Elementarne reguły linearyzacji

Elementarne reguły linearyzacji

•

•

•

•

•

•

•

lub

• Z

X

Y = ⋅ y

=

+

Z X

Y = / y

=

−

Z X

Y

= +

z S

x S

y = _X ⋅ + _Z ⋅ Z

X

Y = − Y ⋅ y = X ⋅ x − Z ⋅ z

•

• ( - stała)

• ( - stała)

•

•

• Z

X

Y = − Y ⋅ y = X ⋅ x − Z ⋅ z

X α

Y =

α

X

Y =

α

α

=

x y =

α

Wolumeny, ceny, wartości

• X – wolumen („ilość”, wielkość realna, wartość wyrażona w cenach stałych).

• P – cena

• V – wartość (w – dla procentowych przyrostów)

• V – wartość (w – dla procentowych przyrostów)

• Tożsamość „na poziomach”: V = X⋅P

• Tożsamość „na procentowych przyrostach”: w = x+p

• W modelu CGE zmiany wartości (np. popytu, produkcji, nakładów pracy) dekomponowane są na zmianę

wolumenu i ceny.

Przykład 1

• Zmiana kosztów pracy:

w1lab(i) = x1lab(i) + p1lab

• Z powyższego równania wynika, że np. jeśli

zatrudnienie w sektorze „AgricMining” wzrasta o 1%, a płaca w gospodarce o 2%, wówczas

zatrudnienie w sektorze „AgricMining” wzrasta o 1%, a płaca w gospodarce o 2%, wówczas

koszty pracy w sektorze „AgricMining” wzrastają (w przybliżeniu) o 3%.

• UWAGA – w modelu MINIMAL w większości pomijane są zmienne wyrażające wartości (bo pod względem ekonomicznym wolumeny i ceny

Zmiany cen i wolumenów dla agregatów

• Przykłady zmian cen kategorii zagregowanych:

– ceny dóbr konsumpcyjnych wzrosły średnio o 3%, – ceny (produktów wchodzących w skład) eksportu

spadły o 5%,

– rentowność kapitału w gospodarce zwiększyła się przeciętnie o 1% itp.

przeciętnie o 1% itp.

• Przykłady zmian wolumenów kategorii zagregowanych:

– całkowita realna konsumpcja wzrasta o 4%, – realny PKB zwiększył się o 2%,

– wolumen inwestycji (w całej gospodarce) zmniejszył się o 7% itp.

Wyznaczanie agregatowych zmian cen i wolumenów

i i

i P X

P

X

⋅ = ∑ ⋅

) (

)

(

i

i P x p

X p

x P

X

⋅ ⋅ + = ∑ ⋅ ⋅ + +

⋅

= +

⋅ ^{( )} ∑ ⁽

⁾

i x p

V p

x

V

⋅ + = ∑ ⋅ +

i i

i x V

x

V

⋅ = ∑ ⋅

i i p V

p

V

⋅ = ∑ ⋅

i i

i x S

x

= ∑ ⋅

i i p S

p

= ∑ ⋅

lub

Przykład 2

• W „koszyku” dóbr konsumpcyjnych mamy 5 jabłek po 2 zł i 3 pomarańcze po 5 zł:

a) Zakładając, że ceny są stałe, ilość jabłek

wzrasta o 1 i ilość pomarańczy wzrasta o 1, o ile procent zmienia się łączna realna

o ile procent zmienia się łączna realna

konsumpcja owoców (odpowiedz na podstawie równania zlinearyzowanego)?

b) Zakładając, że ilości są stałe, cena jabłek

wzrasta o 3%, a cena pomarańczy zmniejsza się o 4%, o ile procent zmienia się cena

koszyka konsumpcji (in.: o ile średnio zmieniają się ceny owoców)?

Przykład 3

• Dane 2005 (nominalne): konsumpcja 100, akumulacja 30, eksport 50, import 60.

• Dane 2010 (nominalne): konsumpcja 130, akumulacja 45, eksport 50, import 70.

akumulacja 45, eksport 50, import 70.

• Zmiany wolumenu w okresie 2005-2010 – konsumpcji 20%; akumulacji 50%; eksportu 10%; importu: 15%.

• O ile procent zmienia się realny PKB?

