Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa 8. Zmienne losowe ciągłe.
Definicja. Zmienną losową X : Ω → R nazywamy ciągłą, jeśli jej dystrybuanta FX : R → R, zdefiniowana wzorem
FX(x) = P (X ¬ x) , jest ciągła w każdym punkcie.
Równoważna definicja mówi, że zmienna losowa X jest ciągła, gdy nie zawiera atomów, tzn. dla każdego x ∈ R mamy P (X = x) = 0.
Uwaga: Nie każda zmienna losowa, która nie jest dyskretna, jest ciągła, choć każdą zmienną losową można przedstawić jako sumę zmiennej losowej dyskretnej i zmiennej losowej ciągłej.
Dla wielu zmiennych losowych ciągłych X, w tym prawie wszystkich, z którymi będziemy mieć do czynienia na ćwiczeniach, istnieje funkcja f : R → R, zwana gęstością, taka, że dla każdego x ∈ R mamy:
FX(x) = P (X ¬ x) = Z x
−∞
f (t)dt.
Wtedy oczywiście zachodzi:
f (x) = FX0 (x) .
Uwaga: Dystrybuanta FX jest jednoznacznie zdefiniowana dla każdej zmiennej losowej X, natomiast jej gęstość f , nawet gdy istnieje, występuje zwykle pod całką i dlatego jest zdefiniowana z dokładnością do zbioru miary zero, czyli bez żadnych konsekwencji (z wyjątkiem braku elegancji) możemy dowolnie przedefiniować ją w kilku punktach dziedziny.
Własności gęstości:
(i) f (x) 0, dla każdego x ∈ R;
(ii) R−∞∞ f (t)dt = 1.
Twierdzenie. Niech X będzie zmienną losową ciągłą o gęstości f i niech g : R → R będzie dowolną funkcją (mierzalną). Wtedy zachodzi:
E(g(X)) = Z ∞
−∞g(t)f (t)dt.
W szczególności:
EX = Z ∞
−∞
t · f (t)dt.
Dodatek A. Zadania na ćwiczenia Zadanie 1. Zmienna losowa ciągła X ma dystrybuantę daną wzorem
F (x) =
0 dla x ¬ 0, cx3 dla 0 < x < 1, 1 dla x 1,
gdzie c jest pewną stałą. Znajdź wartość stałej c. Natępnie wyznacz gęstość f (x), wartość oczekiwaną EX i wariancję Var X.
Zacznijmy od tego, że skoro mamy do czynienia z ciągłą zmienną losową X, jej dystrybuanta F : R → R powinna być ciągła w każdym punkcie dziedziny, w szczególności w punktach x0 = 0 oraz x1 = 1. Mamy zatem:
F (0) = lim
x→0+F (x) = lim
x→0+cx3 = 0 oraz
F (1) = lim
x→1−F (x) = lim
x→1−cx3= c.
A zatem c = F (1) = 1.
1
Następnie wyznaczmy gęstość f : R → R zmiennej losowej X pamiętając, że f (x) = F0(x).
Przypomnijmy, że pochodna z funkcji stałej jest równa zero, natomiast (cx3)0 = 3cx2, a zatem gęstość zmiennej losowej X przedstawia się następująco:
f (x) =
(3x2 dla 0 < x < 1,
0 w pozostałych przypadkach.
Z kolei żeby wyznaczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej X posłużymy się wzorem:
EX = Z ∞
−∞t · f (t)dt.
Liczenie tej całki możemy rozbić na trzy naturalne przedziały (−∞, 0], (0, 1), [1, ∞) odpowiadające definicji funkcji gęstości f (x). Ponadto, przypominjmy sobie, że całka oznaczona z funkcji 0 po dowolnym przedziale przyjmuje wartość zero natomiast dla funkcji wielomianowych mamy:
Z b a
xndx =
"
xn+1 n + 1
#b
a
= bn+1
n + 1− an+1 n + 1. A zatem:
EX = Z 0
−∞
t · f (t)dt + Z 1
0
t · f (t)dt + Z ∞
1
t · f (t)dt = Z 0
−∞
t · 0dt + Z 1
0
t · 3t2dt + Z ∞
1
t · 0dt
= Z 1
0
t · 3t2dt = 3 Z 1
0
t3dt = 3
"
t4 4
#1
0
= 3 14 4 −04
4
!
