Ocena ryzyka inwestycji portfelowych - miara omega

(1)

Ocena ryzyka inwestycji

portfelowych - miara omega

Studia i Prace Wydziału Nauk Ekonomicznych i Zarządzania 10, 493-504

(2)

STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 10

DOMINIK KRĘZOŁEK

OCENA RYZYKA INW ESTYCJI PORTFELO W Y CH - MIARA OM EGA1

Wprowadzenie

Inwestowanie związane jest z pojęciem niepewności, niewiedzy dotyczącej rzeczywistości oraz tego, jaki wpływ będzie ona miała na wartość podjętej in westycji w przyszłości. Wynika stąd, iż kluczową rolę w procesie inwestowania odgrywa ryzyko. Ciekawym wydaje się zestawienie, w ujęciu potocznym, tych dwóch terminów: inwestycja najczęściej rozumiana jest w kategoriach przy szłych korzyści, natomiast potoczne znaczenie ryzyka kojarzone jest ze stratą. Widać zatem pewien paradoks w definiowaniu tych dwóch pojęć. Niemniej jednak w aspekcie teorii finansów są one ściśle powiązane.

Inwestycje finansowe oraz działania inwestorów oparte są o dwie podsta wowe charakterystyki: oczekiwany dochód oraz ryzyko. W ujęciu statystycz nym pierwsza z nich reprezentowana jest przez wartość oczekiwaną, natomiast druga - przez wariancję (odchylenie standardowe) stopy zwrotu (pojedynczego waloru lub portfela). Jest to ujęcie klasyczne w teorii portfela papierów warto ściowych. Odchylenie standardowe posiada jednoznaczną interpretację, która ma swoje odzwierciedlenie w finansach, definiuj ąc ryzyko zarówno w aspekcie pozytywnym (zrealizowana stopa zwrotu jest wyższa od jej wartości oczekiwa nej) jak i negatywnym (zrealizowana stopa zwrotu jest niższa od jej wartości oczekiwanej)2. Tak więc tym wyższe jest ryzyko inwestycji, im większe są róż nice pomiędzy zrealizowaną a oczekiwaną stopą zwrotu. W praktycznych zasto sowaniach szacowanie poziomu ryzyka implikowane jest znajomością

empi-1 Praca napisana w ramach grantu naukowego o numerze KBN: N111 003 32/0262

2 Jajuga K., Kuziak K., Markowski P., R y n e k k a p ita ło w y . I n w e s ty c je f i n a n s o w e , Wydawnictwo

(3)

rycznych rozkładów stóp zwrotu. Z reguły postaci analityczne tych rozkładów nie są znane, a w celu ich uzyskania wykorzystuje się dane historyczne.

Przedstawiona powyżej koncepcja inwestycji zaliczana jest do klasycznych i posiada odzwierciedlenie w teorii Markowitza. Niemniej jednak wadą tego podejścia jest założenie normalności oraz uwzględnianie tylko dwóch pierw szych momentów rozkładu stóp zwrotu (tym samym, funkcja użyteczności in westora jest parabolą). W rzeczywistości rynków finansowych założenie roz kładu gaussowskiego nie jest jednak spełnione. Wysoka częstotliwość danych, zjawisko heteroskedastyczności wariancji, autokorelacja czy grube ogony empi rycznych rozkładów odrzucaj ą stosowalność klasycznych miar ryzyka. Cechy te maj ą szczególne znaczenie w przypadku analizy zmienności w ogonach rozkła dów, odpowiadających występowaniu obserwacji ekstremalnych (np. kwanty- lowe miary ryzyka).