CGE vs. I-O

W modelu MINIMAL m.in.:

• mechanizm substytucji dóbr krajowych i importowanych,

• mechanizm substytucji kapitału i pracy,

• konsumpcja gospodarstw domowych zależna od dochodów i cen,

dochodów i cen,

• eksport zależny od relacji cen krajowych/światowych,

• stawki podatków w postaci zwykłych (tj. nie procentowych) przyrostów,

• więcej zmiennych zagregowanych,

• więcej współczynników, reprezentujących wielkości użyteczne w interpretacjach.

Model 1 Model 2 Model 3 MINIMAL Model 1

(IO)

Model 2 (IO)

Model 3 (CGE)

MINIMAL (CGE)

Model 3 vs. 2

Model 2

• Powiązania międzygałęziowe

– Produkcja – Ceny

Model 3

• Powiązania międzygałęziowe

– Produkcja – Ceny

• Popyt finalny egzogeniczny

• Popyt na kapitał i pracę proporcjonalny do produkcji

• Nieograniczona podaż

• Konsumpcja zależna od cen i dochodu

• Substytucja kapitału i pracy pod wpływem zmian cen

• Ograniczone zasoby kapitału w krótkim okresie =>

ograniczona podaż

Dane

USE 1 Wyroby 2 Uslugi 3 Konsumpcja 4 Inwestycje Total

1 Wyroby 1 6 1.5 1.5 10

2 Uslugi 4 2 6.5 1.5 14

FACTOR 1 Wyroby 2 Uslugi

1 Praca 2 4

1 Praca 2 4

2 Kapital 3 2

Wzrost popytu inwestycyjnego na usługi o 20%. Wyniki makro

Description Macros io cge

Laczne naklady pracy (zatrudnienie) employ 2.86 0.31 Deflator (indeks cen) PKB od strony popytu p0gdpexp 0.00 0.00

Srednia rentownosc kapitalu p1captot 0.00 -0.02

Stawka placy p1lab 0.00 0.02

Srednie ceny inwestycje p2tot 10.00 10.01

Srednie ceny towarow i uslug konsumpcyjnych p3tot 0.00 0.02 Srednie ceny towarow i uslug konsumpcyjnych p3tot 0.00 0.02

Realna placa realwage 0.00 0.00

Nominalny PKB od strony popytu w0gdpexp 2.73 0.17

Nominalny PKB od strony dochodow w0gdpinc 2.73 0.17

Konsumpcja nominalna w3tot 0.00 -3.50

Realny PKB od strony popytu x0gdpexp 2.73 0.17

Naklady kapitalu x1captot 2.57 0.00

Inwestycje x2tot 10.00 10.01

Konsumpcja realna x3tot 0.00 -3.52

Wyniki makro

• Wzrost PKB [io] 16x większy niż [cge]

• Powodem brak ograniczeń podażowych [io], nakł. K i L rosną stosownie do popytu

• W [cge] nakłady K stałe, więc wzrostowi I

• W [cge] nakłady K stałe, więc wzrostowi I towarzyszy spadek C

• Stała realna płaca dodatkowo ogranicza w [cge] wzrost nakładów pracy (i produkcji);

popyt na pracę wzrósłby przy niższej płacy

Dekompozycja PKB

Wyniki – popyt, produkcja

io

x 1 Wyroby 2 Uslugi 3 Konsumpcja4 Inwestycje

1 Wyroby 2.14 3.21 0 0

2 Uslugi 2.14 3.21 0 20

cge cge

x 1 Wyroby 2 Uslugi 3 Konsumpcja4 Inwestycje

1 Wyroby -0.23 0.50 -3.35 0

2 Uslugi -0.23 0.50 -3.55 20

x1tot io cge

1 Wyroby 2.14 -0.23

Dekompozycja popytu

S 1 Wyroby 2 Uslugi 3 Konsumpcja 4 Inwestycje Total

1 Wyroby 0.10 0.60 0.15 0.15 1

2 Uslugi 0.29 0.14 0.46 0.11 1

Konsumpcja

(all,i,IND) x(i,"Konsumpcja") = w3tot - p(i);

