Analiza Matematyczna I Wydział MiNI PW (ISI i IAD) Wykład 8

Analiza Matematyczna I Wydział MiNI PW (ISI i IAD)

Wykład 8

rok akad. 2020/2021 semestr zimowy

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Definicja pochodnej i jej interpretacja geometryczna

Niech f będzie funkcją określoną na zbiorze D ⊂ R, o wartościach w R. Niech a będzie punktem skupienia zbioru D. Najczęściej będziemy rozważać sytuację, w której a jest punktem wewnętrznym zbioru zbioru D, tzn. istnieje δ > 0 taka, że (a − δ, a + δ) ⊂ D.

Definicja. Mówimy, że f jest różniczkowalna w punkcie a wtedy i tylko wtedy gdy istnieje skończona granica

lim

h→0

f (a + h) − f (a) h

Wówczas granicę tą nazywamy pochodną funkcji f w punkcie a i oznaczamy symbolem f⁰(a) lub df

dx(a).

Zauważmy jeszcze, że

lim

h→0

f (a + h) − f (a)

h = lim

x→a

f (x) − f (a) x − a ,

a zatem w definicji pochodnej możemy użyć granicy występującej po prawej stronie powyższej równości.

Definicja. Pochodną lewostronną i prawostronną funkcji f w punkcie a nazywamy odpo- wiednio

lim

h→0⁻

f (a + h) − f (a)

h i lim

h→0⁺

f (a + h) − f (a)

h ,

øile granice istnieją i są skończone.

Definicja. Załóżmy, że każdy punkt zbioru D jest jego punktem skupienia. Mówimy, że funk- cja jest różniczkowalna w D wtedy i tylko wtedy, gdy jest różniczkowalna w każdym punkcie tego zbioru.

Załóżmy teraz, że D jest przedziałem (będziemy używać oznaczenia I zamiast D) i że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie a będącym punktem wewnętrznym tego przedziału (tzn. a nie jest końcem).

Zauważmy, że iloraz różnicowy f (x)−f (a)

x−a to tangens kąta nachylenia siecznej przechodzącej przez punkty (a, f (a)) i (x, f (x)) do osi OX. Istnienie pochodnej w punkcie a oznacza istnienie stycznej do wykresu f w punkcie (a, f (a)). Liczba f⁰(a) jest współczynnikiem kierunkowym tej stycznej.

Rysunek 1: Iloraz różnicowy to tangens kąta nachylenia siecznej przechodzącej przez punkty (a, f (a)) i (x, f (x)).

Definicja. Niech f : I → R będzie funkcją różniczkowalną w punkcie a, gdzie a jest punktem wewnętrznym przedziału I. Styczną do wykresu funkcji f w punkcie a nazywamy prostą opisaną równaniem:

y − f (a) = f⁰(a)(x − a).

Związek różniczkowalności z ciągłością

Nadal zakładamy, że D ⊂ R, f : D → R i a jest punktem skupienia zbioru D.

Różniczkowalność funkcji jest własnością silniejszą od ciągłości:

Twierdzenie 1. Jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie a to jest też w tym punkcie ciągła.

Dowód. Załóżmy, że f jest różniczkowalna w punkcie a. Wówczas

x→alim(f (x) − f (a)) = lim

x→a

(f (x) − f (a))

x − a (x − a) = lim

x→a

(f (x) − f (a)) x − a · lim

x→a(x − a) = 0.

Z ciągłości funkcji w punkcie nie wynika jej różniczkowalność w tym punkcie:

Przykład. Funkcja f (x) = |x| jest ciągła w punkcie 0, ale nie ma w tym punkcie pochodnej, bo

lim

h→0⁺

f (0 + h) − f (0)

h = 1 i lim

h→0⁻

f (0 + h) − f (0)

h = −1.

Istnieją także funkcje ciągłe, które nie mają pochodnej w żadnym punkcie.

Reguły obliczania pochodnej

Wprost z definicji pochodnej wynika, że jeśli f jest funkcją stałą, to f⁰ ≡ 0. Udowodnimy teraz wzory na pochodne sumy, iloczynu i ilorazu funkcji różniczkowalnych.

Twierdzenie 2 (Arytmetyczne własności pochodnej). Niech f, g : D → R będą funkcjami różniczkowalnymi w punkcie a. Wówczas różniczkowalne w punkcie a są funkcje

f + g, cf (gdzie c ∈ R), f g, ^f_g (o ile g(x) 6= 0 dla każdego x ∈ D), przy czym zachodzą wzory:

(f + g)⁰(a) = f⁰(a) + g⁰(a), (cf )⁰(a) = cf⁰(a),

(f g)⁰(a) = f⁰(a)g(a) + f (a)g⁰(a),

f g

0

(a) = f⁰(a)g(a) − f (a)g⁰(a) (g(a))² .