Jedną z najpowszechniejszych miar kwantylowych jest poziom bezpie czeństwa oraz jego uogólnienie, czyli wartość zagrożona VaR. Value-at-Risk odpowiada na pytanie, jaka jest maksymalna strata, którą może ponieść z okre ślonym prawdopodobieństwem instytucja/inwestor, z inwestycji o określonej wartości w ciągu określonego czasu. Miara ta skoncentrowana jest na ogonie rozkładu, zatem ważną rolę odgrywa dopasowanie odpowiedniej funkcji gęsto ści do danych empirycznych, która będzie najlepiej odzwierciedlała rzeczywisty rozkład wartości. VaR, jako wartość progowa, określa zatem dwa obszary reali zacji potencjalnych strategii inwestycyjnych: obszar zysku oraz straty. W pre zentowanej pracy przedstawiono odmienne podejście do analizy ryzyka inwe stycyjnego. Zaprezentowano miarę Omega, opartą na analizie dystrybuant stóp zwrotu, a cechującą się zarazem bardzo atrakcyjnymi własnościami, zarówno z punktu widzenia własności matematycznych, jak i interpretacji finansowych. Miara Omega

Miara ryzyka Omega została zaproponowana jako alternatywa dla miar klasycznych, opartych o rozkład normalny. W teorii portfela odpowiada od miennemu podejściu wobec koncepcji „wartość oczekiwana - wariancja”, za proponowanej przez Markowitza. Omega bierze pod uwagę cały rozkład stopy zwrotu, nie nakładając żadnych parametrycznych ograniczeń na funkcje gęsto ści. Zaliczana jest do miar kwantylowych, gdyż zakłada występowanie pewnego punktu progowego, dzielącego zbiór realizacji strategii inwestycyjnej na obszar

(4)

D O M I N I K K R Ę Ż O Ł E K

Oc e n a r y z y k a i n w e s t y c j i ...

495

zysku oraz obszar straty. Cechą charakterystyczną tej miary jest to, iż nie zakła da ona konkretnego kształtu krzywej gęstości empirycznego rozkładu3. Wyko rzystuje ona informacje zawarte w danych historycznych, zrealizowanych w określonym przedziale czasowym.

Z matematycznego punktu widzenia Omega zdefiniowana jest jak poniżej4:

¡[1 - F(x )]dx (1)

Omega (X) = ^ --- , ¡ F(x )dx

a

gdzie X jest zmienną losową określoną na przedziale [a; b ] , F ( x ) jest funk

cją dystrybuanty tej zmiennej, natomiast p jest przyjętym punktem progowym,

spełniającym założenie a < p < b . Jak wynika z powyższego wzoru Omega

jest ilorazem zysków do strat, względem pewnego punktu progowego, ważo nym odpowiednim prawdopodobieństwem.

Miara Omega stanowi alternatywę wobec klasycznego podej ścia do analizy dochodowości i ryzyka inwestycji (opartego na wartości oczekiwanej i wariancji stóp zwrotu). Te dwie charakterystyki inwestycji nie uwzględniaj ą jednak wszystkich możliwych determinant poziomu stóp zwrotu poza przypad kiem rozkładu normalnego. Ze statystycznego punktu widzenia Omega posiada przewagę nad miernikami opartymi o model Markowitza, gdyż uwzględnia wszelkie momenty analizowanego szeregu stóp zwrotu, a co za tym idzie, może być wykorzystywana do oceny efektywności inwestycji w przypadku rozkła dów innych niż gaussowski (tj. asymetrycznych, bimodalnych czy gruboogo- nowych)5. Jeżeli wyższe momenty rozkładu stóp zwrotu są statystycznie nie istotne, Omega zbieżna jest, w sensie interpretacji, z miarami klasycznymi. Natomiast w przypadku statystycznie istotnych wartości tych momentów, inter pretacja może doprowadzić do odmiennej alokacji aktywów. Dodatkowo, może być wykorzystywana do rangowania portfeli inwestycyjnych bez konieczności identyfikacji funkcji użyteczności inwestora6.

3 Keating C., Shadwick W.F., A U n iv e r s a l P e r fo r m a n c e M e a s u r e , The Finance Development

Center, London, May 2002, p.12.

4 Bertrand P., Prigent J.L., O m e g a P e r fo r m a n c e M e a s u r e a n d P o r tfo lio I n s u r a n c e , March 16,

2006, p.3.