= 3 4.
Z kolei aby wyznaczyć wariancję zmiennej losowej X musimy najpierw wyznaczyć EX2. W tym celu posłużymy się wzorem:
EX2 = Z ∞
−∞
t2· f (t)dt.
Podobnie jak poprzednio mamy:
EX2 = Z 0
−∞
t2· f (t)dt + Z 1
0
t2· f (t)dt + Z ∞
1
t2· f (t)dt = Z 0
−∞
t2· 0dt + Z 1
0
t2· 3t2dt + Z ∞
1
t2· 0dt
= Z 1
0
t2· 3t2dt = 3 Z 1
0
t4dt = 3
"
t5 5
#1
0
= 3 15 5 −05
5
!
= 3 5. A zatem wariancja zmiennej losowej X wynosi:
Var X = EX2− (EX)2 = 3 5−
3 4
2
= 48 80 −45
80 = 3 80.
Zadanie 2. Gęstość zmiennej losowej X zadana jest wzorem
f (x) =
a gdy x ∈ (−2, −1), bx gdy x ∈ (1, 2),
0 w pozostałych przypadkach,
gdzie a i b są pewnymi stałymi. Znajdź stałe a i b wiedząc, że EX = 0. Następnie oblicz Var X i znajdź dystrybuantę FX tej zmiennej losowej.
Zacznijmy od wyliczenia wartości oczekiwanej zmiennej losowej X w oparciu o funkcję gęstości. Podobnie jak w poprzednim zadaniu, licząc odpowiednią całkę możemy od razu pominąć te przedziały, na których funkcja f (x) się zeruje. Mamy zatem:
EX = Z ∞
−∞
t · f (t)dt = Z −1
−2
t · f (t)dt + Z 2
1
t · f (t)dt = Z −1
−2
t · adt + Z 2
1
t · btdt
= a Z −1
−2
tdt + b Z 2
1
t2dt = a
"
t2 2
#−1
−2
+ b
"
t3 3
#2
1
= a (−1)2
2 −(−2)2 2
!
+ b 23 3 −13
3
!
= −3 2a + 7
3b.
W treści zadania podane jest, że EX = 0, a zatem otrzymujemy równanie:
−3 2a +7
3b = 0.
Niestety to za mało aby wyznaczyć stałe a i b. Potrzebujemy jeszcze jednej zależności, która będzie wiązała te dwie stałe. W tym celu skorzystamy z własności funkcji gęstości, która mówi, że:
Z ∞
−∞f (t)dt = 1.
A zatem:
1 = Z ∞
−∞
f (t)dt = Z −1
−2
adt + Z 2
1
btdt = a Z −1
−2
1dt + b Z 2
1
tdt = a [t]−1−2+ b
"
t2 2
#2
1
= a((−1) − (−2)) + b 22 2 −12
2
!
= a +3 2b, skąd otrzymujemy drugie równanie wiążące a i b, mianowicie:
a + 3 2b = 1.
W celu wyznaczenia stałych a i b musimy zatem rozwiązać następujący układ równań:
(−32a +73b = 0 a + 32b = 1 Po szybkich obliczeniach otrzymujemy:
(a = 2855 b = 1855 A zatem funkcja gęstości zmiennej losowej X dana jest wzorem:
f (x) =
28
55 gdy x ∈ (−2, −1),
18
55x gdy x ∈ (1, 2),
0 w pozostałych przypadkach, Następnie, aby wyznaczyć Var X, policzymy najpierw EX2, czyli:
EX2 = Z −1
−2 t2·28 55dt +
Z 2 1
t2·18
55tdt = 28 55
Z −1
−2 t2dt +18 55
Z 2 1
t3dt = 28 55
"
t3 3
#−1
−2
+18 55
"
t4 4
#2
1
= 28 55
(−1)3
3 −(−2)3 3
! + 18
55 24
4 −14 4
!
