2. Ciągi liczbowe

2. Ciągi liczbowe

Definicja 2.1

Funkcję a:N →R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a i nazywamy n-tym lub ogólnym wyrazem ciągu._n

Ciąg a₁,a₂,K,a_n,K zapisujemy równieŜ w postaci

{ }

an . Przykłady

n

an =2 , n2

a_n = ,

1 1− − +

= n n

a_n .

Definicja 2.2

Ciąg liczbowy

{ }

an nazywamy arytmetycznym, jeŜeli dla kaŜdego n∈N róŜnica r =a_n+1−a_n jest stała.

Ciąg arytmetyczny tradycyjnie definiuje przez podanie pierwszego wyrazu a₁ i róŜnicy r . Dla przykładu, gdy a₁ =1 oraz r =1, to otrzymujemy ciąg kolejnych liczb naturalnych a_n =n.

Dla ciągów arytmetycznych mamy dwa podstawowe wzory r

n a

a_n = ₁ +( −1)⋅ , a n a a

a

S_n ≡ + + _n = + ⁿ ⋅ 2

1

1 K .

Korzystając z tych wzorów moŜemy znaleźć dla ciągu podanego wyŜej 100

1 99 1 ) 1 100

1 (

100 =a + − ⋅r= + ⋅ =

a ,

5050 2 100

100 100 1

2

100 1

1

100 =a +Ka = + +K+ = + ⋅ =

S .

Definicja 2.3

Ciąg liczbowy

{ }

an nazywamy geometrycznym, jeŜeli dla kaŜdego n∈N iloraz

n n

a

q= a ⁺¹ jest stały.

Ciąg geometryczny tradycyjnie definiuje się przez podanie pierwszego wyrazu a₁ i ilorazu q . Dla przykładu, gdy a₁ =1 oraz q=2, to otrzymujemy ciąg an =2ⁿ⁻¹.

Dla ciągów geometrycznych mamy wzory

1 1

⋅ −

= ⁿ

n a q

a ,

, 1 1 ,

1

1 ≠

−

⋅ −

= q

q a q

S

n

n

1

1, =

⋅

=n a q

S_n .

Korzystając z tych wzorów mamy dla ciągu podanego wyŜej

99 99 99

1

100 =a ⋅q =1⋅2 =2

a , 2 1

2 1

2 2 1

2

1 ¹⁰⁰

100 99

100 = −

−

= − +

+

= K

S .

Zastosowania

- oprocentowanie proste Niech

K - kwota początkowa (kapitał wyjściowy, fundusz zdeponowany),0

p - roczna stopa procentowa,

K - kwota końcowa (kwota po n latach, kapitał końcowy).n

Wtedy mamy

) 1

0 ( n p

K

K_n = ⋅ + ⋅ co oznacza, Ŝe

p K K p K

K1 = 0⋅(1+ )= 0 + 0⋅ , p K K p K

K₂ = ₀ ⋅(1+2 )= ₀ + ₀⋅2 , itd.

Mamy zatem tutaj ciąg arytmetyczny o róŜnicy r =K0⋅ p. - oprocentowanie składane (złoŜone)

Przy powyŜszych oznaczeniach mamy

( )

ⁿ

n K p

K = ₀⋅ 1+ co oznacza, Ŝe

p K K p K

K1 = 0⋅(1+ )= 0 + 0⋅ ,

2 0 0

0 2 0

2 K (1 p) K K 2p K p

K = ⋅ + = + ⋅ + ⋅ , itd.

Mamy zatem tutaj ciąg geometryczny o ilorazieq=1+ p.

Obliczanie K przy danym ₀ K nazywamy dyskontowaniem. Mamy wtedy wzory_n K np

K _n

⋅ +

= 1

1

0 , _{n n}

K p

K (1 )

1

0 = ⋅ + .

WyraŜenia

d np

= + 1

1

1 , _n

d p

) 1 (

1

2 = +

nazywamy czynnikami dyskontującymi (są one stablicowane), a róŜnicę D=K_n −K₀ - dyskontem.

Definicja 2.4

Ciąg

{ }

an jest ograniczony z dołu, jeŜeli m a_n

N n R

m∃ ∀ ≥

∈

∈ .

