Zmienne losowe dyskretne i Zmienne losowe ciągłe Rozkład Normalny
1. Wyprodukowanie określonej liczby wyrobów przez jednego pracownika w ciągu godziny jest zmienną losową o następującym rozkładzie prawdopodobieństwa:
Liczba wyrobów x 2 3 4 5 6 7 8
Prawdopodobieństwo 0, 02 0, 18 0, 28 0, 22 0, 16 0, 08 0, 06
a) Oblicz prawdopodobieństwo, że pracownik wyprodukuje w ciągu godziny od 4 do 8 wyrobów;
b) Oblicz prawdopodobieństwo, że pracownik wyprodukuje w ciągu godziny nie mniej, niż 5 wyrobów;
c) Oblicz prawdopodobieństwo, że pracownik wyprodukuje w ciągu godziny mniej, niż 4 wyroby;
d) Narysuj wykres dystrybuanty F tej zmiennej losowej i napisz jej wzór.
e) Oblicz F (−1), F (3, 5), F (5), F (8);
f) Oblicz wartość średnią (oczekiwaną) liczby wyrobów, wyprodukowanych przez jednego pracownika w ciągu godziny.
2. Prawdopodobieństwo zachorowania na chorobę zakaźną Z w n - tym dniu od chwili zetknięcia się z zarażonym, ma następujący rozkład:
Liczba dni od chwili zetknięcia się z zarażonym 0 1 2 3 4 5 Prawdopodobieństwo 0, 1 0, 25 0, 3 0, 2 0, 1 0, 05 a) Oblicz średnią liczbę dni, jaka upływa od chwili kontaktu z zarażoną osobą, do chwili
zarażenia;
b) Oblicz prawdopodobieństwo zarażenia się w ciągu dwóch pierwszych dni od chwili kon- taktu z zarażonym;
c) Oblicz średnią liczbę dni, jaka upływa od chwili kontaktu z zarażoną osobą, do chwili zarażenia.
3. Po sesji poprawkowej pozostało do „dopytania” 5 studentów. Prawdopodobieństwo, że losowo wybrany student zaliczy „dopytkę”, jest równe 0, 3. Podaj rozkład zmiennej losowej, która przyjmuje wartości równe liczbie studentów, którzy zaliczyli.
4. Rozkład wezwań pogotowia ratunkowego w ciągu doby jest następujące:
Liczba wezwań x 0 1 2 3 4 5
Prawdopodobieństwo 0, 14 0, 2 0, 3 0, 15 0, 11 0, 1 a) Oblicz prawdopodobieństwo, że w ciągu doby będzie od 2 do 4 wezwań;
b) Oblicz prawdopodobieństwo, że w ciągu doby będą nie mniej, niż 3 wezwania;
c) Oblicz prawdopodobieństwo, że w ciągu doby będą więcej, niż trzy wezwania;
d) Oblicz średnią wartość wezwań w ciągu doby;
e) Podaj wzór i narysuj wykres dystrybuanty.
5. Rozkład prawdopodobieństwa wystąpienia wyrobów niezgodnych z normą jest następu- jący:
xi 0 1 2 3 4 Prawdopodobieństwo pi 0, 22 0, 4 0, 18 0, 12 0, 08 a) Wyznacz wzór i narysuj wykres dystrybuanty;
b) Oblicz P (1 < X <= 3);
c) Oblicz P (X > 2);
d) Oblicz wartość oczekiwaną;
e) Określ medianę i dominantę tego rozkładu.
6. Poniższa tabela przedstawia rozkład zmiennej losowej X.
xi −3 0 1 2 5 7
pi 3/17 1/17 c 4/17 2/17 2/17 a) Oblicz wartość c;
b) Oblicz P (−2 < X < 3);
c) Oblicz P (X >= −3);
d) Oblicz P (X < 6);
e) Oblicz wartość oczekiwaną tej zmiennej losowej;
f) Wyznacz medianę i dominantę rozkładu.
7. Zmienna losowa ma rozkład dwumianowy (Bernoulliego) o parametrach p = 0, 2 i n = 4.
Podaj rozkład tej zmiennej losowej.
