1. ROZKŁAD.CHI (naprawdę: „rozkład chi-kwadrat”, czyli „rozkład χ2”, funkcja prawdopodobieństwa przewyższenia)...1 2. ROZKŁAD.CHI.ODW (górny kwantyl w rozkładzie chi-kwadrat) ...2 3. ROZKŁAD.F (rozkład F Snedecora, funkcja prawdopodobieństwa przewyższenia) 4 4. ROZKŁAD.F.ODW (górny kwantyl w rozkładzie F Snedecora)...5 5. ROZKŁAD.T (rozkład t Studenta: funkcja prawdopodobieństwa przewyższenia lub
jej podwojona wartość) ...6 6. ROZKŁAD.T.ODW (wartość krytyczna lub (specyficzny) kwantyl w rozkładzie t
Studenta) ...8
1. ROZKŁAD.CHI (naprawdę: „rozkład chi-kwadrat”, czyli „rozkład χ
2”, funkcja prawdopodobieństwa przewyższenia)
Funkcja arkusza ROZKŁAD.CHI oblicza wartość funkcji prawdopodobieństwa przewyższenia rozkładu chi-kwadrat (czyli χ2) o ν stopniach swobody:
( ) P( ) 2( ; )
x
p x = X ≥x =∞
∫
fχ uν dROZKŁAD.CHI = u (1)
Nie ma czegoś takiego!
Składnia
ROZKŁAD.CHI(x; stopnie_swobody)
x jest to wartość, dla której chcemy obliczyć wartość prawdopodobieństwa przewyższenia P(X≥x).
stopnie_swobody = ν.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
0 5 10 15 20 x 25
p(x)=P(X≥x)
x =14
p (14) = P(X≥14) = 0.1730
Rys. 1. Funkcja prawdopodobieństwa przewyższenia rozkładu chi-kwadrat (1) o ν=10 stopniach swobody
Uwagi
• Jeśli dowolny z argumentów nie jest liczbą, to funkcja ROZKŁAD.CHI podaje wartość błędu #ARG!.
• Jeśli argument x jest ujemny, to funkcja ROZKŁAD.CHI podaje wartość błędu #LICZBA!.
• Jeśli argument stopnie_swobody nie jest liczbą całkowitą, to jego wartość zostanie obcięta do liczby całkowitej.
• Jeśli argument stopnie_swobody<1 lub stopnie_swobody>=10^10, to funkcja ROZKŁAD.CHI podaje wartość błędu #LICZBA!.
Przykład
ROZKŁAD.CHI(18,307;10) = 0,050001
2. ROZKŁAD.CHI.ODW (górny kwantyl w rozkładzie chi-kwadrat)
Podaje wartość górnego kwantyla w rozkładzie χ2 o ν stopniach swobody (1):
Jeśli prawdopodobieństwo = ROZKŁAD.CHI(x; ...), to funkcja ROZKŁAD.CHI.ODW(prawdopodobieństwo; ...) = x .
Bez sensu!
Składnia
ROZKŁAD.CHI.ODW(prawdopodobieństwo;stopnie_swobody)
prawdopodobieństwo jest to zadane prawdopodobieństwo przewyższenia (rząd kwantyla), P(X≥x)
Stopnie_swobody parametr zwany „liczba stopni swobody” (ν)
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12
0 5 10 15 20 25
x
f(x)
p (x) = P(X>x ) = 0.05 x = 18.03
Rys. 2. Liczba x=18.03 jest 5% górnym kwantylem w rozkładzie chi-kwadrat (1) o ν=10 stopniach swobody
Uwagi
• Jeśli dowolny z argumentów nie jest liczbą, to funkcja ROZKŁAD.CHI.ODW podaje wartość błędu #ARG!.
• Jeśli prawdopodobieństwo < 0 lub prawdopodobieństwo > 1, to funkcja ROZKŁAD.CHI.ODW podaje wartość błędu #LICZBA!.
• Jeśli argument stopnie_swobody nie jest liczbą całkowitą, jego wartość zostanie obcięta do liczby całkowitej.
• Jeśli argument stopnie_swobody < 1 lub stopnie_swobody 10^10, to funkcja ROZKŁAD.CHI.ODW podaje wartość błędu #LICZBA!.