Definicja 2.5

Ciąg

{ }

an jest ograniczony z góry, jeŜeli M a_n

N n R

M∃ ∀ ≤

∈

∈ .

Definicja 2.6

Ciąg

{ }

an jest ograniczony, jeŜeli

M a

m _n

N n R M R

m∃ ∃ ∀ ≤ ≤

∈

∈

∈ .

Twierdzenie 2.1

Ciąg

{ }

an jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy K

a_n

N n R

K∃ ∀ ≤

∈

∈ ₊ .

Przykłady

ciąg a_n =n, n∈N jest ograniczony z dołu (m=1) i nieograniczony z góry, ciąg a_n =1−n, n∈N jest ograniczony z góry (M =0) i nieograniczony z dołu, ciąg a_n =(−1)ⁿ, n∈N jest ograniczony (m=−1, M =1) lub (K =1).

Definicja 2.7

Ciąg

{ }

an jest rosnący, jeŜeli

+1

∈ <

∀ n n

N

n a a .

Definicja 2.8

Ciąg

{ }

an jest malejący, jeŜeli

+1

∈ >

∀ _{n n}

N

n a a .

Definicja 2.9

Ciąg

{ }

an jest niemalejący, jeŜeli

+1

∈ ≤

∀ n n

N

n a a .

Definicja 2.10

Ciąg

{ }

an jest nierosnący, jeŜeli

+1

∈ ≥

∀ _{n n}

N

n a a .

Definicja 2.11

Ciąg

{ }

an jest stały, jeŜeli

+1

∈ =

∀ _{n n}

N

n a a .

Przykłady

ciąg a_n =n² −n jest rosnący, gdyŜ a_n+1−a_n =(n+1)² −(n+1)−n² +n=2n>0, czyli a_n+1 >a_n dla n∈N,

ciąg an =

( )

₂^{1 n} jest malejący, gdyŜ

( )

( )

2 ^{21 1} 1

1 2 1

1 = = <

+ +

n n

n n

a

a , czyli a_n+1 <a_n dla n∈N,

ciąg a_n =(−1)ⁿ nie jest ani rosnący ani malejący, gdyŜ a₁ =−1<a₂ =1 oraz 1

1 ₃

2 = >a =−

a .

Definicja 2.12

Liczbę a nazywamy granicą ciągu

{ }

an , co zapisujemy a_n a

n =

∞

lim→ lub a

a

n n

∞

→→ , jeŜeli

{ } ε

ε∀ ∃ ∀ − <

>

∪

=

∈

> a_n a

n n N N

n_{0 0} 0 ₀

0 .

Uwaga

Nierówność a_n −a <ε jest równowaŜna nierówności a−ε <a_n <a+ε, z której wynika, Ŝe jeŜeli a a

n n

∞

→→ , to prawie wszystkie wyrazy tego ciągu (o numerach wyŜszych od n ) leŜą dostatecznie blisko 0 a(w pasku od a−ε do a+ε , gdzie ε jest dowolnie małą liczbą dodatnią).

Z definicji łatwo uzasadnić, Ŝe 1 0 lim =

∞

→ n

n oraz c c

n =

∞

lim→ , gdzie c∈R.

Twierdzenie 2.2

JeŜeli a_n a

n =

∞

lim→ i b_n b

n =

∞

lim→ , to 1.

(

^an ^bn

)

^{a b}

n + = +

∞

lim→ ,

2.

(

^an ^bn

)

^{a b}

n − = −

∞

lim→ ,

3.