Wyniki – praca, kapitał, produkcja

x1lab io cge x1cap io cge

1 Wyroby 2.14 -0.56 1 Wyroby 2.14 0

2 Uslugi 3.21 0.75 2 Uslugi 3.21 0

x1prim io cge x1tot io cge

1 Wyroby 2.14 -0.23 1 Wyroby 2.14 -0.23

2 Uslugi 3.21 0.50 2 Uslugi 3.21 0.50

Praca, kapitał

skąd można wyprowadzić:

(all,i,IND) x1prim(i) = x1tot(i);

(all,i,IND) x1lab(i) = x1prim(i) + SCAP(i)*(p1cap(i) - p1lab);

(all,i,IND) x1cap(i) = x1prim(i) + SLAB(i)*(p1lab - p1cap(i));

skąd można wyprowadzić:

a przy x1cap(i)=0 [krótki okres]:

x1prim(i) = SLAB(i)*x1lab(i) + SCAP(i)*x1cap(i)

x1prim(i) = SLAB(i)*x1lab(i)

Mechanizmy ujęte w modelu CGE – przykład wzrostu popytu

cena

S

D

S

D

gałąź A cena gałąź B

produkcja

D₀

produkcja

D₁

D₀ D₁

• Na skutek szoku zmieniają się poziomy produkcji i cen.

• Efekty zależą od elastyczności podaży / popytu.

Wyniki – ceny

p io cge

1 Wyroby 0 -0.15

2 Uslugi 0 0.06

p1cap io cge

1 Wyroby 0 -0.55

2 Uslugi 0 0.77

Dekompozycja cen

S-koszty 1 Wyroby 2 Uslugi

1 Wyroby 0.10 0.43

2 Uslugi 0.40 0.14

1 Praca 0.20 0.29

2 Kapital 0.30 0.14

Total 1 1

Total 1 1

MINIMAL vs. Model 3

W modelu MINIMAL dodatkowo:

• Substytucja dóbr krajowych i importowanych (Armington)

• Substytucja kapitału i pracy bazująca na funkcji CES

• Eksport zależny od relacji cen krajowych/światowych,

• Stawki podatków (w postaci zwykłych, tj. nie procentowych, przyrostów)

Funkcja produkcji CES

• CES – constant elasticity of substitution.

• Można sprawdzić, że tego typu funkcja

[ ^δ

^δ

]

β ⋅ ⋅

+ ( 1 − ) ⋅

= K L

Q

• Można sprawdzić, że tego typu funkcja

charakteryzuje się stałą elastycznością

substytucji σ = 1 /( 1 + ρ )

Funkcja produkcji CES – szczególne przypadki

• Im większa wartość σ tym łatwiejsza zastępowalność czynników produkcji.

• σ = 0: funkcja produkcji Leontiefa.

• σ = 0: funkcja produkcji Leontiefa.

• σ = 1: funkcja produkcji Cobba-Douglasa.

• σ →∞: doskonale substytucyjne czynniki

Minimalizacja kosztów K i L

• Problem decyzyjny – minimalizacja kosztów przy danym poziomie produkcji i technologii opisanej funkcją CES:

L

K L P

P

K

⋅ + ⋅ min

przy warunku

• Produkcja i ceny czynników są ustalone

[ ^δ

^δ

]

β ⋅ ⋅

+ ( 1 − ) ⋅

=

Y

L L K

K K

⋅

+

⋅

min

Rozwiązanie problemu minimalizacji kosztów K i L: równania dla % przyrostów

• Rozwiązanie problemu minimalizacji kosztów – równania popytu na K i L:

(

)

y

k

= − σ ⋅

−

(

)

y

l

= − σ ⋅

−

• Interpretacja elastyczności substytucji – np. jeśli stawka płacy (p_L) wzrośnie o 1% w stosunku do

średniej ceny pierwotnych czynników produkcji (p), to popyt na pracę spadnie o

.

(

)

L L K

K p S p

S

p

= +

σ %

Substytucja K/L – przykład liczbowy

• Załóżmy np. y=7, p_K=0, p_L=5, S_K=0,4; S_L=0,6;

elastyczność substytucji=0,5.

( ^{0 3} ) ^{7 1 , 5 8 , 5}

5 , 0

7 − ⋅ − = + =

=

3 5

6 , 0 0

4 ,

0 ⋅ + ⋅ =

=

• wzrost nakładów czynników spowodowany wzrostem produkcji: 7%; efekt substytucyjny : +1,5% / –1%.

