₀ ). Innymi słowy



n→+∞ lim d _X (x _n , x ₀ ) = 0



=⇒



n→+∞ lim d _Y ^ f (x _n ), f (x ₀ ) ^ = 0



.

Definicja 6.2 (ciągłość wg Cauchy’ego). Niech (X, d _X ), (Y, d _Y ) – przestrzenie metryczne.

Mówimy, że odwzorowanie f : X ⊃ A → Y jest ciągłe w punkcie x ₀ , jeśli zachodzi:

∀ ε>0 ∃ δ>0 ∀ x∈X d X (x, x ₀ ) < δ ⇒ d _Y ^ f (x), f (x 0 ) ^ < ε.

Definicja 6.3 (topologiczna definicja ciągłości). Niech (X, d _X ), (Y, d _Y ) – przestrzenie metryczne. Mówimy, że odwzorowanie f : X ⊃ A → Y jest ciągłe w punkcie x ₀ , jeśli dla każdego otoczenia U punktu f (x ₀ ) przeciwobraz f ⁻¹ (U ) jest zbiorem otwartym w X.

Twierdzenie 6.4. Definicje 6.1, 6.2 i 6.3 są równoważne. Odwzorowanie ciągłe w każdym punkcie dziedziny nazywamy odwzorowaniem ciągłym.

Stwierdzenie 6.5. Niech (X, d _X ), (Y, d _Y ), (Z, d _Z ) - przestrzenie metryczne, przekształcenia f : X → Y , g : Y → Z są ciągłe. Wtedy złożenie g ◦ f : X → Z jest ciągłe.

6.2 Różniczkowanie odwzorowań

Ustalmy od tego momentu, że (X, k · k _X ), (Y, k · k _Y ) to rzeczywiste przestrzenie Banacha (u nas X = R ⁿ i Y = R ^k , obie z normą euklidesową); zbiór U ⊂ X zawsze oznacza zbiór otwarty, p ∈ U oraz f : U → Y .

Definicja 6.6 (pochodna kierunkowa). Pochodną kierunkową odwzorowania f : U → Y w punkcie p w kierunku wektora h ∈ X nazywamy granicę

D _h f (p) = lim

t→0

f (p + th) − f (p)

t ,

o ile istnieje i jest skończona. Wyrażenie występujące pod znakiem granicy rozważamy tylko dla tych t ∈ R, dla których p + th ∈ U.

Oznaczenie. Pochodną kierunkową oznaczamy na wiele sposobów:

∂f

∂h (p) = f _h ⁰ (p) = ∇ _h f (p) = D _h f (p).

Oznaczenie. Bazę kanoniczną (standardową) przestrzeni R ⁿ oznaczamy przez e ₁ , . . . , e n , tzn.

e _i = (0, 0, . . . , 1

|{z}

i−te miejsce

, . . . , 0, 0).

Definicja 6.7 (pochodna cząstkowa). Pochodną kierunkową funkcji w punkcie p w kierunku wektora e _i nazywamy pochodną cząstkową względem i–tej zmiennej.

Oznaczenie. Pochodną cząstkowa możemy oznaczać tak:

f _x ⁰

i

(p) = D _x

_i

f (p) = D _i f (p) = ∂f

∂x i

(p).

Definicja 6.8 (pochodna odwzorowania). Pochodną funkcji f w punkcie p nazywamy od- wzorowanie liniowe L ∈ L(X, Y ) spełniające warunek:

u→0 lim

f (p + u) − f (p) − L(u)

kuk = 0,

gdzie u ∈ X. Odwzorowanie to oznaczamy jako L = Df (p).

Oznacza to, że:

f (p + u) = f (p) + Df (p)u + r(u), gdzie lim

u→0 kr(u)k

kuk = 0.

Stwierdzenie 6.9. Jeśli funkcja jest różniczkowalna w p, to jest ciągła w tym punkcie.

Twierdzenie 6.10. Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w p, to:

a) dla każdego h ∈ X istnieje pochodna kierunkowa ^∂f _∂h (p) oraz jest równa Df (p)h;

b) istnieją pochodne cząstkowe D _i f (p) oraz:

Df (p)h =

n

X

i=1

D _i f (p)h _i , gdzie h = (h 1 , . . . , h _n ) ∈ R ⁿ .

Twierdzenie 6.11. Jeśli pochodne cząstkowe funkcji f w otoczeniu punktu p istnieją i są ciągłe w p, to funkcja ta jest różniczkowalna w punkcie p.