= 196 165+27
22 = 797
330 = 2137 330 Stąd otrzymujemy już wariancję:
Var X = EX2− (EX)2= 2137
330− 0 = 2137 330.
Pozostało nam jeszcze wyznaczenie dystrybuanty FX zmiennej losowej X. Ponieważ w tym zadaniu mamy do czynienia z tylko jedną zmienną losową, w dalszych rozważaniach możemy pominąć indeks, tzn. przyjmujemy konwencję F = FX. Przypomnijmy na początek, że
F (x) = Z x
−∞
f (t)dt.
Ponieważ w definicji funkcji gęstości dostajemy podział dziedziny na pięć przedziałów (−∞, −2], (−2, −1), [−1, 1], (1, 2), [2, ∞),
wyznaczanie wartości dystrybuanty F (x) musimy podzielić na pięć przypadków w zależności od tego, do którego z nich należy zmienna x.
Uwaga: proszę pamiętać, że dystrybuanta rozkładu ciągłego jest funkcją ciągłą, dlatego też F (x) = lim
t→x−F (t).
1. przypadek: x ∈ (−∞, −2]
F (x) = Z x
−∞f (t)dt = Z x
−∞
0dt = 0 2. przypadek: x ∈ (−2, −1)
F (x) = Z x
−∞
f (t)dt = Z −2
−∞
f (t)dt + Z x
−2
28
55dt = F (−2) +28 55
Z x
−2
1dt = 0 + 28
55[t]x−2 = 28
55(x − (−2)) = 28
55(x + 2) 3. przypadek: x ∈ [−1, 1]
F (x) = Z x
−∞f (t)dt = Z −1
−∞f (t)dt + Z x
−1
0dt = F (−1) + 0 = 28
55(−1 + 2) = 28 55 4. przypadek: x ∈ (1, 2)
F (x) = Z x
−∞f (t)dt = Z 1
−∞f (t)dt + Z x
1
18
55tdt = F (1) +18 55
Z x 1
tdt = 28 55+ 18
55
"
t2 2
#x
1
= 28 55 +18
55 x2
2 − 1 2
!
5. przypadek: x ∈ [2, ∞) F (x) =
Z x
−∞f (t)dt = Z 2
−∞f (t)dt + Z x
2
0dt = F (2) + 0 = 28 55 +18
55 22
2 −1 2
!
= 28 55+18
55 ·3 2 = 1 Ostatecznie otrzymujemy poniższy wzór na dystrybuantę X:
F (x) =
0 gdy x ∈ (−∞, −2]
28
55(x + 2) gdy x ∈ (−2, −1)
28
55 gdy x ∈ [−1, 1]
28
55+ 1855x22 −12 gdy x ∈ (1, 2)
1 gdy x ∈ [2, ∞).
Zadanie 3. Na odcinku [0, 1] wybieramy losowo dwa punkty. Niech Z będzie zmienną losową oznaczającą odległość między tymi punktami.
Dla przypomnienia, mieliśmy już do czynienia z podobnym problemem, mianowicie z wyborem dwóch punktów z odcinka. Podobnie jak poprzednio zastosujemy tutaj prawdopodobieństwo geometryczne, gdzie jako zbiór zdarzeń elementarnych przyjmiemy kwadrat jednostkowy, tzn. Ω = [0, 1] × [0, 1].
i) Znajdź dystrybuantę FZ, gęstość fZ, wartość oczekiwaną EZ i wariancję Var Z.
Zacznijmy od wyznaczenia dystrybuanty FZ zmiennej losowej Z. Z definicji dystrybuanty mamy:
FZ(z) = P (Z ¬ z) .
