Lista 5 - Wskazówki (część I)

Lista 5 - Wskazówki (część I)

Niezbędna teoria dotycząca schematu spłaty długu w różnych wariantach znajduje się w wykładzie 5 z Matematyki finansowej (plik MatFin(wyklad5).pdf)

Wskazówki do zadania 1. Ad. (a). W tym zadaniu po pierwsze należy przygotować schemat spłaty długu. Po pierwsze zakładamy, że kredyt w wysokości S = 30 000 zł jest zaciągnięty w momencie t₀ = 0. Zgodnie z warunkami zaproponowanymi przez bank ten dług ma być spłacony w 12 miesięcznych ratach stałych (annuitetowych) przy stopie rocznej i_ef = 9%.

Zatem, skoro raty powinny być płacony raz na miesiąc, to znaczy, że okresem bazowym jest miesiąc, a więc do wyznaczenia wysokości raty P_j i jej części odsetkowej I_j potrzebujemy stopy miesięcznej, czyli

i = ief

12 = 0, 09

12 = 0, 0075, co więcej oczywiście ta stopa i jest taka sama na każdy miesiąc.

Podsumowując, z danych zadania wynika, że

S = 30 000 zł, n = 12, i = 0, 0075.

Żeby wyznaczyć pełny schemat (plan) spłaty tego długu należy policzyć, dla każdego j = 1, 2, . . . , 12,

- wysokość raty P_j,

- wysokość części odsetkowej Ij raty Pj, - wysokość części kapitałowej K_j raty P_j,

- wysokość bieżącego zadłużenia S_j po wpłaceniu raty P_j,

a następnie otrzymane wartości należy umieścić w tabeli (wzór tabeli w treści zadania).

Jak policzyć wymagane wartości?

- wysokość raty P_j = R, można policzyć korzystając wprost ze wzoru R = S

a_nei.

(po więcej szczegółów odsyłam do wykładu). Jednak w przypadku rat stałych (annuite- towych) wysokość takiej raty w arkuszu kalkulacyjnym Excel można policzyć korzystając z funkcji finansowej PMT, która potrzebuje następujących danych

PMT (stopa; liczba rat; wa; wp; typ), gdzie

stopa - stopa procentowa dla okresu bazowego pożyczki, np. użyj ^6%₄ dla płatności kwartalnych w przypadku stopy 6% w skali roku;

liczba rat - liczba wszystkich płatności pożyczki,

wa - wartość bieżąca lokaty, teraźniejsza łączna wartość przyszłych płatności, wp - wartość przyszła lub saldo gotówkowe, które chcemy uzyskać po dokonaniu ostatniej płatności, 0 (zero), jeśli pominięta,

typ - wartość logiczna; płatność na początku okresu =1; płatność na koniec okresu

=0 lub pominięta.

Dodam jeszcze, że te wyboldowane (wytłuszczone) wielkości są danymi niezbędnymi, po- zostałe można pominąć. W naszym przypadku do policzenia wysokości raty przy pomocy funkcji PMT należy wpisać

stopa= i, liczba rat= n,

wa= S, bo to jest wysokość zadłużenia w chwili t₀ = 0,

wp= 0, bo po wpłaceniu ostatniej raty dług powinien być całkowicie spłacony, typ= 0.

Ostatecznie

R = −PMT (i; n; S; 0; 0) .

Wyjaśniam jeszcze, że przemnożenie wartości policzonej przy pomocy funkcji PMT przez

−1 jest spowodowane tym, że chcemy w tabeli umieścić dodatnią wartość raty, a funkcja PMT zwraca wartość ujemną (traktuje ratę jako wydatek).

- wysokość części odsetkowej I_j raty P_j, liczymy ze wzoru I_j = S_j−1· i, j = 1, 2, . . . , 12.

Po więcej szczegółów odsyłam do wykładu (w szczególności przydatne będzie dokładne prześledzenie przykładu 4.1).

- wysokość części kapitałowej K_j raty P_j, liczymy ze wzoru Kj = Pj− Ij, j = 1, 2, . . . , 12.

Po więcej szczegółów odsyłam do wykładu (w szczególności przydatne będzie dokładne prześledzenie przykładu 4.1).

- wysokość bieżącego zadłużenia Sj po wpłaceniu raty Pj,liczymy ze wzoru S_j = S_j−1− K_j, j = 1, 2, . . . , 12.

Po więcej szczegółów odsyłam do wykładu (w szczególności przydatne będzie dokładne prześledzenie przykładu 4.1).

Ad. (b). Sprawdź, czy S_n = 0 oraz czy suma spłat kapitału (części kapitałowych) jest równa S.

Aby odpowiedzieć na pytanie, czy S_n = 0, wystarczy sprawdzić w tabeli ze schematem spłaty długu, czy po wpłaceniu ostatniej raty bieżące zadłużenie jest zerowe, tzn. S12 = 0 zł?

Jeśli nie, to znaczy, że w rachunki wkradł się błąd, bo odpowiedź powinna być pozytywna.

Jeśli chodzi o drugie pytanie, czyli czy suma spłat kapitału (części kapitałowych) jest równa S, to wystarczy zsumować wartości z kolumny, w której znajdują się części kapitałowe poszcze- gólnych rat.

Ad. (c). Sprawdź, czy części kapitałowe tworzą ciąg geometryczny o ilorazie 1 + i, gdzie i oznacza stopę miesięczną.

