ROZWIĄZANIA ZADAŃ 5-8 z zestawu 60 Zadanie 5.
f (x) = 5e6x− 4700x.
Liczymy pochodną funkcji
f0(x) = 5 · (e6x)0− 4700 · (x)0.
Oczywiście (x)0 = 1, natomiast pochodną funkcji e6x policzymy z wzoru na pochodną funkcji złożonej.
Przyjmujemy:
Funkcja wewnętrzna = 6x = y Funkcja zewnętrzna = ey.
Pochodna funkcji złożonej = (pochodna funkcji zewnętrznej)· (pochodna funkcji wewnętrznej).
W naszym przypadku mamy
(e6x)0 = (ey)0· (6x)0 = ey· 6 = e6x· 6.
Zatem
f0(x) = 5 · e6x· 6 − 4700 · 1 = 30e6x− 4700.
Przyrównujemy pochodną do zera. Otrzymujemy ciąg równań:
30e6x− 4700 = 0, 30e6x= 4700, e6x= 4700
30 = 470 3 , 6x = ln
470 3
,
x =
ln4703
6 ≈ 0,84.
Oznaczmy tę liczbe przez b. Wnioskujemy, że f0 ma stały znak w przedziałach (−∞; b) oraz (b; ∞). Aby się przekonać co to za znak wybieramy po jednym punkcie z każdego przedziału (np. 0 i 1) i obliczamy f0 w tych punktach. Mamy
f0(0) = −4670 < 0, f0(1) ≈ 7402 > 0.
Zatem w pierwszym przedziale funkcja jest malejąca, bo pochodna w tym przedziale jest ujemna, zaś w dru- gim przedziale funkcja jest rosnąca, bo pochodna w tym przedziale jest dodatnia. I to jest nasza odpowiedź.
Zadanie 6.
Liczymy pochodną funkcji f . Mamy
f0(x)21 ·
1 x
0
+ 1
6(x2)0 = 21 ·
− 1 x2
+ 1
6· 2x = −21 x2 +1
3x.
Przyrównujemy pochodną do zera. Otrzymujemy
−21 x2 +1
3x = 0.
Mnożymy równanie przez 3x2 otrzymując kolejno
−63 + x3 = 0,
1
x3= 63, x =√3
63 ≈ 3, 98.
Mamy jeden punkt stacjonarny. Leży on w naszym przedzialeh601; 20i. Funkcja może przyjmowac największą lub najmniejsza wartość albo w punkcie stacjonarnym albo na końcach przedziału. Liczymy
f (√3
63) = 21
√3
63 +(√3 63)2
6 ≈ 7, 92,
f
1 60
= 21 ∗ 60 + 1
6 ∗ 602 ≈ 1260, f (20) = 21
20 +202
6 ≈ 67, 7.
Otrzymujemy odpowiedź: Największą wartością funkcji w tym przedziale jest 21 ∗ 60 +6∗601 2 ≈ 1260, a najmniejszą √321
63+(3
√63)2
6 ≈ 7, 92.
Zadanie 7.
Oznaczmy promień podstawy walca przez r ajego wysokość przez h. Mamy V = πr2· h = 35,
skąd
h = 35 πr2. Obliczamy kolejno:
koszt dna = 2 · πr2, koszt pokrywy górnej = 16 · πr2, koszt ściany bocznej = 22 · 2πrh = 22 · 2πr · 35
πr2 = 1540 r . Zatem koszty całkowite wynoszą
K(r) = 18πr2+ 1540 r .
Zauważmy, że dla r dużych (bardzo płaski walec) pierwszy składnik robi sie bardzo duży, a dla r małych (bardzo wysoki walec) drugi składnik robi sie bardzo duży. Zatem najmniejsza wartość funkcja K osiągnie gdzieś w punkcie pośrednim. Musi to być punkt stacjonarny. Liczymy pochodną funkcji K. Rachunki sa podobne jak w poprzednim zadani, dlatego robimy to bardziej skrótowo. Mamy
K0(r) = 36 · πr −1540 r2 . Przyrównując pochodną do zera otrzymujemy
r3 = 1540
36π ≈ 13, 62.
Skąd
r ≈ 2, 39.
Wstawiając do wzoru na h otrzymamy
h ≈ 1, 95.
Ostatecznie mamy odpowiedź: Dno walca ma mieć promień 2,39m, a wysokość walca ma wynosić 1,95 m.
2
Zadanie 8.
Będziemy korzystać z wzoru
u v
0
= u0v − uv0 v2 . Mamy
f0(x) = (7x − 7)0(4x + 4) − (7x − 7)(4x + 4)0
(4x + 4)2 = 7 · (4x + 4) − (7x − 7) · 4
(4x + 4)2 = 56
(4x + 4)2 = 7 2x2+ 4x + 2. Widzimy bez liczenia, że f0 jest zawsze dodatnia zatem i f0(3) > 0.
Liczymy f00. Mamy
f00(x) = (7)0· (2x2+ 4x + 2) − 7 · (2x2+ 4x + 2)0
(2x2+ 4x + 2)2 = 0 − 7 · (4x + 4)
(2x2+ 4x + 2)2 = −28x − 28 (2x2+ 4x + 2)2.
I tu bez dokładnego liczenia widzimy, że licznik w punkcie 3 jest liczbą ujemną, a mianownik jako kwadrat jest zawsze dodatni. Stąd f00(3) < 0. Korzystając z odpowiedniej tabelki otrzymujemy odpowiedź:
W punkcie x = 3 funkcja rośnie coraz wolniej.
3