( ^{0 3} ) ^{7 1 , 5 8 , 5}

5 , 0 7

( ^{5 3} ) ^{7 1 6}

5 , 0

7 − ⋅ − = − =

=

Substytucja K/L – inna postać

• Odejmując stronami równania:

otrzymujemy:

(

)

y

k

= − σ ⋅

−

(

)

y

l

= − σ ⋅

−

• Interpretacja: jeśli relacja cen PL/PK wzrośnie o 1%, to relacja nakładów K/L wzrośnie o .

σ %

(

)

l

k

− = σ ⋅ −

Elastyczność substytucji

) /

( przyrost wzgledny

) /

( przyrost wzgledny

K L

P P

L

≡ K

σ

L K / ) (

d

K L

K L

P P

P P

L K

L K

/

) /

( d

/

) /

( d

σ ≡

Zmiana produkcji jako ważona zmiana K i L

• Z rozwiązania problemu minimalizacji kosztów przy technologii opisywanej za pomocą funkcji CES można również wyprowadzić relację:

l S k

S

y

=

+

• Przykład liczbowy: k=0, l=10, S_K=0,4; S_L=0,6 => y=6

• Przykład ten pokazuje, że w krótkim okresie (tj. przy

stałych zasobach kapitału) jednostkowe koszty produkcji rosną wraz ze wzrostem produkcji.

! Excerpt 5 of TABLO input file: !

! Demands for capital and labour ! Variable

(all,i,IND) x1prim(i) # Industry demand for primary-factor composite #;

(all,i,IND) p1prim(i) # Price of primary factor composite #;

(all,i,IND) x1lab(i) # Employment by industry #;

p1lab # Economy-wide wage rate #;

(all,i,IND) x1cap(i) # Current capital stock #;

(all,i,IND) p1cap(i) # Rental price of capital #;

Coefficient (parameter)

(all,i,IND) SIGMA1PRIM(i) # CES substitution, primary factors #;

(all,i,IND) SIGMA1PRIM(i) # CES substitution, primary factors #;

Read SIGMA1PRIM from file BASEDATA header "P028";

Equation E_x1lab

(all,i,IND) x1lab(i) = x1prim(i) - SIGMA1PRIM(i)*[p1lab-p1prim(i)];

Equation E_x1cap

(all,i,IND) x1cap(i) = x1prim(i) - SIGMA1PRIM(i)*[p1cap(i)-p1prim(i)];

Equation E_p1prim

(all,i,IND) V1PRIM(i)*p1prim(i)

= FACTOR("Labour",i)*p1lab + FACTOR("Capital",i)*p1cap(i);

! Excerpt 6 of TABLO input file: !

! Demands for composite inputs to production ! Variable

(all,i,IND) x1tot(i) # Industry output #;

(all,i,IND) a1prim(i) # All primary-factor augmenting technical change #;

(all,i,IND) p1tot(i) # Unit cost of production #;

Equation E_x1 # demand for commodity composites # (all,c,COM)(all,i,IND) x_s(c,i)= x1tot(i);

(all,c,COM)(all,i,IND) x_s(c,i)= x1tot(i);

Equation E_x1prim # demand for primary-factor composites # (all,i,IND) x1prim(i) = a1prim(i) + x1tot(i);

Equation E_p1tot # cost of production = cost of all inputs # (all,i,IND) V1TOT(i)*[p1tot(i)+ x1tot(i)] =

sum{c,COM,sum{s,SRC, USE(c,s,i)*[p(c,s) + x(c,s,i)]}}

+ FACTOR("Labour",i)*[p1lab + x1lab(i)]

+ FACTOR("Capital",i)*[p1cap(i)+ x1cap(i)];

Import – specyfikacja Armingtona

• Dane empiryczne wskazują, że niemal w każdej grupie produktów współwystępuje produkcja

krajowa i import.

• Odzwierciedlenie w modelu: założenie, że

• Odzwierciedlenie w modelu: założenie, że produkty krajowe i importowane nie są

doskonałymi substytutami (model Armingtona).

• Zakres możliwej substytucji opisywany za pomocą funkcji CES. Funkcja CES jako tzw.