Raty stałe (annuitetowe) charakteryzują się między innymi tym, że części kapitałowe po- winny tworzyć ciąg geometryczny o ilorazie 1 + i, gdzie i oznacza stopę okresu bazowego (po więcej informacji odsyłam do wykładu, w szczególności Uwaga 4.2 i komentarz pod tą uwagą).

Oczywiście, aby sprawdzić, czy części kapitałowe tworzą ciąg geometryczny o ilorazie 1 + i, gdzie i oznacza stopę miesięczną, wystarczy np. policzyć ilorazy

K_j+1

K_j , j = 1, 2, . . . , 11.

Jeśli wartość każdego tego ilorazu będzie wielkością stałą, to będzie to oznaczało, że części kapitałowe tworzą ciąg geometryczny. Wtedy pozostanie sprawdzić, czy ten iloraz jest równy 1 + i = 1, 0075. Rachunki te proponuję wykonać w kolumnie obok tabeli ze schematem spłaty długu przygotowanej w podpunkcie (a).

Ad. (d). Wykonaj wykres przedstawiający jaką część poszczególnych rat stanowi jej część kapitałowa, a jaką część odsetkowa.

W arkuszu kalkulacyjnym Excel oczywiście istnieje możliwość tworzenia różnego typu wykre- sów. Musimy po pierwsze zdecydować, który typ wykresu będzie najlepiej obrazował wskazaną w tym przykładzie zależność, a po drugie należy wybrać odpowiedni zakres komórek zawiera- jących dane, które mają być uwzględnione na wykresie.

Wydaje się, że w tym przypadku najlepszym wyborem będzie jeden z wykresów kolumno- wych, a dokładniej typ wykresu: 100 % kolumnowy skumulowany, bo ten typ pozwala porównać procentowe udziały w sumie dla wszystkich kategorii.

Należy najpierw zaznaczyć zakres komórek, w których znajdują się części odsetkowe i części kapitałowe wszystkich 12 rat (oczywiście zakres komórek wybieramy w tabeli ze schematem spłaty długu), a następnie wybieramy typ wykresu. Dalej pozostaje tylko uzupełnić wykres odpowiednią legendą, czyli wyjaśnić co oznaczają poszczególne serie (powinny pojawić się dwie serie, a więc jedna z nich oznacza część odsetkową, zaś druga część kapitałową), dodać opis osi (przynajmniej osi poziomej, na której powinny się znaleźć numery rat), a także tytuł wykresu.

Wskazówki do zadania 2. Należy przygotować schematy spłaty kredytu w wysokości S = 30 000 zł zaciągniętego w momencie t₀ = 0 przy stopie rocznej i_ef = 9%. Raty mają być

płacone raz na miesiąc, a więc okresem bazowym ponownie jest miesiąc, czyli do rachunków potrzebujemy stopy miesięcznej, która wynosi

i = i_ef

12 = 0, 09

12 = 0, 0075, co więcej oczywiście ta stopa i jest taka sama na każdy miesiąc.

Zatem, z danych zadania wynika, że

S = 30 000 zł, n = 12, i = 0, 0075,

a schemat należy przygotować w trzech różnych wariantach. Warto zauważyć, że w każdym tych trzech wariantów części kapitałowe są takie same (są stałe) i wynoszą

K_j = S

n = 2 500 zł, j = 1, 2, . . . , 12,

natomiast rożnie liczone będą części odsetkowe I_j raty P_j dla j = 1, 2, . . . , 12.

Ad. (a). Wysokość części odsetkowej I_j raty P_j, liczymy ze wzoru (podobnie jak w zadaniu 1)

Ij = Sj−1· i, j = 1, 2, . . . , 12,

wysokość raty Pj otrzymujemy dodając jej część kapitałową i odsetkową, czyli P_j = K_j+ I_j, j = 1, 2, . . . , 12,

a wysokość bieżącego zadłużenia Sj po wpłaceniu raty Pj(podobnie jak w zadaniu 1) wystarczy policzyć następująco

S_j = S_j−1− K_j, j = 1, 2, . . . , 12.

Ad. (b). Tym razem wszystkie odsetki mają być spłacone jednorazowo w ostatniej racie, a więc

I₁ = I₂ = . . . = I₁₁ = 0 zł,

natomiast część odsetkową ostatniej raty, czyli I₁₂, należy policzyć ze wzoru I_(m) = n − a_nei
· (1 + i)^m·S

n,

przyjmując, że m = 12 oraz licząc wartość a_nei używając np. funkcji finansowej PV, a miano- wicie

a_nei= PV (i; n; −1; ; 0) . Czyli przyjmujemy, że I₁₂= I₍₁₂₎.

Wysokość raty P_j liczymy oczywiście sumując otrzymane części kapitałowe i odsetkowe tej raty, a więc

P_j = K_j+ I_j, j = 1, 2, . . . , 12.

Z kolei żeby policzyć wysokość bieżącego zadłużenia S_j po wpłaceniu raty P_j musimy po- stąpić podobnie jak w przykładzie 6.1 (wykład). Mianowicie, oznaczmy przez I_j⁰ wartość nie- spłaconych odsetek w j-tym okresie. Wtedy oczywiście

I_j⁰ = S_j−1· i, j = 1, 2, . . . , 12

zaś bieżące zadłużenie po wpłacie j-tej raty policzymy poprzez pomniejszenie o część kapitałową j-tej raty i powiększenie o niespłacone odsetki, czyli

S_j = S_j−1− K_j + I_j⁰, j = 1, 2, . . . , 11.

Natomiast

S₁₂= S₁₁+ I₁₂⁰ − P₁₂. Podkreślam, że powinniśmy otrzymać S12 = 0.