Kilka uwag o czynniku całkującym równań różniczkowych

;

U f ^{A .} J . S t o d ó ł k i e w i c z .

KILKA UWAG

0 CZYNNIKU CAŁKUJĄCYM

_:'r : .

RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH.

KRAKÓW.

NAKŁADEM AKADEMII UMIEJĘTNOŚCI.

S K Ł A D G Ł Ó W N Y W K S IĘ G A R N I S P Ó Ł K I W Y D A W N IC Z E J P O L S K I E J .

1894.

HÜ

■ • .. • r..-."

• ■

■ ■ : Ć l . / Z Z ' S

v y^-\'

A. J. S t o d ó ł k i e w i c z .

KILKA U W A G

0 C Z Y N N I K U CAŁKUJĄCYM

RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH.

KRAKÓW.

NAKŁADEM AKADEMII UMIEJĘTNOŚCI.

S K Ł A D G Ł Ó W N Y W K S IĘ G A R N I S P Ó Ł K I W Y D A W N IC Z E J P O L S K IE J .

1894.

Osobne odbicie z Tomu X X V II. Kozpraw W ydziału m atem atyczno-przyrodniczego Akadem ii U m iejętności w K rakow ie.

b i m m W I G S j )]

2 ⁾

W K r a k o w ie , 1 8 9 4 .— D r u k a r n ia U n iw e r s y te tu J a g ie llo ń s k ie g o , p o d z a rz ą d e m A . M . K o s te rk ie w ic z a .

Kilka uw ag

o czynniku całkującym równań różniczkowych.

Przez

A. J. Stodółkiewicza.

(Ezecz przedstaw iona n a posiedzeniu W ydz. m atem .-przyr. z dnia 9. m aja 1893 r.;

ref. członek Zajączkow ski).

# ---

W podręcznikach do nauki równań różniczkowych w ykładane by­

w ają twierdzenia o czynniku całkującym równań różniczkowych rzędu 1-go z dwiema zmiennemi. Zauważyłem, że istnieje jeszcze kilka twier­

dzeń ogólnych, nieznanych, o ile mi wiadomo, gdyż ani w podręczniku prof. Zajączkowskiego, ani w podręczniku Sturm/a twierdzeń tych nie spotkałem. D la tej przyczyny zamierzam w pracy niniejszej wyłożyć niepodane dotąd twierdzenia o czynniku całkującym , niepozbawione, ja k mi się zdaje, pewnego interesu naukowego i pożytku przy cał­

kowaniu równań.

Niech będzie równanie różniczkowe

A, dXy -j- Ag dx^ -j-. . . -j- Aj

1

; -}-. . . — j- Aj, dxn ^=0, f 1) określające jedne zmienną, jak o funkcyę pozostałych zmiennych nieza­

leżnych.

Napiszmy całkę równania (1) w postaci ogólnej F ( x „ x „ . . . , x n) = c-,

następnie, oznaczmy przez p. czynnik całkitjący równania danego, na­

tenczas będzie:

A . J . S T O D O Ł K IE W IC Z . [132]

9 F S F

(«; h = l , 2 , . . . , n ) .

Rugując fu n k c ję F z równań (2), otrzymamy

^ - ( r z , , - A - ( p X ) ,

<3>

G dy przedstawimy całkę ostatniego równania w kształcie V {x l , x i , . . , , x ^ p.) = c,

natenczas równanie (3) można napisać tak:

_ X d V + X

‘ d x k+ k 9xt +[^ V 9xk 9 x t ) £)[A ~

Zmieniając wartości wskaźników i , Jc od 1 do w, otrzymamy kilka układów równań różniczkowych cząstkowych. W ystarczającem jednak

będzie zbadać własności jednego z tych układów U)

[ > 9x( X n 9xn ^ X n '•9%n 9x{ J ^{9 p ~ ■}

( i = l , 2, . . n — T).