Dowód. Wzór na pochodną iloczynu funkcji przez stałą wynika wprost z definicji (lub z ko- lejnego wzoru, na pochodną iloczynu). Udowodnimy pozostałe 3 wzory.

1. Wzór na pochodną sumy:

(f +g)⁰(a) = lim

x→a

f (x) + g(x) − f (a) − g(a)

x − a = lim

x→a

f (x) − f (a) x − a + lim

x→a

g(x) − g(a)

x − a = f⁰(a)+g⁰(a).

2. Wzór na pochodną iloczynu:

(f · g)⁰(a) = lim

x→a

f (x)g(x) − f (a)g(a) x − a

= lim

x→a

f (x)g(x) − f (a)g(x) + f (a)g(x) − f (a)g(a) x − a

= lim

x→a

f (x) − f (a)

x − a · g(x) + lim

x→a

g(x) − g(a) x − a · f (a)

= f⁰(a)g(a) + g⁰(a)f (a).

Wykorzystaliśmy tu ciągłość funkcji g w punkcie a (czyli Tw.1).

3. Wzór na pochodną ilorazu:

f g

0

(a) = lim

x→a f (x) g(x)− ^{f (a)}_g(a)

x − a = lim

x→a

f (x)g(a) − f (a)g(x) (x − a)g(x)g(a)

= lim

x→a

(f (a) + f (x) − f (a))g(a) − f (a)(g(a) + g(x) − g(a)) (x − a)g(x)g(a)

= lim

x→a

(f (x) − f (a))g(a) − f (a)(g(x) − g(a)) (x − a)g(x)g(a)

= f⁰(a)g(a) − g⁰(a)f (a) g²(a) .

Wniosek. Przy założeniu, że dla dowolnego x ∈ D f (x) 6= 0 zachodzi wzór

1 f

0

(a) = −f⁰(a) f²(a) .

Twierdzenie 3 (Pochodna złożenia). Niech g : A → R, f : B → R, gdzie A, B ⊂ R i g(A) ⊂ B. Jeśli g jest różniczkowalna w punkcie a i f jest różniczkowalna w g(a) to f ◦ g jest różniczkowalna w a i zachodzi wzór

(f ◦ g)⁰(a) = f⁰(g(a))g⁰(a).

Dowód Twierdzenia 3 poprzedzimy następującym lematem:

Lemat. Niech f : D → R, D ⊂ R i niech a ∈ D będzie punktem skupienia zbioru D.

Wówczas funkcja f jest różniczkowalna w punkcie a wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba k ∈ R i funkcja ra: D → R taka, że

f (x) = f (a) + k(x − a)

| {z }

f unkcja liniowa

+r_a(x)(x − a) dla x ∈ D,

przy czym

x→alimra(x) = 0.

Dowód. (Lematu)

/ =⇒ / Załóżmy, że f jest różniczkowalna w punkcie a. Zdefiniujmy r_a(x) =

(f (x)−f (a)

x−a − f⁰(a) dla x 6= a

0 dla x = a.

Mamy wówczas f⁰(a) = lim

x→a

f (x) − f (a)

x − a =⇒ f (x) − f (a) = f⁰(a)(x − a) + r_a(x)(x − a), gdzie r_a(x) → 0 gdy x → a. Czyli k = f⁰(a).

/ ⇐= / Jeśli istnieją r_a i k, takie, że

f (x) = f (a) + k(x − a) + r_a(x)(x − a) dla x ∈ D, przy czym

x→alimr_a(x) = 0, to istnieje granica

x→alim

f (x) − f (a) x − a = lim

x→a(k + r_a(x)) = k.

Idea tego lematu jest następująca: jeśli funkcja jest różniczkowalna, to można ją przybliżać funkcją liniową, przy czym błąd tego przybliżenia po podzieleniu przez (x − a) zbiega do 0 przy x → a.

Dowód. (Wzoru na pochodną złożenia, czyli Tw.3) Chcemy wykazać, że

x→alim

(f ◦ g)(x) − (f ◦ g)(a)

x − a = f⁰(g(a))g⁰(a).

Korzystając z lematu możemy napisać

(f ◦ g)(x) − (f ◦ g)(a) = f (g(a) + g(x) − g(a)) − f (g(a))

Lemat

= f⁰(g(a))(g(x) − g(a)) + r_g(a)(g(x)) · (g(x) − g(a)), gdzie r_g(a)(g(x)) → 0 przy x → a (bo wtedy g(x) → g(a), z ciągłości g w punkcie a).