5 Urbani P., T h e O m e g a R i s k M e a s u r e , p.1.

6 Keating C., Shadwick B., A n I n tr o d u c tio n to O m e g a , The Finance Development Center, AIMA

(5)

Stosowalność miary Omega w praktyce implikowana jest pewną regułą de cyzyjna - jakie są preferencje inwestora: woli posiadać więcej, czy mniej? Re guła ta zakłada istnienie pewnego punktu progowego. Powyżej tego punktu zrealizowane stopy zwrotu interpretowane są w kategoriach zysku, natomiast realizacje poniżej tego punktu - jako straty. Wynika stąd, iż zdefiniować moż na dwie wielkości:

- oczekiwany zysk, czyli warunkową wartość oczekiwaną realizacji stopy zwrotu r ponad punkt progowy p , tj. E ( r | r > p ),

- oczekiwaną stratę, czyli warunkową wartość oczekiwaną realizacji sto py zwrotu r poniżej punktu progowego p , tj. E ( r | r < p )7.

Zatem dla dowolnego punktu p , zawartego w przedziale [a; b] zdefinio

wać można funkcj ę Omega:

¡[1 - F(r )]dr (2)

Omega(r = p ) = ^ ---, ¡ F(r )dr

a

dzięki której można porównywać (rangować) inwestycje w pojedyncze aktywa, jak i inwestycje portfelowe. Podobnie jak funkcja dystrybuanty, funkcja Omega jest funkcją stopy zwrotu. Nie są konieczne żadne założenia odnośnie parame trów rozkładu, czy inne ograniczenia co do postaci dystrybuanty. Jedynym za łożeniem jest zbieżność całek występujących we wzorze (2)8 [9, p.12]. Zysk albo strata z inwestycji, dla ustalonego punktu progowego p może być zdefi niowana następująco:

- zysk: z = E [ r | r > p ] - p ,

- strata 5 = p - E [ r | r < p ].

Aby możliwym było porównanie potencjalnych zysków wobec potencjal nych strat, należy przyporządkować im odpowiednie prawdopodobieństwa. Jeżeli F ( r) jest dystrybuantą stopy zwroty r , wtedy prawdopodobieństwo

realizacji tej stopy poniżej punktu progowego p , odpowiadające stracie z in

westycji, wynosi P ( r < p ) = F ( p ). Natomiast w przypadku, gdy rozważany

jest zysk, prawdopodobieństwo realizacji stopy zwrotu powyżej punktu

progo-7 Keating C., Shadwick W.F. A U n iv e r s a l..., op. cit., p.8 8 Ibidem., p.12

(6)

DOMINIK KRĘŻOŁEK

Oc e n a r y z y k a i n w e s t y c j i ...

497

wego określone jest jako P ( r > p ) = 1 - P ( r < p ) = 1 - F (p ). Zatem dokonu

jąc odpowiedniego skalowania, otrzymano miernik:

M = z[l - F(P)] (3)

Omega sF(p) ,

który mierzy i umożliwia porównanie jakości/efektywności inwestycji9.

Omega zaprezentowana wzorami (1)-(2) odnosi się do przypadku, gdy rozważana zmienna losowa (stopa zwrotu) jest typu ciągłego. W przypadku dyskretnym miara ta definiowana jest następująco:

Z max(0; r

u

) (4)

Omega(r = p) = -ą--- 1— —-,

Z max(0; k ,)

a

1'

gdzie rpU, r lp oznaczają odpowiednio realizację stopy zwrotu powyżej i poniżej założonego punktu progowego p 10. Funkcja określona wzorem (2) jest mono-

tonicznie malejąca w przedziale określoności [ a ; b ] , spełniając warunki:

lim O m e g a ( r = p ) = + ¥ oraz lim O m e g a ( r = p ) = 0 . Ponadto, wartość

r=p®a r=p—®b

funkcji Omega równa jest jedności dla punktu progowego, reprezentuj ącego wartość oczekiwaną rozkładu analizowanej stopy zwrotu11.

