Je»eli równanie nierozwi¡zywalne wzgl¦dem pochodnej mo»na przeksztaªci¢ do postaci

Równanie rz¦du pierwszego nierozwi¡zywalne wzgl¦dem pochodnych

Tutaj b¦dziemy rozwa»a¢ równanie postaci ogólnej F (x, y, y ⁰ ) = 0,

które jest nierozwi¡zywalne wzgl¦dem pochodnej tzn. nie mo»na go przeksztaªci¢ do postaci y ⁰ = f (x, y). Przedstawimy cztery sposoby rozwi¡zywania takich równa«.

a) równanie typu y = f(x, y ⁰ )

Je»eli równanie nierozwi¡zywalne wzgl¦dem pochodnej mo»na przeksztaªci¢ do postaci

y = f (x, y ⁰ ) (1)

tzn. równania rozwi¡zywalnego wzgl¦dem szukanej funkcji wówczas wprowadzamy parametru p : p = y ⁰ tzn. p = dy

dx ⇒ dy = p dx.

Wtedy z (1) mamy

y = f (x, p). (2)

Liczymy ró»niczk¦ zupeªn¡:

dy = ∂f

∂x dx + ∂f

∂p dp, a nast¦pnie korzystaj¡c z dy = p dx, dostajemy

pdx = ∂f

∂x dx + ∂f

∂p dp.

Dziel¡c obustronnie to równanie przez dx i przyjmuj¡c w nim x jako zmienn¡ niezale»na otrzymu- jemy:

p = ∂f

∂x + ∂f

∂p p ⁰ .

Wówczas je»eli uda si¦ znale¹¢ rozwi¡zanie ogólne tego równania w postaci p = φ(x, c) to pod- stawiaj¡c otrzyman¡ warto±¢ p do (2) otrzymamy rozwi¡zanie ogólne rozpatrywanego równania w formie:

y = f (x, ϕ(x, c)).

Natomiast je»eli nie uda si¦ znale¹¢ rozwi¡zanie ogólne tego równania w postaci p = ϕ(x, c), na- tomiast otrzymamy x = ψ(p, c), wówczas otrzymamy rozwi¡zanie ogólne rozpatrywanego równania w formie parametrycznej:

( y = f (x, p), x = ψ(p, c).

b) równanie typu x = f(y, y ⁰ )

Natomiast je»eli równanie nierozwi¡zywalne wzgl¦dem pochodnej mo»na przeksztaªci¢ do postaci

x = f (y, y ⁰ ) (3)

tzn. równania rozwi¡zywalnego wzgl¦dem zmiennej niezale»nej to równie» wprowadzamy parametr p :

p = y ⁰ tzn. p = dy

dx ⇒ dx = 1

p dy.

Wówczas z (3) mamy

x = f (y, p). (4)

Liczymy ró»niczk¦ zupeªn¡:

dx = ∂f

∂y dy + ∂f

∂p dp, a nast¦pnie korzystaj¡c z dx = ¹ _p dy, dostajemy

1

p dy = ∂f

∂y dy + ∂f

∂p dp.

Dziel¡c obustronnie to równanie przez dy otrzymujemy:

1 p = ∂f

∂y + ∂f

∂p p ⁰ .

Wówczas je»eli znajdziemy rozwi¡zanie ogólne tego równania w postaci p = ϕ(y, c) to podstawiaj¡c otrzyman¡ warto±¢ p do (4) otrzymamy rozwi¡zanie ogólne rozpatrywanego równania w formie:

x = f (x, ϕ(x, c)).

Natomiast je»eli nie znajdziemy rozwi¡zanie ogólne tego równania w postaci p = ϕ(y, c), nato- miast otrzymamy y = ψ(p, c), wówczas rozwi¡zanie ogólne rozpatrywanego równania b¦dzie miaªo form¦ parametryczn¡:

( x = f (y, p), y = ψ(p, c).

c) równanie Lagrange'a

Równaniem Lagrange'a nazywamy równanie postaci

y = f (y ⁰ )x + g(y ⁰ ), (5)

gdzie funkcje f i g s¡ klasy C ¹ w pewnym przedziale oraz f(y ⁰ ) 6≡ y ⁰ (w przypadku gdy f(y ⁰ ) = y ⁰ patrz równanie Clairaunt'a). Jest to jak widzimy równanie liniowe wzgl¦dem zmiennej x o wspóªczynnikach zale»nych od y ⁰ .

