XVII Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje – cykl lutowy Poziom: szkoły ponadgimnazjalne

XVII Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje – cykl lutowy

Poziom: szkoły ponadgimnazjalne

Punktacja: 10 punktów za każde zadanie (zadania rozwiązywane w „domu”)

Zadanie 1. Rozwiąż nierówność 4^𝑥− 2 · 5^2𝑥 < 10^𝑥. Rozwiązanie:

Niech 2^𝑥 = 𝑢, 5^𝑥 = 𝑣, wówczas u, v są liczbami dodatnimi, zaś dana nierówność przyjmuje postać

𝑢²− 2𝑣² < 𝑢 · 𝑣.

Stąd, po przekształceniach, otrzymujemy

(𝑢 + 𝑣)(𝑢 − 2𝑣) < 0, ale 𝑢 + 𝑣 > 0, zatem 𝑢 − 2𝑣 < 0, czyli ^𝑢

𝑣

< 2.

Odpowiedź. 𝑥 > 𝑙𝑜𝑔_0,42.

Zadanie 2 Rozwiąż równanie: _{4 9}

2 1

cos 4  ²  



 



 x x

x

 .

Rozwiązanie: Przekształćmy do postaci równoważnej 4 9 2

1

cos 4  ² 



 



 x x

x



Sprawdźmy czy to równanie ma szansę mieć jakiekolwiek rozwiązanie czyli czy jest część wspólna zbiorów wartości funkcji po lewej stronie równania i po prawej.

Zbiór wartości funkcji    



 



 4 : 1, 1

cos ZWF y

y x

Zbiór wartości funkcji 4 9 : ( , 1 ( 4, 1)

2

1 ₂         



 x x ZWF y wierzchoek W

y

Czyli jedyne miejsce gdzie funkcje są równe jest w punkcie o równych wartościach, czyli dla y1.

Funkcja kwadratowa ma w tym punkcie wierzchołek czyli y1 dla x4.

Liczymy dla jakich x:

4 1

1 2 2 4

4

, 4 2

4 1 cos











 





















 





x k

dla

x k x k x

C k gdzie x k

x









 



Odpowiedź. Rozwiązaniem równania jest x = -4

Zadanie 3.

Obliczyć:

4 log 48 log 3 log

16 log 3 log

2 6 6

6

6 2

6





 .

Rozwiązanie:

Korzystając z własności logarytmów otrzymujemy

 







 





 







4 log 16 log 3 log 3 log

3 log 6 4 3 log 4

log 16 3 log 3 log

2 log 4 3 log 4

log 48 log 3 log

16 log 3 log

2 6 6

6 6

6 2

6 2

6 6

6

6 2

6 2

6 6

6

6 2

6

 

    



 

 



 









 

12 log

36 log 3 log 12

log 2 3 log 4

log 3 log

4 3 log 4 3 log 4 log 4 log 3 log 2 3 log

3 log 6 log 4 3 log

2 6

2 6 6

2 6

2 6 2

6 6

6 2

6 2

6 6

6 2

6

6 6

2 6

 

12 1 log

12 log 12

log 12 log 1

2 6

2 6 2

6 2

6  





Odpowiedź. Wartość wyrażenia równa jest 1.

Zadanie 4. Trzy równe okręgi parami zewnętrznie styczne ograniczają trójkąt krzywoliniowy (obszar zakreskowany na rysunku). Oblicz pole tego trójkąta, wiedząc, że promień okręgu opisanego na figurze utworzonej z wymienionych trzech okręgów jest równy R.

Rozwiązanie:

Środki małych okręgów tworzą trójkąt równoboczny o boku równym długości dwóch promieni: 2r.

Pole trójkąta krzywoliniowego jest równe różnicy pola trójkąta utworzonego przez trzy środki małych okręgów i sumy pól trzech wycinków małych kół wyciętych przez trójkąt utworzony przez środki małych okręgów.

a =2r a = 2r

x

a=2r

Promień R okręgu opisanego na podanej figurze jest równy sumie promienia r małego okręgu i długości odcinka x

𝑥 = ²₃ℎ , ℎ = 𝑎^√3₂, czyli

𝑥 = 2

3∙ 2𝑟√3

2 = 𝑟2√3 3 Stąd 𝑅 = 𝑟^2√3₃ + 𝑟 = 𝑟^2√3+3₃ Wyznaczamy r: 𝑟 = ^3𝑅

2√3+3= ^√3𝑅

2+√3=^{√3𝑅(2−√3)}₄₋₃ = 𝑅(2√3 − 3) 𝑟 = 𝑅(2√3 − 3)

Wyznaczam pole trójkąta: 𝑃_𝑡 = (2𝑟)^{2 √3}₄ = 𝑟²√3

Wyznaczam pole wycinka koła. Kąty w trójkącie równobocznym mają po 60° czyli pole wycinka jest równe ¹₆ pola koła: 𝑃_𝑤 =¹₆𝜋𝑟²

Wyznaczam pole szukanej figury:

𝑃_𝑓 = 𝑃_𝑡− 3𝑃_𝑤 R

x r

𝑃_𝑓 = 𝑟²√3 − 3 ∙1

6𝜋𝑟² = 𝑟²(√3 −𝜋

2) = 𝑅²(2√3 − 3)²(√3 −𝜋 2) 𝑃_𝑓 = 𝑅²(2√3 − 3)²(√3 −𝜋

2) 𝑃_𝑓 = 3𝑅²(7 − 4√3) (√3 −𝜋

2) Odpowiedź. Pole figury jest równe 𝑃_𝑓 = 3𝑅²(7 − 4√3) (√3 −^𝜋₂).

Zadanie 5.

Wykazać, że jeżeli a, b, c są liczbami dodatnimi takimi, że a a b b c c, to są one długościami boków trójkąta rozwartokątnego.

Rozwiązanie:

Założenie:

a, b, c - liczby dodatnie a a b b c c Teza:

a, b, c są długościami boków trójkąta rozwartokątnego Dowód:

Z równości podanej w założeniu wynika, że ac i bc.

1. Aby wykazać, że liczby a, b, c są długościami boków trójkąta wystarczy udowodnić, że abc

c

c c c c

b b a a c

b b c

a a b

b b a

a b a

a         . 2. Należy teraz udowodnić, że trójkąt o bokach a, b, c jest rozwartokątny, tzn.

2 2

2 b c

a   . Istotnie

           

2

2 b a a a b b b a a c b b c a a b b c c c c c

a               

Na podstawie punktu 1 i 2 wynika, że trójkąt o bokach długości a, b, c jest rozwartokątny.