Excel: niektóre rozkłady ciągłe (1)

(1)

Excel: niektóre rozkłady ciągłe (1)

1. ROZKŁAD.BETA (tylko dystrybuanta)...1

2. ROZKŁAD.BETA.ODW (

kwantyl w rozkładzie beta

)...3

3. ROZKŁAD.LIN.GAMMA (to nie jest żaden rozkład! – jest to lnΓ(x) ) ...4

4. ROZKŁAD.GAMMA (dystrybuanta lub funkcja gęstości)...5

5. ROZKŁAD.GAMMA.ODW (kwantyl w rozkładzie gamma) ...7

6. ROZKŁAD.LOG (logarytmiczno-normalny, tylko dystrybuanta)...8

7. ROZKŁAD.LOG.ODW (kwantyl w rozkładzie lognormalnym)...10

8. ROZKŁAD.NORMALNY (dystrybuanta i funkcja gęstości)...11

9. ROZKŁAD.NORMALNY.ODW (kwantyl w rozkładzie normalnym) ...13

10. ROZKŁAD.NORMALNY.S (rozkład normalny standaryzowany, tylko dystrybuanta) ...14

11. ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW (kwantyl w rozkładzie normalnym standaryzowanym, kwantyl normalny)...15

12. ROZKŁAD.WEIBULL (rozkład Weibulla, dystrybuanta i funkcja gęstości)...15

Uwaga: tekst czarny oznacza oryginalny tekst z tzw. helpów Excela (czasami dla zwrócenia uwagi zaznaczany na czerwono; np. kiedy dane sformułowanie jest dziwne, niejasne itp.), natomiast tekst dopisany przez mnie oznaczony jest kolorem niebieskim.

1.

1. 1. ROZKŁAD.BETA (tylko dystrybuanta)

Funkcja arkusza ROZKŁAD.BETA oblicza wartość dystrybuanty rozkładu beta:

( ) P( ) ( ; , , , )

x

A

F x X x f x^′α β A B dx

= = < =

∫

ROZKŁAD.BETA (1)

gdzie:

1 1

1 ( ) ( ) ( , )

B( , ) ( ; , , , )

0 ( , )

x A B x dla x A B

f x A B

dla x A B

α β

α β α β

− −

 − − ∈

=

 ∉



(2)

Funkcja B("_,β) nosi nazwę funkcji beta Eulera i związana jest z funkcją gamma (Eulera) (zob. rozdz. 3) wzorem

( ) ( )

B( , ) α β

α β =^Γ ^Γ (3)

(2)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

x

F(x)=P(X<x)

x =0.5 F (x )=0.6875

Rys. 1. Dystrybuanta rozkładu beta (2), FB(x;2,3,0,1)

Składnia

ROZKŁAD.BETA(x;alfa;beta;A;B)

x jest to wartość pomiędzy A i B, dla której określa się P(X<x) alfa (α) jest parametrem rozkładu

beta (β) jest parametrem rozkładu.

A jest opcjonalnym dolnym ograniczeniem przedziału wartości x.

B jest opcjonalnym górnym ograniczeniem przedziału wartości x.

Przykład

ROZKŁAD.BETA(2;8;10;1;3) = P(X<2) = 0,685470581 Nie ma czegoś takiego

jak „funkcja gęstości skumulowanego

rozkładu” !!

(3)

2. 2.

2. 2. ROZKŁAD.BETA.ODW ( kwantyl w rozkładzie beta )

Oblicza wartość kwantyla zadanego rzędu w rozkładzie beta.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

x

F(x)=P(X<x)

x=0.751 p=F(x)= 0.95

Rys. 2. Wartość 0.751 jest 95% kwantylem w rozkładzie beta (2), fB(x;2,3,0,1) Składnia

ROZKŁAD.BETA.ODW(prawdopodobieństwo;alfa;beta;A;B)

prawdopodobieństwo = P(X<x) = prawdopodobieństwo nieprzekroczenia.

alfa (α) parametr rozkładu beta (β) parametr rozkładu.