W celu rozwi¡zania równania (5) równie» wprowadzamy parametr p :

y ⁰ = p ⇒ dy = pdx. (6)

Wówczas z (5) mamy

y = f (p)x + g(p). (7)

Liczymy ró»niczk¦ zupeªn¡:

dy = f ⁰ (p)xdp + f (p)dx + g ⁰ (p)dp.

Po u»yciu dy = pdx, dostajemy

pdx = f ⁰ (p)xdp + f (p)dx + g ⁰ (p)dp lub równowa»nie

p − f (p)
dx = f ⁰ (p)x + g ⁰ (p)
dp. (8)

Poniewa» zaªo»yli±my, »e y ⁰ 6≡ f (y ⁰ ) to p 6≡ f(p), wi¦c dziel¡c obustronnie równanie (8) przez p − f (p)
dp otrzymujemy:

x ⁰ − f ⁰ (p)

p − f (p) x = g ⁰ (p) p − f (p) . Dostali±my zatem równanie liniowe wzgl¦dem x.

d) równanie Clairaunta

Je»eli w równaniu Lagrange'a y ⁰ = f (y ⁰ ) wówczas otrzymujemy równanie postaci

y = y ⁰ x + g(y ⁰ ), (9)

jest to tzw. równanie Clairaunta.

Je»eli g(y ⁰ ) ≡ y ⁰ , to stosujemy metod¦ rozdzielania zmiennych. Natomiast je»eli g(y ⁰ ) 6≡ y ⁰ , to wprowadzamy parametr p tak jak w (6). Wówczas

y = px + g(p) ⇒ dy = pdx + xdp + g ⁰ (p)dp ⇒ pdx = pdx + xdp + g ⁰ (p)dp.

St¡d

(x + g ⁰ (p)) dp = 0.

Zatem

dp = 0 lub x + g ⁰ (p) = 0.

Je»eli dp = 0, to p = C i wstawiaj¡c do y = px + g(p) mamy rozwi¡zanie ogólne równania Clairaunt'a w formie:

y = Cx + g(C).

Natomiast je»eli x = −g ⁰ (p), to otrzymujemy rozwi¡zanie osobliwe:

( x = −g ⁰ (p);

y = −pg ⁰ (p) + g(p). (10)

Przykªad 1. Rozwi¡» równanie:

5y + y ⁰² = x(x + y ⁰ ). (11)

Rozwi¡zanie: Jest to równanie typu y = f(x, y ⁰ ) : y = − 1

5 y ⁰² + 1

5 x(x + y ⁰ ).

Zatem wprowadzamy parametr p : y ⁰ = p : y = − 1

5 p ² + 1

5 x(x + p).

Liczymy ró»niczk¦:

dy = − 2

5 pdp + 2

5 xdx + 1

5 pdx + 1 5 xdp.

Poniewa» dy = pdx, mamy

pdx = − 2

5 pdp + 2

5 xdx + 1

5 pdx + 1

5 xdp

lub równowa»nie:

2  2 5 p − 1

5 x



dx = −  2 5 p − 1

5 x



dp. (12)

Z powy»szego mamy, dwa przypadki x 6= 2p lub x = 2p.

Je»eli x 6= 2p, to dziel¡c (12) przez ( ² ₅ p − ¹ ₅ x) mamy

2dx = −dp ⇒ 2x = −p + c.

Wówczas rozwi¡zanie równania (11) w rozwa»anym przypadku mo»emy zapisa¢ albo w postaci parametrycznej:

( x = − ¹ ₂ p + c;

y = − ¹ ₅ p ² + ¹ ₅ x(x + p),

albo wyznaczaj¡c p z pierwszego równania: p = −2x + c i wstawiaj¡c do drugiego rozwi¡zanie ogólne w postaci jawnej:

y(x, c) = − 1

5 (−2x + c) ² + 1

5 x(−x + c) = −x ² + cx − 1 5 c ² .

Natomiast je»eli x = 2p, wówczas rozwi¡zanie równania (11) mo»emy zapisa¢ albo w postaci parametrycznej:

( x = −2p;

y = − ¹ ₅ p ² + ¹ ₅ x(x + p),

albo korzystaj¡c z p = − ¹ ₂ x i wstawiaj¡c do drugiego rozwi¡zanie szczególne w postaci jawnej:

y(x) = − 1 5



− 1 2 x

 2

+ 1 5 x · 1

2 x = 1 20 x ² . Przykªad 2. Rozwi¡» równanie:

yy ⁰³ + x = 1. (13)

Rozwi¡zanie: Tym razem mo»e to by¢ równanie typu x = f(y, y ⁰ ) : x = 1 − yy ⁰³ .