W iem y, źe układowi równań różniczkowych cząstkowych (4) odpowiada zawsze równoważny układ dwóch równań o różniczkach zupełnych

dxn= i ; ^ — - ^ \ d x iy (5)

i i -

X ,

3x,

Pierwsze z tych. rowna,ii jest, oczywista 5 równaniem danem? drugie zaś można napisać w kształcie

^ = i ' i C g - f K

i wyprowadzić kilka wniosków ogólnych.

Po 1-sze, zdarzyć się może, że w równaniu (6) spółczynniki nie zawierają zmiennej x n i, źe wspomniane równanie albo przedstawia ró­

żniczkę dokładną albo też jest łatwiejsze do przecałkow ania, aniżeli

[l">8 j K IL K A U W A G O C ZY N N IK U C A Ł K U JĄ C Y M . 3

równanie dane, natenczas odnajdujem y czynnik całkujący i doprawa- dzamy tym sposobem nasze zagadnienie do szeregu kw adratur.

Po 2-ie, w przypadku szczególnym, gdy

'

1 ( d X ‘ d X A X n V 3xn 9 x i )

ilości stałej, lub funkcyi samej x ;, znalezienie czynnika całkującego jest łatwem, bowiem będzie

i=»-' r

Po 3-cie, w układzie (5) do drugiego równania możemy dodać pierwsze, pomnożone przez pewna ilość A \ w skutek tego będziemy mieli

7, , , 7 1 r 9 X t dX„ 7

J l g r + A i f . - y x { T r(7)

gdzie A jest albo liczbą stałą, albo też funkcyą zmiennej x n. Z równa­

nia (7) wypada wniosek, że, jeżeli 1

X,

1 f d X t 3 X n . v \ r S s s ; - T i - A X ‘) = ‘! ‘

ilości stałej lub funkcyi samej x,, natenczas p łatwo odnaleźć można, gdyż będzie z równania (7)

Ig u + ^ dxn= 2 dx,.

Niemniej doniosłe i ogólne wnioski można wyprowadzić dla ró­

wnania różniczkowego z dwiema zmiennemi

M d x - ^ - N d y — O, *) (8)

w którem M i N oznaczają pewne funkcye zmiennych x i y. Równa­

nie (3) dla powyższego przypadku będzie mieć kształt:

3x 3y ' \ 3x 3y

Przyjąw szy, że ostatniemu równaniu czyni zadość funkcya V (x, y, y) = c,

(

9

*) Gdy M i N są funkcye algebraiczne, natenczas znalezienie czynnika c a łk u ­ jącego sprow adza się zawsze do k w ad ratu r, D nk ład n iejsze uzasadnienie takiego w nio­

sku mieści się w rozprawie m ojej, przedstaw ionej w dniu 5 k w ietnia r. b. n a posie­

dzeniu A kadem ii C esarskiej w W ie d n iu : „ Uber die Integration der partiellen Differen­

zialgleichungen erster O rdnung^.

4 A. J . STODÓŁKIEW ICZ. [1 3 4 ]

otrzymamy z (9)

, Td F , . S T f d N 3 M \ 9 V „

~ N ^ + + % “ ) 3 |T = a

Zamiast powyższego równania różniczkowego cząstkowego możemy na­

pisać układ dwóch równań o różniczkach zupełnych

dx dy d\x

^ V 3 a? 3y ) czyli

CIO) ~ x dy d lg

1 ' —N M 9 N 9M

9 x 3y

Z równań (10) można wyprowadzić kilka wniosków.

W n i o s e k I. Jeżeli odnajdziemy trzy liczby a, ß, y takie, aby

(U)

natenczas

czynnik całkujący równania danego, można łatwo znaleźć.

W rzeczy samej, układ (10) możemy przedstawić w kształcie następu­

jącej proporcyi

a.dx-{-^dyĄ-'f d \ g y . dx

atoli w skutek tożsamości (11) koniecznem jest 7. dx-\-$ dyĄ-y d lg p .= 0 równanie, z którego po przecałkowaniu mamy

a x - \ - ß y + y l g lL = 0, czyli

a»H-ßi/

(12) j j . = e T .