Zastanówmy się zatem jak obliczyć P (Z ¬ z). Mając daną losową parę punktów (x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1], odległość między tymi punktami możemy wyrazić jako |x − y|. A zatem, skoro minimalna odległość jest równa 0, a maksymalna wynosi 1, dla z ∈ [0, 1] mamy:
P (Z ¬ z) = P (|x − y| ¬ z) = P (−z ¬ x − y ¬ z) = P ((y ¬ x + z) ∧ (y x − z)) .
0 z 1 x
1
z y
y = x − z y = x + z
Widziemy więc, że dla z ∈ [0, 1] zachodzi:
FZ(z) = P (Z ¬ z) = 1 − (1 − z)2 = 2z − z2.
Ponadto, dla z < 0 prawdą jest, że P (Z ¬ z) = 0, z kolei dla z > 1 zachodzi P (Z ¬ z) = 1. Możemy więc podać wzór na dystrybuantę zmiennej losowej Z:
FZ(z) =
0 dla z < 0, 2z − z2 dla 0 ¬ z ¬ 1, 1 dla z > 1.
Następnie wyznaczamy gęstość fZ pamiętając, że fZ(z) = FZ0(z) A zatem:
fZ(z) =
(2 − 2z dla 0 ¬ z ¬ 1,
0 w pozostałych przypadkach.
Z kolei wartość oczekiwana zmiennej losowej Z wynosi:
EZ = Z ∞
−∞
zfZ(z)dz = Z 1
0
z(2 − 2z)dz = Z 1
0
2zdz − Z 1
0
2z2dz = 2 Z 1
0
zdz − 2 Z 1
0
z2dz
= 2
"
z2 2
#1
0
− 2
"
z3 3
#1
0
= 2 12 2 −02
2
!
− 2 13 3 −03
3
!
= 1 −2 3 = 1
3.
Następnie liczymy EZ2: EZ2 =
Z ∞
−∞
z2fZ(z)dz = Z 1
0
z2(2 − 2z)dz = Z 1
0
2z2dz − Z 1
0
2z3dz = 2 Z 1
0
z2dz − 2 Z 1
0
z3dz
= 2
"
z3 3
#1
0
− 2
"
z4 4
#1
0
= 2 13 3 −03
3
!
− 2 14 4 −04
4
!
= 2 3− 2
4 = 1 6, skąd otrzymujemy wariancję zmiennej losowej Z:
Var Z = EZ2− (EZ)2 = 1 6 −
1 3
2
= 1 18.
ii) Znajdź dystrybuantę FX zmiennej losowej X = Z2, jej gęstość fX i wartość oczekiwaną EX. Jak obliczyć EX nie znajdując gęstości fX?
Aby wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej X musimy odwołać się do jej definicji i następnie podstawić w miejsce X wyrażenie Z2, czyli:
FX(x) = P (X ¬ x) = PZ2 ¬ x= P −√
x ¬ Z ¬√ x.
Następnie, ponieważ zmienna losowa Z przyjmuje wartości ujemne z zerowym prawdopodobieństwem (dystry- buanta FZ jest stale równa zero dla z < 0), mamy:
P −
√x ¬ Z ¬√
x= P Z ¬√
x= FZ(√ x).
Stąd otrzymujemy już wzór na dystrybuantę zmiennej losowej X:
FX(x) =
0 dla x < 0, 2√
x − x dla 0 ¬ x ¬ 1, 1 dla x > 1.
Następnie obliczamy gęstość zmiennej losowej X (proszę zwrócić uwagę, co się dzieje w punkcie x = 0):
fX(x) = FX0 (x) = ( 1
√x − 1 dla 0 < x ¬ 1,
0 w pozostałych przypadkach.
Wartość oczekiwana zmiennej losowej X wynosi:
EX = Z 1
0
x
1
√x − 1
dx =
Z 1 0
√xdx − Z 1
0
xdx =
"
x3/2 3/2
#1
0
−
"
x2 2
#1
0
= 2 3 −1
2 = 1 6.
Gdybyśmy natomiast chcieli wyliczyć EX bez odwoływania się do rozkładu zmiennej losowej X, wówczas pamiętając, że X = Z2, wystarczyłoby dokonać podstawienia:
EX = EZ2= 1 6.
