Przestrzenie i podprzestrzenie liniowe
1. Wykazać, że X = Rn- zbiór wszystkich n-wyrazowych ciagów liczb rzeczywistych z działa- niami:
x + y = (x1 + y1, . . . , xn+ yn), αx = (αx1, . . . , αxn)
dla x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn)∈Rn, α ∈Rjest przestrzenia liniow a.
2. Wykazać, że zbiór wielomianów postaci Wn(t) = antn + an−1tn−1 + . . . + a1t + a0, dla t ∈ R, an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ R z działaniami określonymi jak dla przestrzeni wszystkich funkcji rzeczywistych określonych naR jest podprzestrzenia liniow a przestrzeni tych funkcji.
3. Wykazać, że przestrzeń c0 jest podprzestrzenia liniow a przestrzeni wszystkich ci agów (okre- ślonej na wykładzie).
4. Pokazać, że zbiór (i){(0, y) ∈ R2 : y ∈R}, (ii) {(x, y) ∈ R2 : y = 3x},
(iii) {(x, y, z) ∈ R3 : 2x + 7y − 4z = 0}
jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R2 lub R3.
5. Czy zbiór
(i){(x, y) ∈R2 : y = 3x + 1},
(ii) {(x, y, z) ∈ R3 : 2x + 7y − 4z − 1 = 0}
jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R2 lub R3?
6. Pokazać, że przestrzeń lp - ciągów sumowalnych z p-tą potęgą (tzn. x = (tk)∞k=1 ∈ lp, jeśli
∞
k=1|tk|p < ∞) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni wszystkich ciągów o wyrazach rzeczy- wistych (lub zespolonych).
7. Pokazać, że przestrzeń C([a, b],R)- funkcji rzeczywistych ciągłych na przedziale [a, b] jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R[a,b].
8. Dla i ∈ {1, 2, . . . , n} niech ei = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) ∈Rn, (1 na i-tym miejscu).
(i) Pokazać, że układ e1, . . . , en jest liniowo niezależny.
(ii) Sprawdzić, że dla każdego x = (x1, . . . , xn)∈Rn mamy x = x1e1+ x2e2 + . . . + xnen,
przy czym przedstawienie to jest jednoznaczne, tzn. jeśli x = α1x1 + . . . + αnxn dla αi ∈R, i ∈ {1, . . . , n}, to αi = xi.
Arkusz 1
9. Rozważyć przestrzeń R3.
(i) Pokazać , że układ wektorów x1 = (2, 1, −2), x2 = (0, 4, 2), x3 = (0, 0, 4) jest liniowo nieza- leżny.
(ii) Udowodnić, że układ ten tworzy bazę przestrzeni R3.
(iii) Podać współrzędne elementu x ∈ R3 względem tej bazy, jeśli x = (1, −1, 0) w bazie kano- nicznej.
10. W każdym z poniższych podpunków udowodnić, że operator T : X → Y (X, Y - prze- strzenie liniowe) jest liniowy.
(i) Niech X = c będzie przestrzenią ciągów zbieżnych o wyrazach z ciała K, Y = K. Niech dalej T : c →Kbędzie określone następująco:
T (x) = lim
k→∞tk dla x = (tk)∞k=1 ∈ c.
(operator T jest funkcjonałem liniowym).
(ii) Niech X = l będzie przestrzenią ciągów sumowalnychh o wyrazach z ciała K, Y =K. Niech dalej T : l →K będzie określone następująco:
T (x) =
∞
k=1tk dla x = (tk)∞k=1 ∈ l.
(operator T jest funkcjonałem liniowym).
(iii) Niech X będzie przestrzenią funkcji x : [a, b] ⊂R→Króżniczkowalnych w [a, b], a Y =K[a,b]. Wtedy T x = x, gdzie x jest pochodną funkcji x jest operatorem liniowym z X w Y . (iv) Niech X będzie przestrzenią funkcji x : [a, b] ⊂ R → R całkowalnych na [a, b], a Y = R[a,b]. Wtedy T x =[a,b]x(t) dt jest operatorem liniowym z X w Y .
Normy i przestrzenie unormowane.
11. Sprawdzić, że funkcja : X × X →R+ określona wzorem
(x, y) = x − y
dla x, y ∈ X, gdzie X jest przestrzenia unormowan a, spełnia aksjomaty metryki.
12. Wykazać, że w przestrzeni unormowanej (X, ) norma jest funkcja ci agł a, jednostajnie ciagł a, a nawet spełnia warunek Lipschitza ze stał a 1 (tzn. dla dowolnych x, y ∈ X mamy
| x − y | 1 · x − y).
13. Wykazać, że relacja równoważności norm z definicji spełnia wszystkie warunki relacji rów- noważności, tzn. jest zwrotna, symetryczna i przechodnia.
Arkusz 2
