Dynamika wybranego mechanizmu dźwigowego z uwzględnieniem tarcia w węzłach

(1)

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 1989

Seria: MECHANIKA z. 91 Nr kol. 1026

XIII MIĘDZYNARODOWE KOLOKWIUM

"•"■•DELE W PROJEKTOWANIU I KONSTRUOWANIU MASZYN"

lith INTERNATIONAL CONFERENCE ON

"MODELS IN DESIGNING AND CONSTRUCTIONS OF MACHINES"

25-28.04 ZAKOPANE

Andrzej HARLECKI Iwona ADAMIEC—WÓJCIK

Instytut Mechaniczno-Konstrukcyjny

Politechnika Łcdzka Fi Iia w Bielsku-Białej

DYNAMIKA WYBRANEGO. MECHANIZMU DŹWIGNIOWEGO Z( UWZGLĘDNIENIEM TARCIA W WĘZŁACH

Streszczenie. W pracy omówiono sposób modelowania ruchu wybranego mechanizmu dźwigniowego przy uwzględnieniu podat

ności członów oraz tarcia w węzłach.

1 . Wprowadź en i e

Nowoczesna technika w coraz szerszym zakresie preferuje sto

sowanie konstrukcji o zminimalizowanym ciężarze. Wynikiem tej tendencji jest m.in. coraz powszechniejsze stosowanie mechaniz

mów z lżejszymi, podatnymi członami. Stad też powstała potrzeba opracowania modeli, uwzględniających podatność tych członów, nc. przy wykorzystaniu metody sztywnych bądź odkształcałnych elementów skończonych.

Tarcie w węzłach mechanizmów dźwigniowych może mieć znaczny wpływ na równomierność ruchu ich członów. Zagadnienie to może być bardzo istotne, jeśli się zważy, że analizowany mechanizm jest np. odpowiednikiem napędzanego przez siłownik manipula

tora robota, w przypadku którego konieczność zapewnienia odpo

wiedniej dokładności tzw. pozycjonowanie, stanowi zasadniczy problem.

(2)

72 A. Harlecki, I. Adamiec-W(5jcik

2.Przyjęty model mechanizmu dźwionioweoo.

W pracy rozważono prosty mechanizm dźwigniowy, którego człony zostały połączone sztywnymi węzłami obrotowymi (rys 1).

Mechanizm jest zbudowany z siłownika (podukład 1), napędzającego człon o dużej podatności (podukład 2) .

Uwzględniono możliwość wystąpienia tarcia we wszystkich węzłacb, przy czym rozważono zarówno fazę względnego ruchu członów, jak i -fazę lokalnej statycznej równowagi w węzłach, przy równoczesnym dopuszczeniu możliwości ruchu mechanizmu.

W przyjętym modelu nie rozważa się tłumienia, podatności węzłów ani luzu w węzłach, jednakże uproszczenia te mogą być stosunkowo łatwo wyeliminowane.

2.1. Podukład 1

Podukład ten jest zbudowany z dwu sztywnych el.ementów skończonych ( SES ) , połączonych elementem sprężystym ( ES ) o sprężystości wzdłużnej c, będącej sumaryczną sprężystością płynu siłownika tłoczonego przez pompę oraz tłoczyska. Jako in(

określono zmienną masę pierwszego SES, modelującego cylinder wraz z płynem. Zmienne jest również położenie jego środka masy, określone odległością r 0 - Drugi SES modeluje tłoczysko o niezmiennej w czasie masie m,,a> .

Jako współrzędne uogólnione, opisujące ruch siłownika, przyjęto:

u> a) „ . , , . ■. , ..

x ,y — współrzędne wybranego punktu siłownika w nieruchomym układzie Qxy,

ć - kąt na.chylenia osi siłownika do osi odciętych tego układu współrzędnych,

f - odległość środka masy SES, modelującego tłoczysko, od początku siłowni ka .

Wymuszenie kinetyczne ,realizowane przez siłownik, j>-st wyrażone w postaci funkcji czasu 1 , stanowiącej przemieszcze-

o nie jednego z końców ES.

2.2. Podukład 2

Podukład ten stanowi belka o określonej podatności . giętnej, podzielona ha dowolną liczbę n SES.

Jako współrzędne uogólnione układu SES, określone zgodnie z modelem Kawai Cli, zmodyfikowanym przez Wojciecha w pracy C23 przyjęto:

<2> iZ)

j

^ .

x ,y - współrzędne wybranego punktu wysięgnika w układzie 0;:y,

<2/ <2> '

p .. - kąty nachylenia poszczególnych SES do osi odciętych tego układu.

