x h d gh dp

J. Szantyr – Wykład nr 27 – Przepływy w kanałach otwartych I Przepływy w kanałach otwartych najczęściej wymuszane są

działaniem siły grawitacji. Jako wstępny uproszczony przypadek przeanalizujemy spływ warstwy cieczy nielepkiej o grubości h i jednostkowej szerokości po nachylonej płaszczyźnie, pomijając

wpływ ścian bocznych kanału. Jest to możliwe przy zaniedbaniu sił tarcia cieczy o powierzchnię kanału. Wprowadzamy dwa układy współrzędnych, układ jest związany z nachyloną płaszczyzną.Ox′z′ współrzędnych, układ jest związany z nachyloną płaszczyzną.

W tym przypadku równanie zachowania pędu ma postać:

α ρ g cos z

p = −

∂ ′

∂

x h d gh dp

x d uh du

− ′

′ = ρ α

ρ sin

w kierunku w kierunku

z′

x′

Z pierwszego otrzymujemy:

^{p = p}

^{+ ρ g} ( ^{h − z ′} ) ^{cos α}

gdzie: - ciśnienie na swobodnej powierzchni

p

gdzie: - ciśnienie na swobodnej powierzchni

p

Po wstawieniu do drugiego mamy:

ρ ρ sin α ρ gh cos α x

d gh dh

x d q du

− ′

′ =

gdzie: - objętościowe natężenie przepływu w warstwie

q = u ⋅ h ⋅ 1

α

α

1 sin

2 2

x d gh dh x gh

d dh q h

− ′

′ = co prowadzi do: −

Można to przekształcić do postaci:

α α α

cos cos 1

sin

3 2







 −

= −

′

gh x q

d dh

Widać, że istnieje osobliwość przy wartości krytycznej h

równej:

3

2

cosα g

h_kr = q

Wyrażenie w mianowniku

można zapisać w innej formie:

2 2

3 2 2 3

2

cos cos

cos Fr

gh u gh

h u gh

q  =









= 

=

α α

α

3 cos gh cos ghcos

gh 

 



α

α α

Czyli:

(

) ^α

^α (

)

^α

x d

dh

= −

−

= −

′

gdzie I – spadek niwelacyjny

Dla Fr=1 mamy prędkość krytyczną:

u

= gh

cos α

Możliwe przypadki spływu warstwy cieczy można podzielić na podkrytyczne (Fr<1) – czyli ruch spokojny i nadkrytyczne (Fr>1) – czyli ruch rwący.

W zależności od rodzaju przepływu inaczej zmienia się grubość warstwy cieczy wzdłuż pochylonej płaszczyzny:

Spadek dna Ruch spokojny Ruch rwący

Pochylenie zstępujące

Wzrost h Spadek h

> 0

dh dh < 0

< 1

Fr Fr > 1

zstępujące Pochylenie wstępujące

Spadek h Wzrost h

> 0 x′ d

dh

> 0 x′ d

dh

< 0 x′ d

dh

< 0 x′ d

dh

> 0

α

< 0

α

Analiza równania energii dla przypadku spływu warstwy cieczy o jednostkowej szerokości po nachylonej płaszczyźnie prowadzi do następującej zależności dla tzw. energii właściwej:

α

α

cos 2

2 ²

2 2

h gh gh q

E_w = u + = +

Warunek zachowania energii właściwej:

α α

u

d

dE   =

 

+

=

Z postaci tej zależności wynika, że dla przepływu o nachyleniu zstępującym energia właściwa zawsze rośnie, a dla przepływu o nachyleniu wstępującym – zawsze maleje.

Energia właściwa osiąga minimum przy krytycznej grubości warstwy cieczy odpowiadającej Fr=1.