A opcjonalne dolne ograniczenie przedziału wartości x . B opcjonalne górne ograniczenie przedziału wartości x . Przykład

bzdura!

(4)

3. 3.

3. 3. ROZKŁAD.LIN.GAMMA (to nie jest żaden rozkład! – jest to lnΓ Γ Γ(x) ) Γ

Podaje wartość logarytmu naturalnego funkcji gamma (Eulera), lnΓ(x).

1 0

ROZKŁAD.LIN.GAMMA(x) ln ( )x ln t^x e dt^t

∞

− −

 

= Γ =  



∫

 ⁽⁴⁾

Gamma Eulera może być nazwana uogólnioną silnią, bo:

(n 1) n!, n 0,1, 2,....

Γ + = = (5)

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

0 1 2 3 4

x lnΓΓΓΓ(x)

0 2 4 6 8 10

0 1 2 3 4

x

ΓΓΓΓ(x)

Rys. 3. Funkcje: lnΓ(x) (wykres lewy) i Γ(x) (wykres prawy) Składnia

ROZKŁAD.LIN.GAMMA(x)

X jest to wartość, dla której chce się obliczyć ROZKŁAD.LIN.GAMMA.

Przykłady

ROZKŁAD.LIN.GAMMA(4) = lnΓ(4) = 1,791759 EXP(ROZKŁAD.LIN.GAMMA(4)) = Γ(4) = 3! = 6

(5)

4. 4.

4. 4. ROZKŁAD.GAMMA (dystrybuanta lub funkcja gęstości)

Funkcja arkusza ROZKŁAD.GAMMA oblicza funkcję gęstości lub dystrybuantę rozkładu gamma (Pearsona III typu):

1 /

0

( ; , ) 1 ,

( )

( ; , ) ( ; , ) ,

x

a

f x x e

F x f x dx

α β

α β α

β α

α β α β

− −

 =

 Γ

=

 =



∫

skumulowany = fałsz ROZKŁAD.GAMMA

skumulowany = prawda

(6)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x

F(x)=P(X<x)

x =4 F (4) = P(X <4) = 0.7619

Rys. 4. Dystrybuanta, F (x;3,1) rozkładu gamma (6)

Uwaga: Na wykładzie podałem inny wzór niż (6); różnica leży w parametrach: (α,β) w (6) wyżej to to samo, co (λ, 1/α) na wykładzie.

(6)

0.0 0.1 0.1 0.2 0.2 0.3 0.3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x

f(x) = dP(X<x)/dx

x =4

F (4) = P(X <4) = 0.7619

Rys. 5. Funkcja gęstości, f (x;3,1) rozkładu gamma (6) Składnia

ROZKŁAD.GAMMA(x;alfa;beta;skumulowany)

x jest to wartość, przy której chce się oceniać rozkład.

alfa (α) jest parametrem rozkładu beta (β) jest parametrem rozkładu.

skumulowany jest skumulowany=PRAWDA, funkcja ROZKŁAD.GAMMA daje w wyni- ku dystrybuantę, a jeśli skumulowany=FAŁSZ, wówczas daje w wyniku funkcję gęstości prawdopodobieństwa.

Przykłady

ROZKŁAD.GAMMA(10;9;2;FAŁSZ) = f(10) = 0,032639

ROZKŁAD.GAMMA(10;9;2;PRAWDA) = F(10) = P(X<10) = 0,068094

(7)

5.