(3)

Dynamika wybranego mechanizmu... _____________ 73

Rys. i.MGdel mechanizmu dźwigniowego Fi Ci. 1.Model or link mechanism

(4)

74 A. Harlecki, I. Adamiec-Wójcik

3 . Równania ru c h u m e c h a n izmu

R ó w nania ruchu mec h a n i z m u można n a p isać po u p r z e d n i m S f o r  mu ł o w a n i u r ó w n a ń ruchu p o d u k ł a d ć w oraz o k r e ś l e n i u r ó w n a ń w i ę  zów 'geometrycznych. R ó w n a n i a ruchu podukłailów w y p r o w a d z o n o w o p a r c i u o r ó w nania L a g r a n g e ’a II rodzaju, co w y m a g a ł o w c z e  śn i ejszego o k r eślenia energii kinetycznej p o d u k ł a d ć w T, energii potencjalnej V ich o d k s z t a ł c e ń s p r ężystych oraz energii p o t e n -

®

cjalnej V sił ciężkości tych podukładćw.

p

Ró w n a n i a ruchu do w o l n e g o podukładu, którego r u c h o p i s u j e m współrzędnych, o p i s a n o wzor e m Lagrarige’a:

_d £ T óT + Q s = l m (1)

dt óg óq dq

s s s

Równania r ó ż n i c z k o w e ruchu, pod u k ł a d ć w p r z y j ę t o w f o r m i e macierzowej:

Ag + CBq = H + F (2j

Postać wektora F zal e ż y od stanu ruchu w p o s z c z e g ó l n y c h w ę z 

łach:

F — tt> R + ID M C77.)

^ A a ^

•g d z i e : tt) = [ D D ],

A ’

R = C R T 3 J

R = C R R R R R R 1?

^ ix l y 2x 2 y 3x 3 y

T - wektor m o m e n t ó w tarcia n i erozwiniętego,

T = [ T T T i j

^ 1 2 3 ’

M - wek t o r m o m e n t ó w tar c i a rozwiniętego, M = C M M M ]T.

1 2 3

3■ 1. .¿tan l o k a l n e j r ć w n c-w?.gi s t a t y c z n e j

W stanie tym w w ę z ł a c h istnieje tarcie n i erozwinięte, wobec czego: E> = 0 ._A

(5)

Dynamika wybranego mechanizmu. 75

S iadowe wektora R stanowią, .niezależnie od Stanu, ruchu

•V

w poszczególnych węzłach , dodatkowe ( oprócz współrzędnych uogólnionych) niewiadome. Aby je wyznaczyć, skorzystano z tżw.

równań więzów geometrycznych, po ich dwukrotnym zróżniczkowaniu:

¡DT q + ¡B q - O ( 4 )

Składowe wektora T stanowią, w przypadku lokalnej równo-

<v

wagi statycznej w węzłach, dodatkowe niewiadome. Ahy je wyznaczyófskorzystano z trzech dalszych równań więzów geome

trycznych, słusznych w fazie równowagi statycznej : ó = const

(2> .

„ C2> .

6 - + const..

Równania te po dwukrotnym zróżniczkowaniu przyjęły postać:

2> T O = O ( 6 )

*V

Wykorzystując równania. (2V, (4)' i ió>>1 sformułowano równa

nia ruchu mechanizmu :

• ż

a q + S q = H + F ¡ ( 7 ) '

3.2.Stan ruchu wzoledneoo we wszystkich węzłach

W stanie tym we wszystkich węzłach istnieje tarcie rozwi

nięte, zatem elementy wektora M można określić z zależności:

sięnó h •/R 2 + R z

1 1 x iy

M = s i g n p <2>h - / R z + R 2

2 1 2 2x 2 v (8)»

M = s i gn ( p 2)- 6) h V r

a K - ...c* ? + R 2

h 3 3 x 3 y

gdzie: h ,h ,h - promienie kół tarcia w węzłach, będące ra.in.

A A

nieaktualne zostają pominięte trzy ostatnie równania więzów.

(6)

76 A. Harlecki, I. Adamiec-Wój cik

W tym przypadku w niektórych węzłach mechanizm* występuje stan ruchu względriegp. a. w pozostałych stan lokalnej równowagi statycznej. Wówczas należy wyzerować odpowiednie kolumny w macierzach ID .i ID oraz pominąć odpowiednie równania z grupy

A

trzech ostatnich równań więzów geometrycznych.

LITERATURA

C13 Kawai T . : Some considerations of the finite element method. International Journal for Numerical Methods in Engineering. V o l .16, 1980.

121 Wojciech S . : Dynamika płaskich mechanizmów dźwigniowych z uwzględnieniem podatności ogniw oraz tarcia i luzów w węzłach.ZN Politechniki Łódzkiej, Rozprawy Naukowe Z.66, 1934.

DYNAMICS OF CHOICE LINK MECHANISM WITH REGARD TO FRICTION IN JOINTS

S u m m a r y

In the paper modelling of motion of choice link mechanism with flexible links and friction in joints is considered.

jlKKAMMKA HSSF'AKHOrG PWHAEHOrO KEXAHMSKfi C y"T£KZfcM 7PEHMS B Y3.JAX

P e 3 hj m e

S padoTe noescTaeaa-:-o MoaenxponsHne jjsaKeHwa xsdpaHHoro pwMS-doro Me*aH«3Mi c ym-HiseM nosarmiEDCTi; ssesef; k Tpsnws

b yz - - .

R e c e n z e n t : doc. d r inż. T. M ł y n a r s k i

W p ł y n ę ł o d o R e d a k c j i 2 0 . X I I . 1988 r.