Różniczka zupełna

Stosowane modele równowagi ogólnej (CGE)

ogólnej (CGE)

Wykład 2

Zasady linearyzacji równań

Linearyzacja

• W pakiecie GEMPACK domyślnie zapisuje się równania w postaci zlinearyzowanej.

• Zmienne wyrażone są domyślnie w kategoriach procentowych przyrostów.

• Korzyści z linearyzacji – wygodna interpretacja

• Korzyści z linearyzacji – wygodna interpretacja równań, stosunkowo prosty algorytm

rozwiązywania modelu.

• Przyjmujemy konwencję zapisu:

– poziomy zmiennych – wielkie litery.

– procentowe przyrosty zmiennych – małe litery.

Różniczka zupełna

gdzie

n n

X dX dX Y

X dX Y

X dY Y

∂ + ∂

∂ + + ∂

∂

= ∂ K

2 2

1 1

) ,

, ,

(X X X

Y

Y = K

gdzie

są różniczkami, tj. nieskończenie małymi przyrostami poszczególnych zmiennych.

) ,

, ,

(X₁ X ₂ X _n Y

Y = K

dX n

dX dX

dY , ₁, ₂,K,

Definicja

• Nieskończenie mały procentowy przyrost zmiennej (np.

zmiennej Y) definiujemy jako:

⋅100

≡ Y y dY

• Przypomnijmy: Y – poziom zmiennej, y – procentowy przyrost.

Y

Różniczka – raz jeszcze

• Z definicji podanej na poprzednim slajdzie wynika tożsamość:

• co po podstawieniu do wyrażenia różniczki zupełnej

100 y dY Y ⋅

=

• co po podstawieniu do wyrażenia różniczki zupełnej pozwala przekształcić wyjściowe równanie „na

poziomach” do postaci „na procentowych przyrostach”.

• Równanie w postaci zlinearyzowanej może służyć do wyznaczenia procentowej zmiany zmiennej

endogenicznej, następującej pod wpływem zadanych procentowych zmian zmiennych egzogenicznych.

Linearyzacja iloczynu

• Dane jest równanie „na poziomach”:

• Różniczka zupełna:

Z X

Y = ⋅

Z dZ dX Y

X dY Y

∂ + ∂

∂

= ∂

• Po przekształceniach otrzymujemy:

• Uwaga! Powyższe równanie jest spełnione

w przybliżeniu (dokładnie – tylko dla nieskończenie małych procentowych przyrostów zmiennych).

dZ X

dX Z

dY = ⋅ + ⋅

z x

y = +

„Linearyzacja” sumy

• Dane jest równanie „na poziomach”:

• Różniczka zupełna:

Z X

Y = +

Z dZ dX Y

X dY Y

∂ + ∂

∂

= ∂

• Po przekształceniach otrzymujemy:

• a dalej:

dZ dX

dY = +

z Z x

X y

Y ⋅ = ⋅ + ⋅ Y z

x Z Y

y = X ⋅ + ⋅

Zadania

Zlinearyzować (tj. przekształcić do postaci „na

procentowych przyrostach”) następujące równania:

• Y=X/Z

• Y= α·X gdzie α – stała.

• Y=X–Z

• Y=X–Z

• Y=X^α gdzie α – stała.

• V=P_K·K+P_L·L

• Y=β·K^α·L^(1–α) gdzie α, β – stałe.

• Y=2·X²+3/Z

• Y=(2·X·Z–5·W)³

Błąd linearyzacji (1)

Przykład:

• Równanie „na poziomach”: Y=X²+Z

• Postać zlinearyzowana:

y=2X²/Y·x + Z/Y·z y=2X²/Y·x + Z/Y·z

gdzie małe litery wyrażają procentowe przyrosty (krańcowe), a duże – poziomy zmiennych (ich wartości wyrażające początkowe rozwiązanie równania „na poziomach”).

• W równaniu zlinearyzowanym x, y, z są

zmiennymi; X, Y, Z – współczynnikami (stałymi).

Błąd linearyzacji (2)

• Mając następujące rozwiązanie

początkowe: X=3, Z=6, Y=15 równanie zlinearyzowane przyjmuje postać:

y=6/5·x + 2/5·z

• Zakładając, że X↑20%, Z↓10%, tj. x=20, z=–10, otrzymujemy:

y=6/5·20 + 2/5·(–10)=20 [Y↑20%]

• Jest to wynik przybliżony. Dokładny wynik to Y↑22,4%.