6.3 Pochodne wyższych rzędów

Definicja 6.12 (pochodne cząstkowe drugiego rzędu). Niech f : R ^k ⊃ U → R ^m . Za- łóżmy, że istnieje pochodna cząstkowa D _i f (x) na pewnym otoczeniu V 3 x ₀ . Wówczas, jeśli istnieje pochodna cząstkowa D _j (D _i f )(x ₀ ), to nazywamy ją pochodną cząstkową drugiego rzędu odwzorowania f w punkcie x ₀ względem i-tej i j-tej zmiennej i oznaczamy ją jako

D _j D _i f (x ₀ ) = ∂ ² f

∂x j ∂x i

(x ₀ ) = f _x ⁰⁰

j

x

i

(x ₀ ).

Cząstkowe pochodne drugiego rzędu dla i 6= j nazywa się pochodnymi mieszanymi. Pochodną D _i D _i f (x ₀ ) oznaczamy również D ² _i f (x ₀ ) oraz ^∂ _∂x

²

^f

2

i

(x ₀ ).

Definicja 6.13 (pochodna drugiego rzędu). Niech f : R ^k ⊃ U → R ^m . Odwzorowanie f nazywamy dwukrotnie różniczkowalnym w punkcie x ₀ ∈ U , jeśli:

i) jest ono różniczkowalne w każdym punkcie pewnego otoczenia V 3 x ₀ oraz ii) przy każdym ustalonym h ∈ R ^k odwzorowanie V → R ^m o wzorze

x 7→ Df (x)h

jest różniczkowalne w punkcie x ₀ . Wówczas dwuliniowe odwzorowanie R ^k × R ^k → R ^m : (h, h ⁰ ) 7→ D ^ Df (x)h ^ h ⁰

nazywamy pochodną drugiego rzędu odwzorowania f w punkcie x ₀ i oznaczamy D ² f (x ₀ ).

Twierdzenie 6.14. Aby funkcja f była dwukrotnie różniczkowalna w punkcie x 0 wystarcza by:

i) w pewnym otoczeniu V 3 x 0 istniały pochodne cząstkowe pierwszego rzędu i były ciągłe ii) w pewnym otoczeniu V ⁰ 3 x ₀ istniały pochodne cząstkowe drugiego rzędu i były ciągłe w x ₀ . Twierdzenie 6.15. Jeśli odwzorowanie f jest dwukrotnie różniczkowalne w punkcie x ₀ , to istnieją drugie pochodne cząstkowe D j D _i f (x ₀ ) oraz zachodzi wzór

D ² f (x ₀ ) ^ h, h ^{0 } =

k

X

i,j=1

D _j D _i f (x ₀ )h _i h ⁰ _j

dla dowolnych h ⁰ = (h ⁰ ₁ , . . . , h ⁰ _k ), h = (h ₁ , . . . , h k ).

Twierdzenie 6.16 (Schwarza o symetrii drugiej pochodnej). Jeśli odwzorowanie f jest dwukrotnie różniczkowalne w punkcie x ₀ , to pochodna jest odwzorowaniem dwuliniowym syme- trycznym, tzn. zachodzi:

D ² f (x ₀ ) ^ h, h ^{0 } = D ² f (x ₀ ) ^ h ⁰ , h ^ , dla dowolnych h, h ⁰ ∈ R ^k . W szczególności z tego wynika, że

∂ ² f

∂x _j ∂x _i (x ₀ ) = ∂ ² f

∂x _i ∂x _j (x ₀ ) dla dowolnych i, j = 1 . . . k.

Twierdzenie 6.17 (Wzór Taylora drugiego rzędu). Jeśli odwzorowanie f : R ^k ⊃ U → R ^m jest dwukrotnie różniczkowalne w punkcie x ₀ ∈ U , to zachodzi wzór:

f (x ₀ + h) = f (x ₀ ) + Df (x ₀ )h + 1

2 D ² f (x ₀ ) ^ h, h ^{0 } + r(h), gdzie lim

h→0 kr(h)k

khk

²

= 0.

Uwaga (pochodne wyższych rzędów). Pochodne cząstkowe rzędu n definiujemy indukcyj- nie jako pochodne cząstkowe pochodnych cząstkowych rzędu n − 1.

Odwzorowanie nazywamy n–krotnie różniczkowalnym, jeśli jego pochodna rzędu n − 1 jest różniczkowalna przy ustalonych wektorach na których obliczamy wartość tej pochodnej.

Zachodzą analogiczne twierdzenia dotyczące zależności między różniczkowalnością a istnie- niem i ciągłością pochodnych cząstkowych. Zachodzi twierdzenie Schwarza o symetrii.

Twierdzenie 6.18 (Wzór Taylora). Jeśli odwzorowanie f jest n–krotnie różniczkowalne w punkcie x 0 , to zachodzi wzór:

f (x ₀ + h) = f (x ₀ ) + 1

1! Df (x ₀ )h + . . . + 1

n! D ⁿ f (x ₀ )h ⁿ + r(h), gdzie lim _h→0 ^kr(h)k _khk

n

= 0, a zapis h ⁿ oznacza (h, . . . , h)

| {z }

n−razy

.

c

Ł. Pawelec