„agregator”. Im wyższa wartość σ, tym bliższymi substytutami są produkty krajowe i z importu.

Substytucja D/M – ujęcie formalne

• Oznaczenia: D – krajowy, M – importowany.

• Problem decyzyjny – minimalizacja kosztów zakupu „złożonego” produktu (ang. composite, bundle) przy możliwościach substytucji

bundle) przy możliwościach substytucji opisywanych za pomocą funkcji CES:

przy warunku

• Popyt na „złożony” produkt (X) i ceny produktów

[ ^δ

^δ

]

β ⋅ ⋅

+ ( 1 − ) ⋅

=

X

M M D

D D

⋅

+

⋅

min

Rozwiązanie problemu minimalizacji

kosztów D i M: równania dla % przyrostów

• Rozwiązanie problemu minimalizacji kosztów – równania popytu na dobra D i M:

(

)

x

d

= − σ ⋅

−

(

)

x

m

= − σ ⋅

−

• W modelu MINIMAL specyfikacja Armingtona dotyczy nie tylko popytu na czynniki produkcji (materiały), ale każdego popytu na dobra, z wyjątkiem popytu zagranicy

.

(

)

M M

D

D p S p

S

p

= +

Funkcja produkcji w modelu MINIMAL

! Excerpt 4 of TABLO input file: !

! Import/Domestic sourcing decision for all non-export users!

Variable

(all,c,COM)(all,s,SRC) p(c,s) # User price of good c, source s #;

(all,c,COM)(all,u,IMPUSER) p_s(c,u) # User price of composite good c #;

(all,c,COM)(all,u,IMPUSER) x_s(c,u) # Use of composite good c #;

Coefficient (parameter)

(all,c,COM) SIGMA(c) # elasticity of substitution: domestic/imported #;

(all,c,COM)(all,s,SRC)(all,u,IMPUSER) SRCSHR(c,s,u) # imp/dom shares #;

(all,c,COM)(all,s,SRC)(all,u,IMPUSER) SRCSHR(c,s,u) # imp/dom shares #;

Read SIGMA from file BASEDATA header "ARM";

Formula (all,c,COM)(all,s,SRC)(all,u,IMPUSER) SRCSHR(c,s,u) = USE(c,s,u)/USE_S(c,u);

Equation E_x

(all,c,COM)(all,s,SRC)(all,u,IMPUSER)

x(c,s,u) = x_s(c,u) - SIGMA(c)*[p(c,s) - p_s(c,u)];

Equation E_p_s

(all,c,COM)(all,u,IMPUSER) p_s(c,u) = sum{s,SRC, SRCSHR(c,s,u)*p(c,s)};

! Excerpt 7 of TABLO input file: !

! Household demands ! Variable

p3tot # Consumer price index #;

x3tot # Real household consumption #;

w3tot # Nominal total household consumption #;

Equation E_x3

(all,c,COM) x_s(c,"Households") + p_s(c,"Households") = w3tot;

Equation E_x3tot Equation E_x3tot

USE_CS("Households")*x3tot

= sum{c,COM, USE_S(c,"Households")*x_s(c,"Households")};

Equation E_p3tot

USE_CS("Households")*p3tot

= sum{c,COM, USE_S(c,"Households")*p_s(c,"Households")};

Mechanizmy ujęte w modelu CGE – przykład wzrostu popytu

cena

S

D

S

D

gałąź A cena gałąź B

produkcja

D₀

produkcja

D₁

D₀ D₁

• Na skutek szoku zmieniają się poziomy produkcji i cen.

• Efekty zależą od elastyczności podaży / popytu.

Mechanizmy ujęte w modelu CGE – przykład wzrostu podatku

cena

S

gałąź A cena gałąź B

t₀ S

produkcja produkcja

D t₀

t₁ t₁

D

Zależność elastyczności podaży i popytu od danych i parametrów modelu

• Elastyczność podaży (krótki okres):

– tym większa, im niższy udział K w wartości dodanej, – tym większa, im wyższa elastyczność substytucji K/L.

• Elastyczność popytu:

• Elastyczność popytu:

– tym większa, im wyższy udział elastycznych składników popytu (np. eksportu) w całkowitym popycie.

– tym większa, im wyższe elastyczności substytucji D/M (elastyczności Armingtona).