W idzimy więc, że dla równania (8), w przypadku, gdy zachodzi tożsa­

mość (11), czynnikiem całkującym będzie (12).

W n i o s e k II, Jeżeli odnajdziemy trzy liczby o, b, c tak, aby

— a J y + b M + c ( ^ - g ~ ^ -.^ = < p (* ) funkcyi samej x i jeżeli oprócz tego będzie

IV= <{<(*) funkcyi samej zmiennej a?;

[135] K IL K A U W A G O C ZY N N IK U C A ŁK U JĄ C Y M .

albo też, gdy

f d N 3 M ^

— a N + b M + c y - ^ ---^—J = ip(y) funkcyi samej y

i ojDrócz tego

I f = 4 ( y ) ,

natenczas w obu wymienionych przypadkach czynnik całkujący y mo­

żna znaleźć.

W przypadku roztrząsanym układ (10) możemy napisać w kształ­

cie proporcyi

a dx-\-b dy-\-cd \g y dx

czvli, w skutek warunków wyżej omówionych, będzie adx-\-bdy-{-cd Ig- y ę (a?)

dx ć (x) '

C ałkując ostatnie równanie, otrzym amy a x Ą - l y + c Ig y = - J ^dx

związek, z którego bardzo łatwo odnajdziemy wartość y.

W n i o s e k II I. Jeżeli znajdziem y pewną ilość A , jako funkcyę tylko zmiennej y taką, aby

3 N S M . . .

^ =(p (x) funkcyi samej zmiennej x i jeżeli oprócz tego

!:lV = |(a ;) funkcyi* samej zmiennej

albo też, jeżeli odnajdziemy pewną ilość A , ja k o funkcyę tylko zmien­

nej x taką, ażeby

3iV S M

— A ' J V - j - ^ --- p7“ = (f) ^ funkcy i samej ilości y

i oprócz tego

M = ^ (y) funkcyi samej ilości y,

natenczas w obu wymienionych przypadkach czynnik y znaleźć można.

W rzeczy samej, układ (10) możemy napisać tak:

6 A . J . S T O D Ó Ł K IE W IC Z . [136]

A d y Ą - d l g y . dx

~ ~ ~ r ~ 9 N 9 M = - i V ’

A M + T-

czyli, na zasadzie omówionych powyżej w arunków , będzie A d y + d l g ^ - ' ^ d x ,

skad po przecałkowaniu otrzymamy

\ A i y +

Podobnie postępujemy w przypadku drugiej kombinacyi z wymienionych warunków.

3 N d M

W n i o s e k IV. Jeżeli iloraz

T

Jest funkeyą tylko sumy

— aiv-f-piH

aaj-j-ßy, gdzie a i ß sa pewne liczby stałe, natenczas układ (10) pisze­

m y w postaci

d (xx P ßy) lg p-

czyli

3x 9 y

9 N d M

skąd, przy istnieniu powyżej wyszczególnionego warunku, czynnik p.

łatwo odnaleźć.

W n i o s e k V. Jeżeli znajdziemy A , funkcyę samej x \ B funk- cyę samej zmiennej y tak, ażeby

3 N 9 M (13)

natenczas czynnik u. będzie wiadomym.

W rzeczy samej, układ (10) możemy napisać tak:

. . . . A d x - \- £ d y -j-d lg l>- dx

~ 9 N 9 M = ^ W ’

- A N + B M + ~ - d -AL- 9 x 9y

atoli wskutek tożsamości (13) z równania (14) wnioskujemy

A d r-\-B dy-\-d Ig p. = 0,

[137] K IL K A U W A G O CZY N NIK U C A ŁK U JĄ C Y M .

skąd będzie

\g\i.= — ^ A d x — dy.

W n i o s e k VI. Jeżeli

dwie funkcye ^ ( x , y), tudzież

<ps(x, y) obu zmiennych ta k , ażeby było 3 N 3 M

(15) i oprócz tego

<p.

przedstawiać będzie różniczkę dokładną pewnej funkcyi J 5 (a;, y), naten­

czas czynnik y. wiadomym będzie.