Analiza empiryczna z wykorzystaniem miary Omega

Zastosowanie funkcji Omega jako miernika oceny efektywności i atrakcyj ności inwestycji portfelowych przedstawiono na przykładzie akcji spółek noto wanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie. Okres badawczy obejmuje stopy zwrotu od stycznia 2000 do grudnia 2007. Portfele konstruowa no w oparciu o notowania indeksu TECHWIG - wykorzystano akcje spółek sektora nowoczesnych technologii, które w analizowanym okresie notowane były równolegle do notowań indeksu. Za stopę zwrotu wolną od ryzyka przyję to rentowność 52-tygodniowych bonów skarbowych, emitowanych przez Skarb Państwa, odpowiednio zdyskontowaną. Do oszacowania wrażliwości zmienno ści stóp zwrotu portfeli w stosunku do całego rynku wykorzystano współczyn

9 Ibidem., p.9

10 Maxam C.L., Nikbakht E., Petrova M., Spieler A.C., M a n a g e r C h a r a c te r is tic s a n d H e d g e F u n d P e r fo r m a n c e, “Journal of Applied Finance”, Fall/Winter 2006, p.66.

11 Kaye P., R i s k M e a s u r e m e n t in In s u r a n c e . A g u id e to r i s k m e a s u r e m e n t, c a p ita l a llo c a tio n a n d r e l a te d d e c is io n s u p p o r t is s u e s , ReMetrics, Benfield, 2005, p.17.

(7)

nik beta, gdzie za indeks giełdowy przyjęto WIG20. Cały okres badawczy po dzielono na dwa podokresy:

- styczeń 2000 - grudzień 2002 - dobór spółek do portfeli,

- styczeń 2003 - grudzień 2007 - ocena ryzyka dla przyjętej strategii inwestycyjnej.

W pierwszym etapie badania wyrangowano spółki według kryterium mak symalizacji warunkowej wartości oczekiwanej ponad poziom stopy zwrotu wolnej od ryzyka. Na podstawie wyników rankingu utworzono trzy portfele inwestycyjne. Pierwszy składał się z walorów o najniższej warunkowej oczeki

wanej stopie zwrotu ponad założony poziom, natomiast ostatni

z walorów, dla których warunkowa wartość oczekiwana była najwyższa. Do datkowo skonstruowano portfel indeksowo-walutowy na bazie TECHWIG, funt szterling [GBP] oraz frank szwajcarski [CHF]. Skład poszczególnych portfeli przedstawiono w tabeli 1.

Tabela 1. Skład portfeli inwestycyjnych

Portfel Składniki E r r > r F

Portfel I/W FUNT SZTERLING [GBP] 0,006078

FRANK SZWAJCARSKI [CHF] 0,006897 TECHWIG 0,023184 Portfel 1 TPSA 0,025421 COMARCH 0,026581 SYGNITY 0,026866 Portfel 2 ELZAB 0,028366 PROKOM 0,028707 ABG 0,029537 Portfel 3 ASSECOPOL 0,030384 MNI 0,035063 IGROUP 0,044264

52-tygodniowy bon skarbowy 0,000508

Źródło: obliczenia własne

W drugim okresie badania przyjęto strategię inwestycyjną polegającą na minimalizacji współczynnika zmienności portfela przy założeniu określonego poziomu stopy zwrotu. Dodatkowo założono brak możliwości krótkiej sprzeda ży oraz występowanie dodatniej premii za ryzyko. Stopa zwrotu wolna od ryzy ka wynosiła odpowiednio 0,000209. Podstawowe statystyki portfeli równou- działowych i optymalnych przedstawiono w tabeli 2.

(8)

D O M I N I K K R Ę Ż O Ł E K 499

Ocena ryzyka inwestycji ...

Prawie wszystkie zoptymalizowane portfele cechuje niższy poziom ryzyka, ale i niższy poziom dochodu (tabela 2). Tylko Portfel 3 spełnia wszystkie zało żenia przyjętej strategii. Zoptymalizowany portfel walutowo-indeksowy cechuje się oczekiwanym dochodem na poziomie stopy zwrotu wolnej od ryzyka, jed nak w tym przypadku ryzyko inwestycji jest istotne.