5. 5. ROZKŁAD.GAMMA.ODW (kwantyl w roz- kładzie gamma)

Oblicza wartość kwantyla zadanego rzędu w rozkładzie gamma o zadanych parametrach.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x

F(x)=P(X<x)

x =5.32 F (x) = P(X <x) = 0.9

Rys. 6. Wartość 5.32 jest 90% kwantylem w rozkładzie gamma (6), f(x;3,1)

(8)

0.0 0.1 0.1 0.2 0.2 0.3 0.3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x

f(x) = dP(X<x)/dx

x = 5.32 F (x ) = P(X <x) = 0.9

Rys. 7. Wartość 5.32 jest 90% kwantylem w rozkładzie gamma (6), f(x;3,1)

Składnia

ROZKŁAD.GAMMA.ODW(prawdopodobieństwo;alfa;beta)

prawdopodobieństwo jest to prawdopodobieństwo związane z rozkładem gamma.

alfa (α) jest parametrem rozkładu beta (β) jest parametrem rozkładu.

Przykład

ROZKŁAD.GAMMA.ODW(0;068094;9;2) = 10

6.

6. 6. ROZKŁAD.LOG (logarytmiczno-normalny, tylko dystrybuanta)

ROZKŁAD.LOG oblicza dystrybuantę rozkładu logarytmiczno-normalnego:

0

ROZKŁAD.LOG( ) P( ) ( ; , ) ( ; , )

x

x = X <x =F x′ µ σ =

∫

f x µ σ dx′ ⁽⁷⁾ gdzie

1 1 ln 2

( ; , ) exp

2 2 f x x

x µ σ µ

σ π σ

  −  

= −   

 

 

 

(8)

(9)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x

F(x)=P(X<x)

x =5 F (5) = P(X <5) = 0.8886

Rys. 8. Dystrybuanta, F (x; µ=1, σ=0.5) rozkładu logarytmiczno-normalnego (8) Składnia

ROZKŁAD.LOG(x;średnia;odchylenie_std)

X jest to wartość średnia, przy której ma być oceniana funkcja.

Średnia = µ Odchylenie_std = σ.

Przykład

ROZKŁAD.LOG(4;3,5;1;2) = P(X<4) = 0,39084

(10)

7.

7. 7. ROZKŁAD.LOG.ODW (kwantyl w rozkładzie lognormalnym)

Oblicza wartość kwantyla w rozkładzie logarytmiczno-normalnym.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x

F(x)=P(X<x)

x =5.16 F (x) = P(X <x) = 0.9

Rys. 9. Kwantyl 90% w rozkładzie logarytmiczno-normalnym (8) (µ=1, σ=0.5) Składnia

ROZKŁAD.LOG.ODW(prawdopodobieństwo;średnia;odchylenie_std) Prawdopodobieństwo = p

Średnia = µ Odchylenie_std = σ.

Przykład

ROZKŁAD.LOG.ODW(0,039084; 3,5; 1,2) = 4,000014

(11)

8. 8.

8. 8. ROZKŁAD.NORMALNY (dystrybuanta i funkcja gęstości)

Funkcja arkusza ROZKŁAD.NORMALNY oblicza dystrybuantę F lub funkcję gęstości f rozkładu normalnego:

2

0

1 1

( ; , ) exp , gdy =

2 2

P( ) ( ; , ) ( ; , ) , gdy =

x

f x x

X x F x f x dx

µ σ µ

σ π σ

µ σ µ σ

=

   −  

= −

    

 

 

  

=

 < = = ′ ′



∫

ROZKŁAD.NORMALNY(x)

skumulowany fałsz

skumulowany prawda

(9)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 x

F(x)=P(X<x)

x =2.5 F (2.5) = P(X <2.5) = 0.841

Rys. 10. Dystrybuanta, F (x; µ=2, σ=0.5) rozkładu normalnego (9)

(12)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 x

f(x) = dP(X<x)/dx

x =2.5 P(X< 2.5) = 0.8886

Rys. 11. Funkcja gęstości, f (x; µ=2, σ=0.5) rozkładu normalnego (9) Składnia

ROZKŁAD.NORMALNY(x;średnia;odchylenie_std;skumulowany) x zadana wartość.