(

^an ^bn

)

^{a b}

n ⋅ = ⋅

∞

lim→ ,

4. b

a b a

n n

n =

∞

lim→ , o ile b≠0 oraz b_n ≠0 dla n∈N. Przykłady

1 3 3 1 1 5 1 1

1 3 5 lim

lim ₃ 3

3

2 = − =−

⋅

⋅

⋅ +

= − +

−

∞

→

∞

→

n n n n n

n n

n

n ,

1 0 0 1 1 1

1 1 lim

lim ₂ = =

⋅

−

− = ^→∞

∞

→

n n n n

n

n

n ,

Twierdzenie 2.3

Zachodzą następujące relacje 1. _n^lim_→∞

( )

^{an k =}

( )

_n^lim_→∞^{an k, gdzie k∈N,}

2. ^p _n

n p

n an a

∞

→

∞

→ = lim

lim , gdzie ^{p∈N \}

{}

^{1 .}

Przykłady

1 2 1

lim 1 2

lim 1 ⁷

7 7

=

=



 





+

= −



 



 +

−

∞

→

∞

→ n

n n

n

n

n ,

1 5 1

lim 3 5

lim 3 ³ ₂ ³

2 3

2 2

−

=

−

− =

= −

−

−

∞

→

∞

→ n

n n

n

n

n .

Twierdzenie 2.3 (o trzech ciągach)

JeŜeli ciągi

{ }

an ,

{ }

bn ,

{ }

cn spełniają warunki:

1. a_n ≤b_n ≤c_n dla kaŜdego n≥n₀, gdzie n0 ∈N0 ≡ N∪

{ }

⁰ ,

2. a c_n g

n n

n = =

∞

→

∞

→ lim

lim , gdzie g∈R,

to b_n g

n =

∞

lim→ .

Przykład

Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granicę ^{n n n n}

n 3 5 7

lim + +

∞

→ .

Mamy

n n

n n

n 3 5 7 3 7

7 ≤ + + ≤ ⋅ dla n∈N, skąd

n

n n n n

3 7 7 5 3

7≤ + + ≤ ⋅ .

PoniewaŜ lim 3=1

∞

→ n

n oraz lim7=7

∞

→

n , zatem na podstawie twierdzenia o trzech ciągach 7

7 5 3

lim + + =

∞

→

n n n n

n .

Twierdzenie 2.4 JeŜeli

1. ciąg

{ }

an jest ograniczony, 2. lim =0

∞

→ n

n b ,

to ^lim_→∞

(

n ^⋅ n

)

⁼⁰

n a b .

Przykład

Obliczyć

( )

n

n

n

lim −1

∞

→ .

Przyjmując a_n =(−1)ⁿ, mamy −1≤an ≤1 dla n∈N, czyli ciąg

{ }

an jest ograniczony.

Analogicznie dla b_n = _n¹ mamy lim =0

∞

→ n

n b . Zatem

( )

¹ ₀

lim − =

∞

→ n

n

n .

Definicja 2.13

Ciąg

{ }

an jest rozbieŜny do +∞, co zapisujemy =+∞

∞

→ n

n a

lim , jeŜeli M

a_n

n n N n

M∀ ∃ ∀ >

>

∈

>0 0 0 0 .

Definicja 2.14

Ciąg

{ }

an jest rozbieŜny do −∞, co zapisujemy =−∞

∞

→ n

n a

lim , jeŜeli M

a_n

n n N n

M∀ ∃ ∀ <−

>

∈

>0 0 0 0 .

Przykłady

+∞

− =

∞

→ 2 1

lim

2

n n

n ,

(

⁻

)

^=−∞

∞

→ n

n 3 log2

lim .

Twierdzenie 2.5

JeŜeli =±∞

∞

→ n

n a

lim , to 1 0

lim =

∞

→ n

n a .

Twierdzenie 2.6

JeŜeli lim =0

∞

→ n

n a , to





∈

>

∞ +

∈

<

∞

= −

∞

→ gdy a n N

N n a

gdy

a _n

n

n n , 0,

, 0 1 ,

lim

Twierdzenie 2.7 n e

n

n  =



 



 +

∞

→

1 1

lim , gdzie e=2,7182818285≈2,72 - stała Eulera,

k n

n e

n k =



 



 +

∞

→ 1

lim , gdzie k∈R.

Przykłady

e e n

n

n

n n

n

1 1 1

1 lim 1

lim  = ¹ =



 



 + −

=



 



 − ⁻

∞

→

∞

→ ,

2 2

1 2 2

1 1 1 1 lim

1 1 lim

1

lim e e

n n

n ⁿ

n

n n

n = ⋅ =



 



 +

 ⋅











 



 



 +

=



 



 +

∞

→

∞

→ +

∞

→ .