Zaprezentowane powyżej wyniki odnoszą się do podejścia klasycznego, gdzie przyj ęto założenie iż stopy zwrotu maj ą rozkład normalny. Tylko w takim przypadku można efektywnie wykorzystywać informacje opisywane za pomocą dwóch pierwszych momentów zmiennej losowej. W przypadku prezentowa nych portfeli normalność rozkładu zbadano testem Jarque-Bera oraz Anderso- na-Darlinga.

Tabela 2. Charakterystyki portfeli

Portfel Portfel równoudziałowy

dochód ryzyko zmienność [%]

Portfel 1 0,000413 0,013770 33,361751

Portfel 2 0,000479 0,016166 33,750047

Portfel 3 0,001458 0,024160 16,566353

Portfel I/W 0,000009 0,004213 485,448995

Portfel Portfel optymalny

dochód ryzyko zmienność [%]

Portfel 1 0,000355 0,013435 37,862628

Portfel 2 0,000415 0,016032 38,635457

Portfel 3 0,001514 0,019660 12,981863

Portfel I/W 0,000209 0,005124 24,516365

Oba testy wykazały zbieżność z rozkładem gaussowskim w przypadku wszyst kich portfeli za wyjątkiem Portfela 3 (na poziomie istotności 0,01 oraz 0,05). Niezależnie od postaci empirycznego rozkładu stopy zwrotu badanych portfeli, oszacowano funkcję Omega oraz jej wartość dla zadanego punktu progowego. Punkt ten ustalono na poziomie stopy zwrotu wolnej od ryzyka. Realizacje po wyżej tego poziomu interpretowane są jako zysk, natomiast poniżej - jako stra ta. Na wykresie poniżej przedstawiono funkcj ę Omega dla wszystkich rozważa nych portfeli. Ze względów praktycznych zastosowano skalę logarytmiczną wartości osi rzędnych.

(9)

Wykresy wszystkich funkcji Omega są zbliżone, jednak nie pokrywają się one między sobą wzajemnie. Świadczy to o różnym stopniu atrakcyjności in westycyjnej analizowanych portfeli. Kryterium identyfikacji atrakcyjności in westycji jest maksymalizacja wartości funkcji Omega dla zadanego punktu progowego. W przypadku stopy zwrotu wolnej od ryzyka wartość miary Omega przedstawiono w tabeli 3.

Zakładając punkt progowy na poziomie stopy zwrotu 52-tygodniowych bonów skarbowych rF = 0,000209 wszystkie inwestycje okazują się być atrakcyjniejsze niż walor wolny od ryzyka, gdyż miara Omega przyjmuje war tości powyżej jedności.

R y s . 1. F u n k c j a O m e g a

Ź ró d ło : o b lic z e n ia w łasne

Najwyższą wartość osiąga dla Portfela 3, który przy zadanym poziomie optymalnych udziałów cechuje się najwyższym dochodem oraz najniższym wskaźnikiem zmienności (tabela 2). Równie atrakcyjny jest Portfel indeksowo- walutowy, z tym że generuj ąc oczekiwany zysk na poziomie rF cechuje się znacznie wyższym ryzykiem.

Na rys. 2. przedstawiono funkcję Omega dla przypadku Portfela 3 oraz I/W. Atrakcyjność inwestycji wynika bezpośrednio z wartości miary Omega dla zadanego punktu progowego. Zagadnienie wyboru portfela atrakcyjnego polega na maksymalizacji wartości funkcji. Zakładając stopę zwrotu powyżej zera wy raźnie widać, iż bardziej atrakcyjny jest Portfel 3 (większe wartości Omega). Jednak dla stopy zwrotu dążącej do poziomu 0,1 sytuacja ulega zmianie na ko rzyść Portfela I/W. Zatem zakładając dowolny punkt progowy, bardziej atrak

(10)

D O M I N I K K R Ę Ż O Ł E K

501

c y j n y d l a i n w e s t o r a ( c h a r a k t e r y z u j ą c e g o s i ę c h ę c i ą p o s i a d a n i a w i ę c e j n i ż m n i e j )

o k a z u j e s i ę t e n p o r t f e l , d l a k t ó r e g o w a r t o ś ć f u n k c j i O m e g a b ę d z i e w i ę k s z a .