Do obliczania wartości funkcji ROZKŁAD.CHI.ODW zastosowano technikę iteracyj- ną. Przyjmując wartość prawdopodobieństwa, funkcja ROZKŁAD.CHI.ODW
Przykład
ROZKŁAD.CHI.ODW(0,05;10) = 18,30703
3. ROZKŁAD.F (rozkład F Snedecora, funkcja prawdopodobieństwa przewyższenia)
Funkcja arkusza ROZKŁAD.F oblicza wartość funkcji prawdopodobieństwa przewyższenia rozkładu F (Snedecora) o n1 i n2 stopniach swobody:
1 2
( ) P( ) ( ; , )
∞
= ≥ =
∫
ROZKŁAD.F = F
x
p x X x f u n n du (2)
Składnia
ROZKŁAD.F(x;stopnie_swobody1;stopnie_swobody) x jest to wartość, dla której należy wyznaczyć P(X≥x) stopnie_swobody1 n1 stopni swobody.
stopnie_swobody2 n2 stopni swobody.
Uwagi
• Jeśli dowolny z argumentów nie jest liczbą, to funkcja ROZKŁAD.F podaje wartość błędu #ARG!.
• Jeśli argument x ma wartość ujemną, to funkcja ROZKŁAD.F podaje wartość błędu #LICZBA!.
• Jeśli argument stopnie_swobody1 lub stopnie_swobody2 nie jest liczbą całkowitą, to jego wartość zostanie obcięta do liczby całkowitej.
• Jeśli stopnie_swobody1 < 1 lub stopnie_swobody1 ≥ 10^10, to funkcja ROZKŁAD.F podaje wartość błędu #LICZBA!.
• Jeśli stopnie_swobody2 < 1 lub stopnie_swobody2 ≥ 10^10, to funkcja ROZKŁAD.F podaje wartość błędu #LICZBA!.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x p(x) = P(X≥x)
x =2
p (2 | 8;4) = P(X≥2 | 8;4) = 0.2627
p (x | 4;8)
Rys. 3. Funkcje prawdopodobieństwa przewyższenia rozkładu F Snedecora (2) o n1=8 i n2=4 oraz n1=4 i n2=8 stopniach swobody
Przykład
ROZKŁAD.F(15,20675;6;4) = 0,01
4. ROZKŁAD.F.ODW (górny kwantyl w rozkładzie F Snedecora)
ROZKŁAD.F.ODW to wartość górnego kwantyla rzędu p w rozkładzie F Snedecora o n1 i n2 stopniach swobody. Jeśli p = ROZKŁAD.F(x ,...), to
ROZKŁAD.F.ODW(p,...) = x.
Składnia
ROZKŁAD.F.ODW(prawdopodobieństwo;stopnie_swobody1;stopnie_swob ody2)
stopnie_swobody2 n2 stopni swobody.
0.0 0.3 0.5 0.8
0 1 2 x 3 4 5
f(x) = -dP(X≥x)/dx
f (x | 4;8)
f (x | 8;4)
x =2.47
P(X≥ x | 8;4) = 0.2
Rys. 4. Liczba x=2.47 jest 20% górnym kwantylem w rozkładzie rozkładu F Snedecora (2) o n1=8 i n2 =4 stopniach swobody.
Uwagi
• analogiczne jak dla ROZKŁAD.F Przykład
ROZKŁAD.F.ODW(0,01;6;4) = 15,20675
5. ROZKŁAD.T (rozkład t Studenta: funkcja prawdopodobieństwa przewyższenia lub jej podwojona wartość)
Podaje wartość P(X≥x) funkcji prawdopodobieństwa przewyższenia zmiennej X podlegającej rozkładowi t Studenta o ν stopniach swobody, lub wartość P(|X|≥x) funkcji prawdopodobieństwa przewyższenia wartości bezwzględnej |X| zmiennej X podlegającej rozkładowi t Studenta o ν stopniach swobody (zachodzi prosta
równość: P(|X|≥x) = 2⋅P(X≥x)).
( ) P( ) ( ; )
ν = ≥ =∞
∫
ROZKŁAD.T(x; ;1) = t
x
ν
p x X x f u du
ν
(3)
P(| | ) ( ; ) ( ; )
ν ν
ν
∞
−∞
= ≥ = +
= ⋅
∫ ∫
ROZKŁAD.T(x; ;2)
2 ROZKŁAD.T(x; ;1)
x
t t
x
X x f u du f u du (4)
Składnia
ROZKŁAD.T(x;stopnie_swobody;ślady)
x jest to wartość liczbowa, przy której ma być oceniany rozkład.
stopnie_swobody parametr zwany „liczba stopni swobody” (ν).