Wprowadzamy parametr p : y ⁰ = p :

x = 1 − yp ³ . Liczymy ró»niczk¦:

dx = −p ³ dy − 3yp ² dp.

Poniewa» dx = ¹ _p dy, mamy

1

p dy = −p ³ dy − 3yp ² dp lub równowa»nie:

(p ⁴ + 1)dy = −3yp ³ dp ⇒ 1

y dy = −3p ³

p ⁴ + 1 dp, (14)

o ile y 6= 0. Jednocze±nie z równania (13) widzimy, »e y ≡ 0 nie jest jego rozwi¡zaniem. Dalej Z 1

y dy =

Z −3p ³

p ⁴ + 1 dp ⇒ ln |y| = − 3

4 ln(p ⁴ + 1) + ln |C|,

gdzie C 6= 0. Delogarytmuj¡c

y(x, C) = C (p ⁴ + 1)

. Ostatecznie mamy rozwi¡zanie w postaci parametrycznej:

(x(y, p) = 1 − yp ³ ; y(x, C) = ^C

(p

+1)

. Przykªad 3. Rozwi¡» równanie:

y = 2xy ⁰ + ln y ⁰ , y ⁰ > 0. (15)

Rozwi¡zanie: Jest to równanie postaci (5), a wi¦c Lagrange'a. Wprowadzamy parametr p : y ⁰ = p : y = 2xp + ln p.

Liczymy ró»niczk¦:

dy = 2xdp + 2pdx + 1 p dp.

Poniewa» dy = pdx, mamy

pdx = 2xdp + 2pdx + 1 p dp.

Dziel¡c przez dp otrzymujemy równanie liniowe wzgl¦dem x : px ⁰ + 2x = − 1

p . (16)

Rozwi¡zujemy najpierw równanie jednorodne:

px ⁰ + 2x = 0 ⇒ pdx = −2xdp ⇒

Z 1

x dx = −2 Z 1

p dp ⇒ ln |x| = −2 ln p + ln |C|, gdzie C 6= 0. Delogarytmuj¡c dostajemy caªk¦ ogóln¡ równania jednorodnego:

x 0 (p) = C

p ² , ∀ _C∈R ,

gdy» x ≡ 0 jest równie» rozwi¡zaniem. Nast¦pnie wyznaczamy caªk¦ szczególn¡ równania niejed- norodnego metod¡ wariacji staªej:

e x(p) = C(p)

p ² ⇒ x e ⁰ (p) = C ⁰ (p)

p ² − 2C(p) p ³ . St¡d wstawiaj¡c e x(p) oraz e x ⁰ (p) do równania (16) mamy

C ⁰ (p)

p − 2C(p)

p ² + 2C(p)

p ² = − 1

p ⇒ C ⁰ (p) = −1 ⇒ C(p) = −p.

Zatem x(p) = − e ¹ _p , a wi¦c na mocy superpozycji caªka ogólna równania (16) ma form¦:

x(p) = C p ² − 1

p . Ostatecznie mamy rozwi¡zanie w postaci parametrycznej:

( x(p, C) = _p ^C

− ¹ _p ;

y(x, p) = 2xp + ln p. ∀ _p>0 .

Przykªad 4. Rozwi¡» równanie:

y = xy ⁰ + p

1 + y ⁰² . (17)

Rozwi¡zanie: Jest to równanie postaci (9), a wi¦c Clairauta. Wprowadzamy parametr p : y ⁰ = p : y = xp + p

1 + p ² . Liczymy ró»niczk¦:

dy = xdp + pdx + p

p1 + p ² dp.

Poniewa» dy = pdx, mamy

pdx = xdp + pdx + p

p1 + p ² dp ⇒ x + p p1 + p ²

!

dp = 0.

Mamy zatem dwa przypadki x = − √ ^p

1+p

lub dp = 0. Je»eli x = − √ ^p

1+p

, to dostajemy rozwi¡zanie osobliwe w postaci parametrycznej:

(x(p) = − √ ^p

1+p

;

y(x, p) = xp + p1 + p ² .

Posta¢ t¡ po podniesieniu tych równa« do kwadratu oraz korzystaj¡c m.in. ze wzorów skróconego mno»enia mo»na doprowadzi¢ do równania okr¦gu o ±rodku w punkcie (0, 0) i promieniu 1:

x ² + y ² = 1.

Je»eli dp = 0, to p = C i wtedy mamy rozwi¡zanie ogólne:

y(x, C) = Cx + √

1 + C ² .