Tabela 3. Miara Omega - zadany punkt progowy

Portfel O m e g a ( r = r F ) W IG 20 1,005928 Portfel 1 1,066958 Portfel 2 1,070495 Portfel I/W 1,104728 Portfel 3 1,228438

W t a b e l i 4 z e s t a w i o n o m i e r n i k i o c e n y r y z y k a b a d a n y c h p o r t f e l i . Z a p r e z e n

t o w a n o w s k a ź n i k i S h a r p e ’a o r a z T r e y n o r a , w y z n a c z a n e w o p a r c i u o k l a s y c z n e

z a ł o ż e n i e n o r m a l n o ś c i s t ó p z w r o t . D o d a t k o w o d o k o n a n o o c e n y e f e k t y w n o ś c i

i n w e s t y c j i n a p o d s t a w i e m i a r y O m e g a .

R y s . 2 . F u n k c j a O m e g a — P o r t f e l 3 vs. P o r t f e l I / W

O c e n a e f e k t y w n o ś c i i n w e s t y c j i w o p a r c i u o w s z y s t k i e p r z e d s t a w i o n e m i a r y p o l e g a n a w y b o r z e t a k i e g o p o r t f e l a , d l a k t ó r e g o d a n y w s k a ź n i k p r z y j m u j e n a j w i ę k s z ą w a r t o ś ć . W e w s z y s t k i c h p r z y p a d k a c h n a j a t r a k c y j n i e j s z e o k a z a ł y s i ę i n w e s t y c j e w P o r t f e l 3 , n a t o m i a s t n a j m n i e j a t r a k c y j n e - i n w e s t y c j e w i n d e k s . P o r t f e l i n d e k s o w o - w a l u t o w y , w u j ę c i u k l a s y c z n y m , n i e j e s t a t r a k c y j n y , z e w z g l ę d u n a b a r d z o n i e w i e l k ą r ó ż n i c ę p o m i ę d z y s t o p ą z w r o t u w o l n ą o d r y z y k a a o c z e k i w a n y m d o c h o d e m . M i a r a O m e g a n a t o m i a s t r a n g u j e t e n p o r t f e l j a k o

(11)

atrakcyjny, biorąc pod uwagę również momenty wyższych rzędów empiryczne go rozkładu (takie jak skośność czy spłaszczenie). Dodatkowo widać, iż wszystkie portfele okazują się być korzystniejszą opcją inwestycyjną niż bon skarbowy (wartość miary Omega powyżej jedności).

Tabela 4. Mierniki efektywności

Portfel O m e g a ( r = r F ) Portfel Wskaźnik

Sharpe’a

Wskaźnik Treynora

WIG20 1,005928 WIG20 -0,022619 -0,000415

Portfel 1 1,066958 Portfel I/W -0,006665 -0,000036

Portfel 2 1,070495 Portfel 1 0,017414 0 , 0 0 0 2 0 0

Portfel I/W 1,104728 Portfel 2 0,021674 0,001065

Portfel 3 1,228438 Portfel 3 0,077323 0,001528

Źródło: obliczenia własne Podsumowanie

Decyzje inwestycyjne podejmowane w oparciu o klasyczne miary oceny efektywności koncentruj ą się tylko na dwóch pierwszych momentach rozkładu stopy zwrotu akcji lub portfela. Podejście to, atrakcyjne z punktu widzenia wła sności rozkładu normalnego, jest niekompletne. Nie uwzględnia ono innych własności empirycznych rozkładów, takich jak skośność czy kurtoza. Alterna tywą jest miara Omega, oparta na analizie dystrybuant stóp zwrotu przy założe niu określonego punktu progowego (stopa wolna od ryzyka, poziom inflacji, rentowność obligacji itd.). W pracy przedstawiono praktyczne zastosowanie tej miary na GPW w Warszawie. Analizując zbudowane optymalne portfele wyka zano, że w przypadku zbieżności z rozkładem Gaussa klasyczne wskaźniki efektywności oraz miara Omega prowadzą do podobnych wniosków. Natomiast w przypadku rozbieżności z rozkładem normalnym miary klasyczne są niewy starczające. Zastosowanie, jako kryterium efektywności, funkcji Omega może doprowadzić do odmiennej alokacji aktywów w portfelu, niż przy podej ściu klasycznym. Dodatkowo, Omega posiada wiele atrakcyjnych własności mate matycznych, co znajduje szerokie zastosowanie w przypadku dopasowania od powiedniego rozkładu do danych empirycznych.