Istotnie, układ (10) dla wyszczególnionego wyżej przypadku napi­

sać można w kształcie

<p, da:-ł-<p2 dy -j- d % d x

,, "3W 2M ~~ — W ’

z którego, na zasadzie w arunku (15), wypływa:

dx+ tfs d y + d \ g \ L = 0 , czyli

d CP (a;, y)Ą-d Ig a = 0.

Z ostatniego równania łatwo znaleźć y..

Niezależnie od dowiedzionych twierdzeń bardzo pożytecznem bywa w każdym szczególnym przypadku zbadać układ (10). T ak naprzykład dla równania różniczkowego

(ayn-j-^x"~2-^-cy) dai-)-(aa;’‘-f-ói/”_2-j-ca:) d y = 0 ,

w którem a, ń, c, n są jakiekolw iek liczby, układ (10) będzie:

d x dy d Ig y

— (az"-]-ó y ‘- 2-j-cx) ay"-ir bx,,~2-\-cy a n x n~ '— a n y n~l '

Ztąd łatwo otrzymamy

(n —i ) x n~2 dx-\-[n —l ) y n~2dy ^igp-

— (n—l)x"~2{axn-\-byn~2Jrcx)-\-(yi—l)yn~2{ayn-\-bxn~~2-\-cy) a n ( x n~‘ —y n~‘) ’

czyli

d (xn~‘ y"~‘) d Ig p.

— (n — T )a (x 2n 2—y 2'‘~‘) — (n — 1) c ( x n ‘ — y"~‘) a n ( x n 1—y n ‘)

Po skróceniu przez z ostatniego równania wypadnie

8 A . J . S T O D Ó Ł K IE W IO Z . [138]

— {n— l ) a Jr y n~‘) ~ (n — l ) c czyli

~ { n — l ) [a (af~'5+ y ,- ,) + c] _ Po przeoałkowaniu będzie

albo prościej

-a= [ « ( * ” / + y ,- ' ) + c ]

[A , + C .

^ ig P an

d\gy,.

HO I S Z E W Y M I N I C T W A

A K A D E M I I U M I E J Ę T N O Ś C I

WYDZIAŁU MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZEGO.

R o z p r a w y A k a d e m i i U m ie j ę t n o ś c i. W y d z ia ł m a t e m a t y c z o - p r z y r o d n i - c z y . Serya 11. tom III. ogólnego zbioru tom XXIU, 1891, w S0- dużej, str. 407 z tablicam i i 7 rycinam i w tekście. Cena 5 zir.

— Serya 11, tom IV. Ogólnego zbioru tom XXIV lex. S" str. 395 z 7 tablicam i i 10 rycinam i w tekście. Cena 3 z h \ 50 ct.

— Serya II, tom V. ogólnego zbioru tom XXV. lex. 8° str. 377 z 6 tablicam i i 1 2 rycinam i w tekście. Cena 6 zir. - —

— Serya II, tom VI. ogólnego zbioru tom XXVI. lex. 8° str. 436. z 9 tablicam i i 19 rycinam i w tekście. Cena 6 zir.

E. B a n d r o w s k i : O parazofenylenach, chinonim idach i pochodnych, lex. 8° str. 7.

Cena 15 ct.

L. B i r k e n m a j e r : M arcin Bylica z O lkusza oraz narzędzia astronom iczne, które zapisał Uniwersytetowi. Jagiellońskiem u w roku 1493, z 12 rycinam i w tekście lex. 8 "'Str. 163. Cena 1 fl. 50 ct.

C y b u l s k i i Z a n i e t o w s k i : Dalsze doświadczenia z ko n d en sato ram i: Z ależność pobudzenia nerw ów od energii rozbrojenia, lex. 8° str. 5. Cena 10 ct.

S. D i c k s t e i n : O rozw iązaniu kongruencyi s" — ąy" == O (mod M) lex.. 8° str. 5.

Cena 10 ct.

