∑ Zestaw zada ń z mechaniki kwantowej II dla IFMU + I

(1)

Zestaw zadań z mechaniki kwantowej II dla IFMU + I

3. Transformacje unitarne, operatory: rzutowy i ewolucji, obrazy: Schrödingera i Heisenberga

Operator Uˆ nazywamy unitarnym, gdy zachodzi związek:

Iˆ Uˆ Uˆ ⁺= , gdzie Iˆ jest operatorem jednostkowym.

Każda macierz hermitowska działająca w przestrzeni ࢂ^࢔ሺℂሻ może być zdiagonalizowana przez unitarną zmianę bazy.

lub równoważnie:

Dla każdej macierzy hermitowskiej ષષષ istnieje macierz unitarna U (wyrażona przez ષ wektory własne ષષષ), taka że macierz ષ U⁺ΩUjest macierzą diagonalną.

Operator U

(

t,t0

)

nazywamy operatorem ewolucji, gdy spełniony jest związek:

( )

t U

(

t,t₀

) ( )

xt₀

x = .

1. Operatory unitarne

1.1 Udowodnić, że operatory unitarne nie zmieniają iloczynu skalarnego wektorów, na które działają.

1.2 Wykazać, że jeśli kolumny macierzy unitarnej n×n potraktujemy jako składowe n wektorów, to wektory te będą ortonormalne (podobnie mamy dla wierszy).

1.3 Wykazać, że wartości własne operatora unitarnego są liczbami zespolonymi o module równym jedności.

1.4 Rozważ macierz:

















= Ω

0 0 1

0 0 0

1 0 0

a) czy jest ona hermitowska?

b) wyznacz jej wartości i wektory własne;

c) sprawdź, że macierz U⁺ΩU jest diagonalna, jeśli U jest macierzą wektorów własnych ષ.

2. Operator rzutowy

2.1 Udowodnić, że operator rzutowy Pˆ jest idempotentny, tzn. Pˆ_i² =Pˆ_i. 2.2 Rozkład spektralny obserwabli.

Wykazać, że operator Aˆ można przedstawić przy pomocy rozkładu:

∑

=

n n nP Aˆ a ˆ _, gdzie a_n są jego wartościami własnymi.

(2)

2.3 Wykazać, że:

a) zachodzi następująca relacja komutacyjna:

[

^A^ˆ^,P^ˆn

]

⁼⁰;

b) dla dowolnego wektora ψ ∈ H stan Pˆ_nψ jest stanem własnym obserwabli Aˆ z wartością własną a_n;

c) wartość oczekiwana wielkości fizycznej A, której odpowiada operator Aˆ dla układu fizycznego znajdującego się w stanie ψ wynosi:

∑

=

n n n a

A ψAˆψ ψ ²,

gdzie Aˆ n =a_n n _. 3. Operator ewolucji U 3.1 Wykazać, że:

a) ^U

(

^t0^,^t0

)

= ; ^I^ˆ

b)

( ) (

0

)

0 ˆ ,

, HU t t t

t t

i U =

∂

∂ ;

c) U

(

t₂,t₀

)

=U

(

t₂,t₁

) (

U t₁,t₀

)

.

3.2 Uzasadnić poprzez formalne scałkowanie równania ruchu dla operatora ewolucji, że ma on następującą postać (w przypadku hamiltonianu niezależnego od czasu):

( ) ( )









− −

= ₀

0

ˆ exp

, iH t t

t t

U .

3.3 Podać postać operatora ewolucji dla równania Schrödingera przy pomocy stanów E , tzn. wektorów własnych hamiltonianu. Wskazówka: skorzystać z faktu, że ⁼

∑

E

E E Iˆ

oraz z niezależności linowej wektorów E . 4. Obrazy w mechanice kwantowej

4.1 Omówić własności obrazu Schrödingera.

4.2 Omówić podstawowe własności obrazu Heisenberga.

4.3 Udowodnić, że wartości oczekiwane obserwabli w obrazie Schrödingera i Heisenberga są identyczne, tzn.:

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )H H t

H H S

S S S

t t Aˆ t t Aˆ t t Aˆ

Aˆ

0

0 =

=

= ψ ψ ψ ψ ,

gdzie Aˆ_H

( )

t =U⁺

(

t,t₀

)

Aˆ_SU

(

t,t₀

)

.

4.4 Wykazać, że dla układów zachowawczych (hamiltonian niezależny jawnie od czasu) równanie ruchu dla operatora w obrazie Heisenberga wyrażone jest zależnością:

( )

^t

[ ( )

^t ^H

]

dt

id Aˆ_H = Aˆ_H , ˆ .