stan krytyczny materiału, pojęcie wytężenia, cel stosowania hipotez wytężeniowych,

(1)

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

IMiR - IA - Wykład Nr 10

Złożony stan naprężeń - wytężenie materiału

stan krytyczny materiału, pojęcie wytężenia, cel stosowania hipotez wytężeniowych,

naprężenie zredukowane, przegląd hipotez wytężeniowych: hipoteza Galileusza, hipoteza

de Saint-Venanta, hipoteza Coulomba (C-T-G), hipoteza Hubera (H-M-H), zginanie ze

skręcaniem przekrojów kołowosymetrycznych, moment zredukowany, warunek

bezpieczeństwa, przykłady obliczeniowe.

(2)

10.1. Pojęcie wytężenia

Wytężenie – ogół zmian w stanie fizycznym ciała prowadzących do wystąpienia trwałych odkształceń i w rezultacie utraty spójności materiału. Stopień zbliżenia się materiału do stanu krytycznego.

Stan krytyczny – granica plastyczności (R

_e

) - mat. elasto- plastyczne, granica wytrzymałości (R

_m

, R

_c

)– mat. kruche.

z

x O y

Wytężenie

Wytężenie (W) jest funkcją stanu naprężenia materiału oraz jego odpowiednich o stałych materiałowych (C):

, , , , , , , , ,

I C

(3)

Aby określić stopień zbliżenia się materiału poddanemu złożonemu stanowi naprężenia do stanu krytycznego, wytężenie dla tego stanu porównuje się z wytężeniem dla przypadku jednoosiowego rozciągania tzw. naprężeniem zredukowanym σ

_zr

:

Złożony stan naprężenia

z

x O y

, , ,

1

σ

_zr

σ

_zr

Jednoosiowe rozciąganie:

, , , , Hipoteza

wytężeniowa

, , ,

,

, – funkcje zależne od przyjętej hipotezy wytężeniowej Naprężenie zredukowane ( σ

_zr

) – taka wartość naprężenia, wyznaczona dla danego złożonego stanu naprężenia przy użyciu przyjętej hipotezy wytężeniowej, która przy jednoosiowym rozciąganiu tego samego materiału, wywołałaby identyczne wytężenia jakie ma miejsce w rozpatrywanym stanie naprężenia.

Hipoteza wytężeniowa – założenie dotyczące tego, jaka wielkość fizyczna, związana ze stanem

naprężenia i odkształcenia, decyduje o wytężeniu materiału.

(4)

10.2. Naprężenie zredukowane

Złożony stan naprężenia

z

x O y

, , ,

1

σ

_zr

σ

_zr

Jednoosiowe rozciąganie:

, Hipoteza

wytężeniowa

, , ,

,

Warunek bezpieczeństwa:

Wytężenie

0 R

_kr

R

_kr

– naprężenia krytyczne (R

_e

, R

_m

, R

_c

)

– dopuszczalne naprężenia

rozciągające

(5)

10.3.1. Hipoteza Galileusza (1632)

Założenie: O wytężeniu decyduje wartość maksymalnych naprężeń rozciągających ( σ

_max

).

Złożony stan naprężenia

, , ,

Jednoosiowe rozciąganie:

,

Cechy:

nie uwzględniony wpływ naprężeń σ

₂

i σ

₃

na wytężenie materiału,

Modyfikacja hipotezy Galileusza: Clebsch (1862) i Rankin (1856)

Założenie: O wytężeniu decyduje największa bezwzględna wartość ekstremalnych naprężeń normalnych: max( , )

, - dopuszczalne naprężenia rozciągające

"

- dopuszczalne naprężenia ściskające gdzie

czyli, żadne z naprężeń normalnych nie może być większe od k

_r

ani mniejsze od (- k

_c

)

Obecnie hipoteza Galileusza, nawet w postaci zmodyfikowanej jest stosowana rzadko

i jedynie w przypadku materiałów kruchych.

(6)

P

10.3. Przegląd hipotez wytężeniowych 10.3.1. Hipoteza Galileusza (1632)

Hipoteza Galileusza stanowi m.in. teoretyczną podstawę pozwalającą na

wyznaczanie wytrzymałości na rozciąganie w badaniu na rozłupywanie

_"#^$%#

materiałów kruchych (ang. indirect tensile strength test)

i1.ytimg.com

& '(

)*#

( )*#

"#

$%#

(

)*#

P

x y

Ponieważ w przypadku materiałów kruchych wytrzymałość na ściskanie (R

_c

) jest znacznie większa niż wytrzymałość na rozciąganie (R

_m

), przyjmuje się, że za zniszczenie elementu (rozłupanie) pod wpływem siły P

_max

odpowiadają dodatnie co wartości naprężenia σ

x

.

x y

O

Stąd wytrzymałość na rozciąganie przy rozłupywaniu obliczana jest jako:

O D

l

(7)

10.3.2. Hipoteza de Saint Venanta (1832)

Założenie: O wytężeniu decyduje wartość największego odkształcenia osiowego ( ε

₁

).

+ +

, & - .

Złożony stan naprężenia

, , ,

& - .

+ ,

Jednoosiowe rozciąganie:

,

Dopuszczalna wartość naprężeń ściskających w świetle hipotezy de Saint Venata

/ /

&

& - . -

"

…a tymczasem wiadomo, że:

"

-

jeżeli: ν =0.1 ÷ 0.3

"

0 /

"

0 /

Obecnie hipoteza de Saint Venanta bywa stosowana do materiałów kruchych.