8. Poniżej przedstawiony jest wykres dystrybuanty zmiennej losowej X.
a) Oblicz F (0), F (1), F (2, 2), F (6) − F (2);
b) Podaj rozkład tej zmiennej losowej.
c) Oblicz P (X >= −2);
d) Oblicz P (1 < X < 4).
9. Poniżej przedstawiony jest wykres dystrybuanty zmiennej losowej X.
a) Oblicz F (0), F (1), F (3, 5), F (2, 5) − F (−2);
b) Podaj rozkład tej zmiennej losowej.
c) Oblicz P (X > 2);
d) Oblicz P (1 < X 4).
10. Liczba zgłoszeń telefonicznych nadchodzących do centralki w ciągu minuty w pewnych godzinach weekendu jest zmienną losową rozkładzie prawdopodobieństwa:
xi 0 1 2 3 4 5
pi 0, 3 0, 2 0, 2 0, 1 0, 1 0, 1 a) Znajdź dystrybuantę – wzór oraz wykres tej zmiennej losowej.
b) Oblicz prawdopodobieństwo, że w ciągu jednej minuty nadejdą do centralki więcej, niż dwa zgłoszenia;
c) Oblicz prawdopodobieństwo, że w ciągu jednej minuty nadejdą do centralki nie więcej, niż dwa zgłoszenia;
d) Oblicz prawdopodobieństwo, że w ciągu jednej minuty nadejdą do centralki mniej, niż dwa zgłoszenia;
11. W pewnej drukarni liczba błędów drukarskich na stronie podlega następującemu roz- kładowi prawdopodobieństwa:
xi 0 1 2 3 4 5 6
pi 0, 01 0, 09 0, 3 0, 2 0, 2 0, 1 0, 1 a) Znajdź dystrybuantę (wzór oraz wykres);
b) Oblicz prawdopodobieństwo, że na stronie znajdą się najwyżej cztery błędy;
c) Oblicz prawdopodobieństwo, że na stronie znajdą się co najmniej dwa błędy;
d) Oblicz prawdopodobieństwo, że na stronie nie będzie ani jednego błędu.
12. Salon samochodowy rejestruje dzienną sprzedaż; w wyniku tej obserwacji powstała tabela rozkładu prawdopodobieństwa liczby aut sprzedanych w ciągu jednego dnia:
xi 0 10 20 30 40 50
Prawdopodobieństwo pi 0, 1 0, 1 0, 3 0, 2 0, 2 a a) Oblicz a;
b) Oblicz prawdopodobieństwo, że w ciągu jednego dnia salon sprzeda więcej, niż 25 samo- chodów;
c) Oblicz prawdopodobieństwo, że w ciągu jednego dnia salon sprzeda nie mniej, niż 10 samochodów, ale nie więcej, niż 30 samochodów;
d) Podaj dystrybuantę dziennej sprzedaży samochodów;
e) Określ średnią liczbę samochodów sprzedawanych w tym salonie w ciągu jednego dnia.
13. Liczba zleceń, jaką otrzymuje pewna firma, jest zmienną losową o następującym roz- kładzie prawdopodobieństwa:
xi 0 1 2 3 4 5 6
Prawdopodobieństwo pi 0, 2 0, 2 0, 3 0, 1 0, 1 0, 05 0, 05 a) Znajdź dystrybuantę;
b) Określ średnią dzienną liczbę zleceń przyjmowanych przez firmę;
c) Oblicz prawdopodobieństwo, że firma nie przyjmie ani jednego zlecenia albo, że przyjmie ich więcej niż 5;
d) Oblicz prawdopodobieństwo, że firma przyjmie trzy do pięciu zleceń w ciągu jednego dnia.
e) Oblicz prawdopodobieństwo, że firma przyjmie jednego dnia liczbę zleceń większą, niż wynosi średnia.
Korzystając z tablicy wartości dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego roz- wiązać następujące zadania.
