 Poziom: szkoły ponadgimnazjalne – cykl listopadowy XVII Warmińsko -Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje

XVII Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje – cykl listopadowy

Poziom: szkoły ponadgimnazjalne

Punktacja: 10 punktów za każde zadanie (zadania rozwiązywane w domu) Zadanie 1.

Rozwiąż równanie ¹_𝑥+ _𝑦¹+ _𝑥𝑦¹ = 1 w zbiorze liczb całkowitych.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że x i y nie mogą być równe 0. Dane równanie jest równoważne równaniom:

 𝑦 + 𝑥 + 1 = 𝑥𝑦

 𝑥𝑦 − 𝑦 − 𝑥 + 1 = 2

 𝑦(𝑥 − 1) − (𝑥 − 1) = 2

 (𝑥 − 1)(𝑦 − 1) = 2.

Odpowiedź. Jedynymi liczbami całkowitymi spełniającymi te równanie są liczby:

x = 2 i y = 3 lub x = 3 i y = 2.

Zadanie 2.

Długość ramienia trapezu jest równa 5, a odległość środka przeciwległego ramienia od niego jest równa 10.Znajdź pole trapezu.

Rozwiązanie:

AB = a DC= b DK = h

A B

C D

5

E 10







G

H

K

Trójkąt FEG jest podobny do trójkąta FHD ( bo prostokątne oraz Fwspólny) czyli też podobny do trójkąta AKD.

Stąd wynika stosunek odpowiednik boków w trójkątach FEG i AKD

50 2 50

50 , 2 10 5





 





 



PABCD

b h a

DK FE

b FE a

DK oraz FE

Odpowiedź. Pole trapezu jest równe 50.

Zadanie 3.

Wykaż, że dla dowolnych, dodatnich liczb a, b, c, spełniających warunek abc1 prawdziwa jest nierówność:

abbcacabc6 Rozwiązanie

Z warunku abc1 otrzymujemy

c ab1 . Przekształcamy lewą stronę nierówności

6 2 2 1 2

1 2 1 2

2 1 ) (

1) ( 1) (

1 1

1 1

1 1









































































ab ab b b

a a ab ab

b b a a

b ab b a

ab a b ab

ab a ab a

b ab c b a ac bc ab

Przy dowodzie skorzystano, ze związku między średnią arytmetyczną, a geometryczną.

Uwaga.

Warto również pamiętać, że  2 a b b

a dla dowolnych dodatnich liczb a i b, co możemy pamiętać, że suma dodatniej liczby i jej odwrotności jest większa równa 2.

Stąd 1 2 a a . Zadanie 4.

Znajdź taką najmniejszą liczbę naturalną n, aby liczby n +1 oraz n -110 były kwadratami liczb naturalnych.

Rozwiązanie:

Niech n1 x ² oraz n110 y² dla pewnych liczb naturalnych x i y. Wówczas odejmując stronami otrzymujemy:







y

x    

 ^{2 2}

111 .

Ale 1113371111 czyli:

albo xy3 i xy 37, albo xy 1 i xy 111. Stąd mamy

17

20 

 i y

x lub x56 i y 55. Odpowiedź. Najmniejszą więc liczbą n jest n x²1399.

Zadanie 5.

Wykaż, że w trójkącie o bokach a, b, c i wysokościach odpowiednio równych h_a, h_b,h_c, prawdziwa jest równość:

1 1 1 )

( ) (

1) 1 (1 ) (

c b c a

b

a h h h h h

c h b c a

b

a           .

Rozwiązanie:

Niech S oznacza pole trójkąta. Wtedy

c b

a bh ch

ah

S 2

1 2

1 2

1  

 Stąd

ha

a 2S

 , hb

b 2S

 , hc

c 2S

 .

1) 1 ( 1 ) (

) 2 (

) 1 1 1 ( 1 2 2 ) 2 (2 2 ) 2 (2 1) 1 (1 ) (

c b a c b a

c b a c

b a c

b a c b a

h h h h

h h

h h S h

h h S h

S h S h S h h

S h

S h

S c

b c a

b a





















































c.n.d.