XVII Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje – cykl marcowy Poziom: szkoły ponadgimnazjalne

XVII Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje – cykl marcowy

Poziom: szkoły ponadgimnazjalne

Punktacja: 10 punktów za każde zadanie (zadania rozwiązywane w „domu”)

Zadanie 1. Znajdź wszystkie pary liczb całkowitych spełniających równanie: 𝑥𝑦 = 𝑥 + 𝑦.

Rozwiązanie:

𝑥𝑦 = 𝑥 + 𝑦

𝑥𝑦 = 𝑥 + 𝑦 + 1 − 1 𝑥𝑦 − 𝑥 − 𝑦 + 1 = 1 𝑥(𝑦 − 1) − (𝑦 − 1) = 1 (𝑥 − 1)(𝑦 − 1) = 1

Z powyższego zapisu wynika, że: 𝑥 − 1 = 1 i 𝑦 − 1 = 1 albo 𝑥 − 1 = −1 i 𝑦 − 1 = −1.

W konsekwencji rozwiązaniem równania są dwie pary liczb: 𝑥 = 2 𝑖 𝑦 = 2 albo 𝑥 = 0 𝑖 𝑦 = 0.

Odpowiedź. 𝑥 = 2 𝑖 𝑦 = 2 albo 𝑥 = 0 𝑖 𝑦 = 0.

Zadanie 2. Udowodnij, że jeżeli liczby 𝑎², 𝑏², 𝑐² tworzą ciąg arytmetyczny, to 1

𝑏 + 𝑐, 1

𝑐 + 𝑎, 1 𝑎 + 𝑏 tworzą również ciąg arytmetyczny.

Rozwiązanie:

W ciągu arytmetycznym dowolny wyraz, oprócz pierwszego i ostatniego, jest średnią arytmetyczną wyrazów z nim sąsiadujących.

Jeżeli liczby 𝑎², 𝑏², 𝑐² tworzą ciąg arytmetyczny, to ¹₂(𝑎²+ 𝑐²) = 𝑏² 𝑎²+ 𝑐² = 2𝑏²

𝑎²+ 𝑐²− 2𝑏² = 0 (*)

Aby udowodnić, że liczby _𝑏+𝑐¹ , _𝑐+𝑎¹ , _𝑎+𝑏 ¹ tworzą ciąg arytmetyczny, wystarczy wykazać prawdziwość równania: _𝒃+𝒄^𝟏 + _𝒂+𝒃^𝟏 = _𝒂+𝒄 ^𝟐 .

Zakładamy przy tym, że mianowniki ułamków są różne od zera, co wyklucza, że 𝑎², 𝑏², 𝑐² tworzą ciąg stały.

1

𝑏+𝑐

+

𝑎+𝑏

−

𝑎+𝑐

=

=

𝑎𝑐+𝑏𝑐+𝑎²+𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑏𝑎+𝑐²+𝑐𝑎−2𝑏𝑐−2𝑏²−2𝑐𝑎−2𝑎𝑏

(𝑏+𝑐)(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑎)

=

= ⏞

𝑧 (∗)

0

1

𝑏 + 𝑐+ 1

𝑎 + 𝑏= 2 𝑎 + 𝑐 c.n.w.

Zadanie 3.

Udowodnij, że (sin10^)^1 3(cos10^)^1 4. Rozwiązanie

   

4 20 2sin 1

20 sin 2

20 2sin 1

10 30 sin 2 20

2sin 1

10 sin 30 cos 10 cos 30 sin 2 20

2sin 1

10 2 sin 10 3

2cos 2 1

10 cos 10 sin

10 sin 3 10 cos 10 cos

3 10

sin ) 1 10 (cos 3 ) 10

(sin ^{1 1}





 

 

 







 



 



 







 ^













































Zadanie 4. W trapezie ABCD dane są podstawy: |𝐴𝐵| = √7 oraz |𝐶𝐷| = √3. Oblicz długość odcinka łączącego środki przekątnych w tym trapezie.