1 1

(8)

10.3. Przegląd hipotez wytężeniowych

10.3.3. Hipoteza Coulomba–Tresci–Guesta (hip. C-T-G, hip. τ

max

)

Założenie: O wytężeniu decyduje wartość maksymalnych naprężeń stycznych ( τ

_max

).

& &

234 5

6

&

6

&

6

&

6

&

1 1

σ

2

σ

₂

σ

₁

σ

₁

1 2

α α y

x

(9)

10.3.3. Hipoteza Coulomba–Tresci–Guesta (hip. C-T-G, hip. τ

max

)

Założenie: O wytężeniu decyduje wartość maksymalnych naprężeń stycznych ( τ

_max

).

&

Złożony stan naprężenia

, , ,

&

Jednoosiowe rozciąganie:

,

1 1

Doświadczenie potwierdza słuszność hipotezy C-T-G w przypadku materiałów sprężysto-

plastycznych, szczególnie poddanych działaniu płaskiego stanu naprężenia (w stanach

trójosiowych pominięty zostaje wpływ pośredniego co do wartości naprężenia σ

₂

).

(10)

10.3. Przegląd hipotez wytężeniowych

10.3.3. Hipoteza Coulomba–Tresci–Guesta (hip. C-T-G, hip. τ

max

)

Założenie: O wytężeniu decyduje wartość maksymalnych naprężeń stycznych ( τ

_max

).

&

Szczególny przypadek: działanie naprężeń normalnych i stycznych:

/

&

,

. 7

⁹

& . 8

,

7

⁹

. 8

9

. 8

y

σ

_x x

τ

_xy

σ

_x

τ

xy

τ

yx

τ

yx 1 3

Czyste ścinanie: /, :

…a tymczasem wiadomo, że:

: _:

/. < ·

:

- dopuszczalne naprężenia styczne

(11)

10.3.4. Hipoteza Hubera–Misesa–Hencky’ego (hip. H-M-H)

Założenie: O wytężeniu decyduje wartość energii właściwej odkształcenia postaciowego ( Φ

_P

^).

=

^ś

+

ś

3

1

2 O

ś

Φ

_O ś

^&

^ś

&

_ś 3

1

2 O

&

_ś

&

_ś

Φ

_P

3

1

2 O

Φ

(

¹ ² ³

)

²

6 2

1 − ν σ ₊ σ ₊ σ

=

Φ

^O

E

O

¹ ₆ ² (

x y z

)

²

E ν σ ₊ σ ₊ σ

= − Φ

( ) ( ) ( )

[

¹ ² ² ² ³ ² ³ ¹ ²

]

6 1 + ν σ ₋ σ ₊ σ ₋ σ ₊ σ ₋ σ

= Φ

− Φ

=

Φ

^P ^O

E

( ) ( ) ⁽ ⁾ ( )

[

² ² ²

⁶

² ² ²

]

6 1

zx yz xy x

z z

y y

x O

P

= Φ − Φ = + E ν σ ₋ σ ₊ σ ₋ σ ₊ σ ₋ σ ₊ τ ₊ τ ₊ τ

Φ

Energia właściwa odkształcenia objętościowego

Energia właściwa odkształcenia postaciowego

Por. p. 9.9.4. …..

(12)

10.3. Przegląd hipotez wytężeniowych

10.3.4. Hipoteza Hubera–Misesa–Hencky’ego (hip. H-M-H)

Założenie: O wytężeniu decyduje wartość energii właściwej odkształcenia postaciowego ( Φ

_P

^).

?

_%

. -

', & . & . &

Złożony stan naprężenia

, , ,

9

& . & . &

⁹

?

_%

. -

,

Jednoosiowe rozciąganie:

,

Słuszność hipotezy Hubera została potwierdzona dla materiałów sprężysto-plastycznych, w przypadku których znajduje ona obecnie szerokie zastosowanie.

Przestrzenny stan naprężenia:

Płaski stan naprężenia ( σ

₃

=0):

⁹

. &

(13)

Działanie naprężeń normalnych i stycznych:

/

_,

7

⁹

. 8

9

.

y

σ

x

τ

xy

σ

x

τ

xy

τ

yx

τ

yx

1 2

Czyste ścinanie: /, :

⁹

…a tymczasem wiadomo, że:

:

: 9

≅ /. <A

10.3.4. Hipoteza Hubera

¹⁹⁰⁴

–Misesa

¹⁹¹³

–Hencky’ego

¹⁹²⁵

(hip. H-M-H)

Założenie: O wytężeniu decyduje wartość energii właściwej odkształcenia postaciowego ( Φ

_P

^).

Płaski stan naprężenia ( σ

₃

=0):

⁹

. &

9

(14)

( B

10.4. Zginanie ze skręcaniem – wybrane problemy inżynierskie

( B b a

(C

$

(

z

x

D

y

O

( B b

a

(15)

$

A

z

x

D

y

O

A

$

E

F E

F

G ·

' ·

Dla przekroju G ·

kołowego o średnicy d

,H ⁹

. 8

_$

. 8

^$

·

9

Zgodnie z hipotezą C-T-G (hip. τ

_max

^):

.

_$

9

,H ⁹

.

_$

.

^$

·

9

Zgodnie z hipotezą H-M-H:

. 8

^$

9

- moment zredukowany

(16)

10.5. Zginanie ze skręcaniem – warunek bezpieczeństwa

z

x

D

y

O

A

.

_$

9

Warunek bezpieczeństwa

,

- dopuszczalne naprężenia przy zginaniu

- wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie

,

G ·

Moment zredukowany wg hipotezy C-T-G

. 8

^$

9

Moment zredukowany

wg hipotezy H-M-H

Dla przekroju kołowego

o średnicy d 1

: G ·

$

A

$

(17)

x

y

z