(12)

D O M I N I K K R Ę Ż O Ł E K 503

Literatura

1. Bertrand P., Prigent J.L., O m e g a P e r f o r m a n c e M e a s u r e a n d P o r t f o l i o I n s u r a n c e,

March 16, 2006.

2. Favre-Bulle A., Pache S., T h e O m e g a M e a s u r e : H e d g e F u n d P o r t f o l i o O p t i m a l i z a - t i o n , MBF Master’s Thesis, University of Lausanne - Ecole des HEC, January

2 0 0 3.

3. Jajuga K., Jajuga T., I n w e s t y c j e . I n s t r u m e n t y f i n a n s o w e . A k t y w a n i e f i n a n s o w e . R y z y k o f i n a n s o w e . I n ż y n i e r i a f i n a n s o w a , Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa

2006.

4. Jajuga K., Kuziak K., Markowski P., R y n e k k a p i t a ł o w y . I n w e s t y c j e f i n a n s o w e ,

Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego we Wrocławiu, Wro cław 1997.

5. Kaye P., R i s k M e a s u r e m e n t i n I n s u r a n c e . A g u i d e t o r i s k m e a s u r e m e n t , c a p i t a l a l l o c a t i o n a n d r e l a t e d d e c i s i o n s u p p o r t i s s u e s, ReMetrics, Benfield, 2005.

6. Kaziem H., Schneeweis T., Gupta R., O m e g a a s a P e r f o r m a n c e M e a s u r e , prelimi

nary 6-15-03.

7. Keating C., Shadwick B., A n I n t r o d u c t i o n t o O m e g a , T h e F i n a n c e D e v e l o p m e n t c e n t e r, AIMA Newsletter, April 2002.

8. Keating C., Shadwick W.F., A U n i v e r s a l P e r f o r m a n c e M e a s u r e , The Finance De

velopment Center, London, May 2002.

9. Maxam C.L., Nikbakht E., Petrova M., Spieler A.C., M a n a g e r C h a r a c t e r i s t i c s a n d H e d g e F u n d P e r f o r m a n c e , “Journal of Applied Finance”, Fall/Winter 2006, p.57

70.

10. Urbani P., T h e O m e g a R i s k M e a s u r e (www.edge-fund.com/)

STRESZCZENIE

Celem pracy jest prezentacja nieklasycznego podejścia do oceny efektywności in westycji portfelowych. Zastosowano miarę Omega, wyznaczaną w oparciu o dystrybuantę empirycznego rozkładu stopy zwrotu. Ze względu na ciekawe własności matematyczne i finansowe, posiada ona szerokie zastosowanie w przypadku analizy portfelowej. Zastosowanie funkcji Omega jako kryterium wyboru walorów do portfela uwzględnia wszystkie informacje zawarte w rozkładzie stopy zwrotu, co może prowa dzić do odmiennej alokacji aktywów w porównaniu do podejścia klasycznego.

(13)

RISK ASSESSMENT OF PO R TFO LIO INVESTMENTS - THE OMEGA MEASURE

SUMMARY

The aim of this paper is to present some unclassical approach to portfolio invest ment assessment. The Omega measure was presented. This measure, calculated using cumulative distribution function of empirical returns, has many interesting mathemati cal and financial properties. It can be used widely within portfolio analysis. Considering Omega function as an investment criterion, the optimal allocation of assets can differ from the classical approach (based on mean-variance analysis).

T r a n s l a t e d b y D . K r ę ż o ł e k

M g r D o m i n i k K r ę ż o ł e k

Akademia Ekonomiczna w Katowicach dominik.krezolek@gazeta. pl