B. E i c h l e r i M. R a c i b o r s k i : Nowe gatunki zielenic. 8° str. 11 z tablicą.

Cena 20 ct.

J. T a l k o - H r y n c e w i c z : Zarysy lecznictwa ludowego na R usi południowej, lex.

8° str. 461. Cena 3 zir.

S. J e n t y s : O przeszkodach utrudniających w ykrycie diastazy w liściach i łody­

gach, lex. 8° str. 47. Cena 60 ct.

H. K a d y i : Przyczynki do anatom ii porów nawczej zw ierząt dom ow ych (z tablicą je d n ą i 2 rycinam i) lex. 8° str. 22. Cena 50 ct.

S. K ę p i ń s k i : Z teoryi nieciągłych grup podstaw ień liniow ych posiadających spół- czynniki rzeczywiste. Z tablicą, lex. 8° str. 30. - Cena 50 ct.

— O całkach rozw iązań rów nań różniczkowych zw yczajnych liniow ych jed n o ­ rodnych rzędu 2-go, lex. 8° str. 65. Cena 80 ct.

K. K i e c k i : Zachowanie się siły elektrobodźczej i pobudliwości przeciętego, nerw u żaby, lex. 8° str 28. Cena 40 ct.

W. K r e t k o w s k i : O funkcyach rów nych co do wielkości i różnych co do n atu ry , lex. 8° str. 3. Cena 10 ct.

— O pewnej tożsamości, lex. S" str. 4. Cena 10 ct.

F. K r e u t z : O przyczynie błękitnego zabarw ienia, soli kuchennej, lex. 8° str. 13.

Cena 25 ct.

A. M a r s : O złośliwym gruczolaku macicy (Adenoma destruens uteri) (z je d n ą tablicą) lex. 8° str. 15. Cena 50 ct.

W. N a t a n s o n : Studya nad teoryą roztworów,, lex. 8° str. 38. Cena 50 ct.

S. N i e m e n t o w s k i : Przyczynek do charakterystyki związków diazoam idow ych lex. 8° str. 21. Cena 30 ct.

J, N u s b a u m : Materyaly do embryogenii i histogenii równonogów (Isopoda) (z 6 tablicam i) lex. 8° str. 99. Cena 1 złr. 50 ct.

K. O l e a r s k i : Uwagi n ad ciepłem właściweth przy stałej objętości m ięszaniny cie­

czy i pary, łex. 8° str. 4. Cena 10 ct.

— Nowy sposób całkow ania pewnych rów nań różniczkow ych pierwszego rzędu o dw u zmiennych, lex 8° str. 11. Cena 20 ct.

K. O l s z e w s k i i A. W i t k o w s k i : 0 własnościach optycznych ciekłego tlenu.

Z 2 rycinam i, lex 8° str. 4. Cena 10 ct.

(Ciąg dalszy n a odwrotnej stronie.)

B. P a w i e w s k i: O chlofowęglanie etylowym lex. 8° str. 7. Cena 20 et.

— Z teoryi roztw orów (z dw iem a figurami w tekście), lex. 8° str. 20. Cena 30 ct.

G. P i o t r o w s k i : Badania nad pobudliwością i przew odnictwem nerwów, lex. 8°

str. 14. Cena 20 ct.

— O w ahaniu wsteeznem przy pobudzaniu różnych m iejsc tego samego nerw u, lex. 8° str. 31. Cena 25 ct.

J. P u z y n a : 0 w artościach funkcyi analitycznej na okręgach spółśrodkow ych z kotem zbieżności jej elem entu, lex. 8° str. 51. Cena 65 ct.

M. R a c i b o r s k i : Przyczynek do flory retyckiej Polski (z tablicą), lex. 8° str. 16.

Cena 50 ct.

— Perm okarbońska flora kam iow ickiego w apienia (z trzem a tablicam i), lex. 8“

str. 42. Cena 30 ct.

— F lora rety ck a w Tatrach (z je d n ą tablicą) lex. 8° str. 18. Cena 50 ct.