Błąd linearyzacji – ćwiczenie

• Równanie „na poziomach”:

• Rozwiązanie początkowe: X=4, Y=2.

• Równanie zlinearyzowane: ………….

X Y =

• Zakładamy wzrost X z 4 do 16 (o 300%).

• Wynik dokładny: Y rośnie o …………%.

• Aproksymacja: y=………..

Y 1 step Y^J

dY

Błąd linearyzacji – ilustracja

Exact

X⁰ X X

Y⁰

Y^exact

dX F

Y^exact – rozw. dokładne; Y^J – rozw. przybliżone (metoda Johansena).

Źródło: dokumentacja modelu MINIMAL.

Y 1 step

3 step Exact Y¹

Y³ Y^exact Y²

Y^J

Jak zmniejszyć błąd linearyzacji? (1)

Exact

X⁰ X¹ X² X³ X

Y⁰

Y Y^exact

X^F

Podział zmiany X na kilka mniejszych kroków (dla mniejszych kroków błędy linearyzacji są proporcjonalnie mniejsze) – metoda Eulera (wielokrokowa – multistep).

Źródło: dokumentacja modelu MINIMAL.

Jak zmniejszyć błąd linearyzacji? (2)

• Dzieląc zmiany X na nieskończoną (a w praktyce – bardzo dużą) liczbę kroków otrzymalibyśmy dokładne rozwiązanie…

• …ale takie podejście jest nieefektywne (relatywnie długi czas obliczeń)…

(relatywnie długi czas obliczeń)…

• …dlatego zaproponowano wykorzystanie ekstrapolacji.

Ekstrapolacja rozwiązań (1)

• Rozw. w 2 krokach – w każdym zwiększamy X o 100%

• Rozw. w 4 krokach – w każdym zwiększamy X o 41,42%

·

Metoda y Błąd

Johansena (1 krok) 150% 50 p.p.

• W tym przykładzie podwojenie liczby kroków zmniejsza błąd ok. dwukrotnie – więc np. dla 8 kroków y≈106% itd.

Źródło: dokumentacja modelu MINIMAL.

·

Eulera (2 kroki) 125% 25 p.p.

Eulera (4 kroki) 112,3% 12,3 p.p.

Eulera (∞ kroków) 100% 0

Ekstrapolacja rozwiązań (2)

• Faktycznie GEMPACK dzieli zmianę X nieco inaczej, tak że otrzymamy:

·

Metoda y Błąd

Johansena (1 krok) 150% 50 p.p.

Eulera (2 kroki) ^· 127,5% 27,5 p.p.

Eulera (2 kroki) 127,5% 27,5 p.p.

Eulera (4 kroki) 114,16% 14,16 p.p.

Eulera (∞ kroków) 100% 0

Rozw. wielokrokowe a współczynniki (1)

• W poprzednim przykładzie

zlinearyzowane równanie nie zawierało współczynników.

• Inny przykład: Y=X²+1

( ^{Y = X} )

• Po linearyzacji: y=2·X²/Y·x

• Lub y=C·x gdzie C=2·X²/Y

• W powyższym równaniu występuje współczynnik C.

Rozw. wielokrokowe a współczynniki (2)

• Zał. rozw. początkowe: X=1, Y=2.

• Symulujemy zmianę X=1→X=4, dzieląc ją na 2 kroki: X=1→X=2→X=4.

• W punkcie X=1 współczynnik C=...

• W punkcie X=1 współczynnik C=...

• Ale w punkcie X=2 współczynnik C=...

• Zatem w symulacji wielokrokowej (inaczej niż w 1-krokowej) współczynniki nie są

stałe i powinny być aktualizowane z każdym krokiem symulacji.

Rozw. wielokrokowe a współczynniki (3)

• W kodzie modelu (TABLO) do aktualizacji współczynników służy polecenie Update.

Rodzaje Update

• Jeśli w modelu jest zmienna p_x

wyrażająca procentowy przyrost X:

Update X = p_x;

• Jeśli X=X₁·X₂·X₃:

• Jeśli X=X₁·X₂·X₃:

Update X = p_x₁*p_x₂*p_x₃;

• W pozostałych przypadkach potrzebna formuła na zwykły przyrost (krańcowy) X.

Update (change) X = ...;