średnia średnia arytmetyczna rozkładu.

odchylenie_std standardowe odchylenie rozkładu.

skumulowany jeśli = PRAWDA to funkcja ROZKŁAD.NORMALNY = dystrybuanta jeśli = FAŁSZ, to ROZKŁAD.NORMALNY = funkcja gęstości prawdo- podobieństwa.

Przykład

ROZKŁAD.NORMALNY(42;40;1;5;PRAWDA) = P(X<42) = 0,908789

(13)

9.

9. 9. ROZKŁAD.NORMALNY.ODW (kwantyl w roz- kładzie normalnym)

Oblicza wartość kwantyla w rozkładzie normalnym o parametrach µ i σ.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 x

F(x)=P(X<x)

x =2.64 F (x) = P(X <x) = 0.9

Rys. 12. Kwantyl 90%, 2.64, w rozkładzie normalnym (9) o parametrach µ=2 i σ=0.5.

Składnia

ROZKŁAD.NORMALNY.ODW(prawdopodobieństwo;średnia;odchylenie_std) prawdopodobieństwo zadane prawdopodobieństwo nieprzewyższenia.

średnia (µ) średnia arytmetyczna zmiennej losowej X.

odchylenie_std (σ) standardowe odchylenie zmiennej losowej X.

Przykład

ROZKŁAD.NORMALNY.ODW(0,908789;40;1,5) = 42

(14)

10. 10.

10. 10. ROZKŁAD.NORMALNY.S (rozkład normalny standaryzowany, tylko dystrybuanta)

ROZKŁAD.NORMALNY.S(z) to dystrybuanta Φ(z) standaryzowanego rozkładu normalnego:

ROZKŁAD.NORMALNY.S(z) = ROZKŁAD.NORMALNY(x;0;1;prawda)

Składnia

ROZKŁAD.NORMALNY.S(z)

Z jest to wartość, dla której chcemy określić Φ(z).

Przykład

ROZKŁAD.NORMALNY.S(1,333333) = Φ(1,333333) = 0,908789

(15)

11.

11. 11. ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW (kwantyl w rozkładzie normalnym standaryzowanym, kwantyl normalny)

ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(p) to kwantyl rzędu p w standaryzowanym rozkładzie normalnym:

ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(p) = ROZKŁAD.NORMALNY.ODW(p;0;1)

Składnia

ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(prawdopodobieństwo)

Prawdopodobieństwo jest to prawdopodobieństwo nieprzewyższenia: p=P(X<x) Przykład

ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(0,908789) =P(X<0,908789) = 1,3333

12.

12. 12. ROZKŁAD.WEIBULL (rozkład Weibulla, dystrybuanta i funkcja gęstości)

Funkcja arkusza ROZKŁAD.WEIBULL oblicza wartość dystrybuanty lub funkcji gęstości rozkładu Weibulla:

1

( ) 1 exp , gdy

( ) exp , gdy

F x x

x x

f x

α

α α

β α

β β β

−

    

 = − −  

    

  

=

 

    

= − 

    

 

   

  



skumulowany = prawda ROZKŁAD.WEIBULL

skumulowany = fałsz (10)

skąd łatwo obliczyć kwantyl rzędu p w tym rozkładzie:

(16)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 x

F(x)=P(X<x)

x =2 F (2) = P(X <2) = 0.831

Rys. 13. Dystrybuanta, F (x; α=2, β=1.5) rozkładu Weibulla (10) Składnia

ROZKŁAD.WEIBULL(x;alfa;beta;skumulowany) X jest to wartość, dla której ma być oceniana funkcja.

alfa (α) parametr rozkładu.

beta (β) parametr rozkładu.

skumulowany określa rodzaj funkcji (zob. (10)).

Przykłady

ROZKŁAD.WEIBULL(105;20;100;PRAWDA) = P(X<105) = 0,929581 ROZKŁAD.WEIBULL(105;20;100;FAŁSZ) = f(105) = 0,035589