Rozwiązanie:

Z treści zadania wynika:

|𝐴𝐸| = |𝐸𝐶|

|𝐵𝐹| = |𝐹𝐷|.

Oznaczmy szukany odcinek EF jako x.

Z twierdzenia o odcinku łączącym środki ramion trapezu wynika, że:

𝑥 =

|𝐶𝐸|

|𝐴𝐶|

=

=

√7 i przekształcając otrzymujemy

𝑥 + |𝐹𝐾| = ^√7₂

.

Analogicznie z podobieństwa trójkątów ABD oraz LFD (kk) wynika, że:

|𝐷𝐹|

|𝐵𝐷|= 1

2= 𝑥 + |𝐿𝐸|

√7

i przekształcając otrzymujemy

𝑥 + |𝐿𝐸| = ^√7

2

.

Z dodania zależności (1) i (2) i twierdzenia o odcinku łączącym środki ramion trapezu wynika, że:

𝑥 + (𝑥 + |𝐹𝐾| + |𝐿𝐸| = √7 𝑥 + ^{√7+ √3}

2 = √7.

W rezultacie 𝑥 = ^{√7− √3}

2 .

Odpowiedź. Długość odcinka łączącego środki przekątnych jest równa ^{√7− √3}₂ .

Zadanie 5.

W prawidłowym ostrosłupie czworokątnym kąt między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ma miarę 𝛼 . Wyznacz cosinus kąta między ścianami bocznymi ostrosłupa.

Rozwiązanie.

Rozważymy przykładowo tylko kąt między ścianami bocznymi o wspólnej krawędzi.

Ostrosłup prawidłowy czworokątny w podstawie ma kwadrat. Pole boczne składa się z 4 trójkątów równoramiennych.

a) Rozpatrujemy trójkąt BCS.

Wyznaczam wysokość ściany bocznej:

|𝑆𝐸|

|𝐵𝐸| = 𝑡𝑔𝛼

|𝑆𝐸| =1

2|𝐵𝐸|𝑡𝑔𝛼 S

D F

A B

E C O

β

α

S

B E C

α

𝑃_𝐵𝐶𝑆= 1

2|𝐵𝐶||𝑆𝐸| =1

4|𝐵𝐶|²𝑡𝑔𝛼 Wyznaczam krawędź boczną:

|𝐵𝐸|

|𝐵𝑆| = 𝑐𝑜𝑠𝛼

|𝐵𝑆| = |𝐵𝐸|

𝑐𝑜𝑠𝛼 = |𝐵𝐶|

2𝑐𝑜𝑠𝛼

Z pola trójkąta będącego ścianą boczną wyznaczam wysokość ściany bocznej poprowadzoną do krawędzi bocznej:

𝑃_𝐷𝐶𝑆 = 𝑃_𝐵𝐶𝑆 1

2|𝐵𝑆||𝐶𝐹| = 1

4|𝐵𝐶|²𝑡𝑔𝛼 1

4

|𝐵𝐶|

𝑐𝑜𝑠𝛼|𝐶𝐹| =1

4|𝐵𝐶|²𝑡𝑔𝛼

|𝐶𝐹| = |𝐵𝐶|𝑠𝑖𝑛𝛼 Rozpatruję trójkąt ACF:

Z twierdzenia cosinusów: (|𝐵𝐶|√2)² = |𝐵𝐶|²𝑠𝑖𝑛²𝛼 + |𝐵𝐶|²𝑠𝑖𝑛²𝛼 − 2|𝐵𝐶|²𝑠𝑖𝑛²𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽 1 = 𝑠𝑖𝑛²𝛼 − 𝑠𝑖𝑛²𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽

𝑐𝑜𝑠𝛽 = −𝑐𝑡𝑔²𝛼 Odpowiedź. 𝑐𝑜𝑠𝛽 = −𝑐𝑡𝑔²𝛼 .