Po podzieleniu obu stron przez x − a otrzymamy (f ◦ g)(x) − (f ◦ g)(a)

x − a = f⁰(g(a))g(x) − g(a)

x − a + r_g(a)(g(x))g(x) − g(a) x − a . Gdy x → a, to drugi składnik powyższego wyrażenia dąży do 0 a pierwszy do f⁰(g(a))g⁰(a).

Twierdzenie 4 (Pochodna funkcji odwrotnej). Niech f : I → R, gdzie I ⊂ R jest przedzia- łem, będzie funkcją różnowartościową i różniczkowalną w I i niech a ∈ I. Jeśli f⁰(a) 6= 0 to funkcja f⁻¹: f (I) → I jest różniczkowalna w punkcie b = f (a) i zachodzi wzór

f^−10(b) = 1 f⁰(a).

Wzory na pochodne funkcji elementarnych

Wyprowadzimy teraz wzory na pochodne niektórych funkcji elementarnych.

• Jeśli f (x) = xⁿto f⁰(x) = nxⁿ⁻¹dla x ∈ R i n ∈ Z\{0} (przy czym dla n = 1 f⁰(x) ≡ 1, zaś dla n ujemnych zakładamy dodatkowo, że x 6= 0)

Dowód. Załóżmy najpierw, że n ∈ N.Wówczas

x→alim

xⁿ− aⁿ x − a = lim

x→a(xⁿ⁻¹+ xⁿ⁻²a + .. + aⁿ⁻¹) = naⁿ⁻¹.

Natomiast dla n ujemnych (przy założeniu a 6= 0) wystarczy policzyć pochodną funkcji f (x) = ¹_x i skorzystać ze wzoru na pochodną złożenia:

x→alim

1 x −¹_a x − a = lim

x→a

a − x

(x − a)xa = − 1 a²

(x⁻ⁿ)⁰ =

1 x

n0

= n

1 x

n−1

·



−1 x²



= −nx⁻ⁿ⁻¹.

• (sin)⁰(x) = cos x dla x ∈ R

Dowód.

x→alim

sin x − sin a x − a = lim

x→a

2 sin^x−a₂ cos^x+a₂

x − a = cos a.

• (cos)⁰(x) = − sin x dla x ∈ R

• (tg)⁰(x) = _cos¹_2x dla x ∈ R \ {^π₂ + kπ : k ∈ Z}

• (ctg)⁰(x) = ⁻¹

sin²x dla x ∈ R \ {kπ : k ∈ Z}

• (ln)⁰(x) = ¹_x dla x ∈ (0, ∞)

Dowód. Dla a > 0 mamy lim

h→0

ln(a + h) − ln a

h = lim

h→0

1 aln

 1 +h

a

a/h

= 1

aln e = 1 a.

• (exp)⁰(x) = exp(x) dla x ∈ R

Dowód. Wykorzystamy wzór na pochodną funkcji odwrotnej. Funkcja exp jest różnicz- kowalna jako funkcja odwrotna do funkcji ln. Niech y = exp x. Wówczas

(exp)⁰(x) = 1

(ln)⁰(y) = 1

1/y = y = exp x.

• Jeśli f (x) = x^p dla x ∈ (0, ∞) i p ∈ R to f⁰(x) = px^p−1

(jest to uogólnienie wzoru na pochodną funkcji f (x) = xⁿ, n ∈ Z).

Dowód. Zapiszmy f (x) = e^{p ln x}. Wówczas f⁰(x) = e^{p ln x}· p ·1

x = px^p−1. Na ćwiczeniach wyprowadzimy wzory na pochodne funkcji cyklometrycznych:

• (arc sin)⁰(x) = ^{√ 1}

1−x² dla x ∈ (−1, 1)

• (arc cos)⁰(x) = ^√−1

1−x² dla x ∈ (−1, 1)

• (arctg)⁰(x) = _1+x¹ ₂ dla x ∈ R

• (arcctg)⁰(x) = _1+x⁻¹2 dla x ∈ R

Przykład. Obliczymy pochodną funkcji f (x) = x^x, gdzie x > 0.

Zapiszmy

f (x) = x^x= e^{x ln x}.

Funkcja f jest różniczkowalna jako złożenie funkcji różniczkowalnych, a z poznanych wzorów mamy:

f⁰(x) = e^{x ln x}



ln x + x1 x



= x^x(ln x + 1).