ślady (idiotyczna nazwa parametru): jeżeli ślady = 1, to ROZKŁAD.T liczy P(X≥x) natomiast ślady = 2 to ROZKŁAD.T liczy 2*P(X≥x), co pokazuje rys.
5.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 x
p(x)=P(X≥x)
p (x ) = P(X≥x ) = ROZKŁAD.T(x ;5;1)
2*p (x )=ROZKŁAD.T(x;5;2)
p (1) = P(X≥1) =0.1816
Rys. 5. Funkcja prawdopodobieństwa przewyższenia rozkładu t Studenta o ν =5 stopniach swobody dla obu wartości parametru ślady ((3) i (4))
• Jeżeli stopnie_swobody < 1, funkcja ROZKŁAD.T daje w wyniku wartość błędu #LICZBA!.
• Argumenty stopnie_swobody i ślady są sprowadzane do najbliższej mniejszej liczby całkowitej.
• Jeżeli argument ślady ma wartość inną niż 1 lub 2, funkcja ROZKŁAD.T daje w wyniku wartość błędu #LICZBA!.
Przykład
ROZKŁAD.T(1,96;60;2) = 0,054645 = 5,46%
6. ROZKŁAD.T.ODW (wartość krytyczna lub
(specyficzny) kwantyl w rozkładzie t Studenta)
Jeśli α jest zadaną liczbą z przedziału (0; 1), to ROZKŁAD.T.ODW to taka (nieujemna) wartość zmiennej losowej X podlegającej rozkładowi t Studenta o ν stopniach swobody, że
( )
P | | ( ; ) ( ; )
α ν ∞
−∞
= ≥ =ROZKŁAD.T.ODW
∫
+∫
ROZKŁAD.T.ODW
ROZKŁAD.T.ODW t t ν
X f c u du f u du (5)
Wartość ROZKŁAD.T.ODW można interpretować jako
1. wartość krytyczną tkryt(α) dwustronnego testu wykorzystującego statystykę podlegającą rozkładowi t Studenta o ν stopniach swobody lub
2. dolny kwantyl rzędu 1-α/2
3. lub górny kwantyl rzędu α/2 (zob. rys. 6) Ze względu na zależności (3) i (4) mamy też
2
α ν
ν
=
= ⋅
ROZKŁAD.T(ROZKŁAD.T.ODW; ;2)
ROZKŁAD.T(ROZKŁAD.T.ODW; ;1) (6)
Stopnie_swobody = ν.
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
f(x)
N(0,1)
ROZKŁAD.T.ODW = 2.015 -ROZKŁAD.T.ODW
P(|X| <2.015) = 0.10
P(X<-2.025) = 0.05
P(X>2.025) = 0.05
Rys. 6. Ilustracja działania funkcji arkusza ROZKŁAD.T.ODW (2.015;ν =5). Linia cienka przedstawia gęstość rozkładu normalnego standaryzowanego Uwagi
• Jeżeli jakiś argument jest nieliczbowy, funkcja ROZKŁAD.T.ODW daje w wyniku wartość błędu #ARG!.
• Jeżeli prawdopodobieństwo < 0 lub jeśli prawdopodobieństwo > 1, funkcja ROZKŁAD.T.ODW daje w wyniku wartość błędu #LICZBA!.
• Jeżeli argument stopień_swobody nie jest liczbą całkowitą, zostaje sprowadzony do najbliższej mniejszej liczby całkowitej.
• Jeżeli argument stopnie_swobody < 1, funkcja ROZKŁAD.T.ODW daje w wyniku wartość błędu #LICZBA!.
Funkcja ROZKŁAD.T.ODW wykorzystuje technikę iteracji do obliczania wartości funkcji. Przy danej wartości prawdopodobieństwa funkcja ROZKŁAD.T.ODW
przeprowadza iterację, dopóki dokładność wyniku jest nie mniejsza niż ± 3x10^-7.
Jeżeli funkcja ROZKŁAD.T.ODW nie daje zbieżności po 100 iteracjach, wówczas funkcja ta daje w wyniku wartość błędu #N/D!.
Przykład
ROZKŁAD.T.ODW(0,054645;60) = 1,96