14. Niech Z będzie zmienną losową o standardowym rozkładzie normalnym. Znajdź na- stępujące prawdopodobieństwa: P (−1 < Z < 1), P (−1, 96 < Z < 1, 96), P (−2, 33 < Z <
2, 33), P (Z < 2, 58), P (−3 < Z < 3).
15. Jakie jest prawdopodobieństwo, że standaryzowana normalna zmienna losowa przyjmie wartość między −2 a 1?
16. Znajdź prawdopodobieństwo, że standaryzowana normalna zmienna losowa przyjmie wartość nie większą od −2, 5.
17. Znajdź prawdopodobieństwo, że standaryzowana normalna zmienna losowa przyjmie wartość większą od −2, 33.
18. Dla normalnej zmiennej losowej o średniej µ = 674 i odchyleniu standardowym σ = 55 znajdź prawdopodobieństwo, że wartość zmiennej nie przekroczy 600.
19. Niech X będzie normalną zmienną losową o średniej µ = 410 i odchyleniu standardo- wym σ = 2 znajdź prawdopodobieństwo, że X przyjmie wartość między 407 a 415.
20. Jeżeli X jest zmienną losową normalna o średniej µ = 500 i odchyleniu standardowym σ= 20, jakie jest prawdopodobieństwo, że X przyjmie wartość powyżej 555?
21. Dla normalnej zmiennej losowej o średniej −44 i odchyleniu standardowym 16 znajdź prawdopodobieństwo, że zmienna przyjmie wartość dodatnią.
22. Niech X bedzie normalną zmienną losową o średniej µ = 16 i odchyleniu standardowym σ= 3. Znajdź P (11 < X < 20), P (17 < X < 19 oraz P (X > 15).
23. Czas potrzebny międzynarodowej centrali telefonicznej do zrealizowania połączenia międzykontynentalnego ma rozkład normalny o średniej µ = 45 s i odchyleniu standardo- wym σ = 10 s.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że połączenie zostanie zrealizowane w czasie krótszym od 1 minuty?
b) Jakie jest prawdopodobieństwo uzysknia połączenia w czasie krótszym niż 40 sekund?
c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że na połączenie trzeba będzie czekać dłużej niż 70 sekund?
24. Znajdź przdział wartości standaryzowanej zmiennej losowej Z położony symetrycznie wokół punktu 0, któremu odpowiada prawdopodobieństwo:
a) 0, 90;
b) 0, 95;
c) 0, 99.
25. Czy jest prawdopodobne, by standaryzowana normalna zmienna losowa przyjęła war- tości mniejsze od −4?
26. Znajdź taką wartość z standaryzowanej normalnej zmiennej losowej Z, że prawdopo- dobieństwo, iż zmienna ta przekroczy z jest równe 0, 85.
27. Przypuśćmy, że średnia normalnej zmiennej losowej X jest nam znana i wynosi µ = 120 oraz wiemy, że prawdopodobieństwo, iż zmienna przybierze wartość przekraczającą 125 jest równe 0, 05. Czy na podstawie tych danych możemy wyznaczyć odchylenie standardowe σ rozważanej zmiennej losowej? Sformułuj problem i zaproponuj sposób jego rozwiązania.
28. Waga pojemnika ze zbożem jest normalną zmienną losową. Wiadomo, że wariancja tej wagi σ2 = 0, 25. Ponieważ proces produkcji pojemników zmienił się ostatnio, nie znamy średniej wagi pojemnika, natomiast jesteśmy przekonani, że wariancja nie zmieniła się. Kon- trola wagi wybranych pojemników pokazuje, że 20% pojemników waży ponad 16,5 uncji. W oparciu o te informacje znajdź średnią wagę pojemnika µ.
29. Zużycie benzyny przez nowy samochód na autostradzie ma rozkład normalny o niezna- nej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym. Producent wie jednak, że w 80% przy- padków samochód może przejechać na autostradzie więcej niż 28 mil, a w 40% przypadków – więcej niż 32 mile na jednym galonie benzyny. Znajdź średnią i odchylenie standardowe zużycia benzyny na autostradzie mierzone ilością mil, które samochód może przejechać na jednym galonie benzyny.