— Desmidya zebrane przez Dr. E. Ciastonia w podróży n a okoto ziemi (z 2 ta ­ blicami), lex. 8° str. 32. Cena 70 ct.

— Pythium Dictyosporum, nieznany pasorzyt skrętnicy (Spirogyra) z tablicą, lex. 8° str. 9. Cena 30 ct.

— F lora retycka północnego stoku gór świętokrzyskich (z pięciom a tablicam i) lex. 8° str. 35. Cena 1 fl.

— Chromatofilia jąd er w orka zalążkowego, lex. 8° str. 20. Cena 30 ct.

— Przyczynek do morfologii ją d ra komórkowego nasion kiełkujących (z jed n ą tablicą), lex. 8° str. 11. Cena 20 ct.

— Cycadeoidea Niedzwiedzkii. Nov. Sp. (z dw iem a tablicam i), lex. 8° str. 10.

Cena 26 ct.

J. S c h r a i n m : 0 działaniu chlorku glinowego na chlorki i brom ki rodników aro ­ matycznych. lex. 8° s tr .'14. Cena 25 ct.

— O połączeniach styrolu z kw asem solnym i brom owodorowym , lex. 8° str. 6.

Cena 10 ct.

J. A. S to d ó ł k i e w i c z : O całkow aniu pod postacią skończoną rów nań różniczko­

wych liniow ych rzędu «s°, lex. 8° str. 5. Cena 10 ct.

—- O kilku klasach rów nań różniczkowych liniowych rzędu n^°, lex. 8° str. 6.

Cena 10 ct.

— Sposób d’ A lem bęrta w zastosow aniu do rów nań różniczkowych liniowych rzędu u®0 ze spółczynnikam i stałym i, lex. 8° str. 7. Cena 10 ct.

L. T e i c h m a n n : N aczynia lim fatyczne w słoniowacinie (Elephantiasis A rabum ) 5 tablic in w teczce, oraz tekst imp. 8° str. 51. Cena 3 złr.

D. W i e r z b i c k i : Spostrzeżenia m agnetyczne wykonane w zachodniej części W . X.

Krakowskiego w roku 1891, lex. 8° str. 20. Cena 30 ct.

A. W i e r z e j s k i : Skorupiaki i w rotki (rotatoria) słodkowodne zebrane w A rgentynie z trzem a tablicam i, lex. 8° sir. 18. Cena 50 ct.

— R otatoria (Wrotki) Galicyi. Z 3 tablicam i i 3 rycinam i w tekście, lex. 8° str. 106.

Cena 1 złr. 25 ct.

I. Z a k r z e w s k i : O gęstości i cieple topliwości lodu, z jed n ą ryciną w tekście, lex. 8° str. 6. Cena 20 ct.

— O zależności ciepła właściwego ciał stałych od tem peratury, lex. 8° str. 16.

Cena 30 ct.

K. Z o r a w s k i : Przyczynek do teoryi zam iany zm iennych w rów naniach różnicz- , kcw ych zw yczajnych rzędu pierwszego, lex. 8° str. 33. Cena 50 ct.

— Drobne przyczynki do teoryi przekształceń i jej zastosowań, lex. 8° str. 12.

Cena 20 ct.

— O zbieżności iteracyi (z dwiem a figurami) lex 8° str. 18 Cena 30 ct.

— O pochodnych nieskończenie wielkiego rzędu, lex. 8° str. 15. Cena 25 ct.

S p r a w o z d a n i a K o m i s y i f i z y o g r a f i c z n e j obejm ujące pogląd na. czynności do­

konane w ciągu roku 1891 oraz m aleryały do fizyogrąfii krajow ej. Tom XXVIT, 8 “ str. 246 i 229 z czterem a tablicam i. Cena 3 złr.

— Tom XXVIII, 8° str. 249 i 266 z 2 tablicam i. Cena 3 złr.

Skład g łó w n y w ydaw n ictw Akadem ii znajduje się w K sięgarni Spółki w ydawniczej Polskiej w K rakowie.