α α sin 2 cos

2

g u gh

x d

d x

d dE

 =





 

 +

= ′

′

Laminarny przepływ cieczy rzeczywistej (lepkiej)

W takim przypadku możliwe jest

uzyskanie rozwiązania analitycznego równania zachowania pędu, które ma postać:

2 2

sin

0 z

g u

∂ ′ + ∂

= α υ

Warunki brzegowe:

u = 0

= 0

∂ ′

∂ u z

dla:

z ′ = 0

dla:

z ′ = h

= 0

∂ ′

∂ u z

z ′ = h

Rozwiązanie prowadzi do następujących zależności:

Profil prędkości:

Prędkość średnia:

Prędkość maksymalna:

( )

(

)

u ′ = − sin ⋅ ′ 2⋅ − ′ 2

1 α

υ

( )

α sin 3

1

~ 1 ²

0

z gh d z h u

u

h

∫

=

gh u

u sin ~

2

1 ²

max = >

υ α

Wniosek: prędkość przepływu jest proporcjonalna do kwadratu grubości warstwy cieczy, czyli: prędkość przepływu w kanale otwartym rośnie ze wzrostem stopnia napełnienia kanału.

Ważność rozwiązania dla przepływu laminarnego jest ograniczona do zakresu wartości liczby Reynoldsa poniżej około 2000, czyli:

3

3 2

3 max

sin 10 74 , 2000 0

sin 2

1

υ α

α υ

⋅ −

<

→

<

⋅ =

gh h h

u

Z powyższego wzoru wynika, że przepływ laminarny w warstwie spływającej po ścianie pionowej wystąpi przy grubościach

warstwy mniejszych od 0,74 [mm], a na ścianie prawie poziomej (nachylonej pod kątem 1 stopnia) przy grubościach mniejszych od 2,85 [mm]. W rzeczywistych ciekach z reguły występują

przepływy turbulentne o w pełni rozwiniętym profilu prędkości.

Turbulentny przepływ cieczy rzeczywistej (lepkiej)

W przypadku w pełni rozwiniętego przepływu turbulentnego w kanale o stałym nachyleniu parametry przepływu nie zmieniają się wzdłuż strumienia. Energia potencjalna cieczy jest zamieniana na energię wewnętrzną (cieplną) cieczy na skutek działania sił tarcia cieczy o ścianki kanału. Nie ma natomiast zamiany energii potencjalnej na

energię kinetyczną płynącej cieczy. Energia właściwa jest stała wzdłuż przepływu.

l e p

e

e ⋅

=

∆

=

−

C p gS

α

ρ

= sin

0 ^E_w ^{= const}

R

e e

e − = ∆ = ⋅ ρ

τ 1

2

gdzie: l – długość odcinka pomiędzy przekrojami 1 i 2 - naprężenia lepkościowe na ściance kanału - promień hydrauliczny kanału

p

C S R_H =

W takiej sytuacji istnieje związek pomiędzy spadkiem niwelacyjnym (który jest równy w tym przypadku spadkowi hydraulicznemu) a naprężeniami lepkościowymi:

H

H

gR

I p

I ρ

=

=

C p gS

α

ρ

= sin

0 ^E_w ^{= const}

Wyznaczanie oporów tarcia w kanałach

Z analizy przepływu w kanale o chropowatych ściankach można wyprowadzić przybliżoną zależność na średnią prędkość przepływu:

H

H

C I R

R I g C

u ~ = ⋅ ⋅ ⋅ = ′ ⋅

gdzie: - wymiarowy współczynnik, określony np. według zależności:

[

]

C′

6

1 1

RH

C′ = n R_H C = n

n=0,009 dla powierzchni gładkich (glazura)

n=0,012 dla rur czystych i wygładzonego betonu n=0,014 dla ściany z betonu

n=0,018 dla kanału ziemnego z warstwą ilastą

n=0,04 dla kanału ziemnego bardzo źle utrzymanego

Przykład 1

Objętościowe natężenie przepływu w prostokątnym kanale betonowym (n=0,014) o szerokości B=4,0 [m] wynosi Q=5,0 [m**3/s]. Obliczyć krytyczne parametry przepływu w tym kanale

Warunek przepływu krytycznego ma postać:

[ ]

g B h Q

g Q B

A gh

q

kr kr

54 , 81 0

, 9 0

, 4

0 , 0 5

cos 1

3 2

2

3 2

2 2

3 3

2

⋅ =

=

=

→

=

→

=

α

gdzie A – pole przekroju przepływu:

A = B ⋅ h

Prędkość krytyczna:

[

]

h B u Q

kr

kr 2,31

54 , 0 0 , 4

0 ,

5 =

= ⋅

= ⋅

Krytyczny spadek hydrauliczny:

( ) ^{0 , 0033}

1

3 4

2 2 6

1

⋅ → = =

=

′ ⋅

=

H kr kr

H kr

H H

kr

kr

R

n I u

R I

n R R

I C

u

Przykład 2

Niecałkowicie wypełnionym kołowym kolektorem o promieniu r=1,5 Niecałkowicie wypełnionym kołowym kolektorem o promieniu r=1,5 [m] płynie grawitacyjnie woda. Kolektor zbudowano z tworzywa

sztucznego o chropowatości k=0,5 [mm] i spadku I=0,4 [promile].

Sporządzić krzywą natężenia przepływu i krzywą prędkości wody w zależności od poziomu napełnienia kolektora. Przyjąć kinematyczny współczynnik lepkości wody: ^{ν =1,3⋅10−6}

[

]

Objętościowe natężenie przepływu w niecałkowicie wypełnionym przewodzie obliczyć wg wzoru Darcy’ego-Weisbacha:

I A R A g

Q ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

⋅

=υ ⁸ λ

Przy napełnieniu kolektora do głębokości h parametry przepływu są następujące:

- pole przekroju poprzecznego strumienia

(^{h r}) ^a (^{h r})

a r

A + ⋅ + ⋅ −

=

−

⋅

⋅

⋅ +

⋅

⋅

= ₀

0 2

0 360

2 2 180

2 1 360

π β ϕ

- obwód zwilżony kolektora L = ϕ ⋅π ⋅r

0 0

180

gdzie:

r r h−

= arcsin β

β

⋅cos

= r a

- promień hydrauliczny ^R = ^{A L}₀

⋅

⋅

- prędkość przepływu ⋅

υ = 8^⋅gλ^⋅R⋅I

Współczynnik oporu liniowego zależy od chropowatości względnej i liczby Reynoldsa. Można go wyznaczyć metodą kolejnych przybliżeń według poniższego schematu:

- zakładamy wartość współczynnika oporu liniowego λ - obliczamy prędkość przepływu wody wg

wzoru Darcy’ego-Weisbacha υ = 8^{⋅ g}λ^{⋅ R⋅ I}

- obliczamy wartość liczby Reynoldsa

ν υ ⋅ ⋅R

= 4

Re

- dla znanej chropowatości względnej k/(4R) i liczby Reynoldsa obliczamy współczynnik λ z zależności Colebrook’a – White’a:

( )



 



 ⋅

⋅ +

⋅

−

= 3,71

4 Re

51 , log 2

1 2 k R

λ λ

- jeżeli założona wartość współczynnika oporu liniowego nie zgadza się z obliczonym, powyższa procedura jest powtarzana, z przyjęciem wartości obliczonej jako kolejnego założenia

z przyjęciem wartości obliczonej jako kolejnego założenia

Poniżej dla przykładu obliczono natężenie przepływu i prędkość średnią przepływu w kolektorze dla głębokości wody h=0,8 [m]

(

)

a r

A = ₀ ⋅ ⋅ ² + ⋅ − 360ϕ π

gdzie:

[ ]

r r a

r

h 0,469 27,818 cos 1,5 cos27,818 1,327 5

, 1

5 , 1 8 ,

sin 0 − = − → = − → = ⋅ = ⋅ =

− =

= β β

β

(

) _{( )}

_{( )} [ ]

0

513 , 1 5

, 1 8 , 0 327 , 1 5

, 1 14 , 360 3

818 , 27 2

180 m

A + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − =

=

[ ]

r r

L 3,14 1,5 3,256

180

818 , 27 2 180

180 2 180

180 ⁰

0 0

0 0

0 0 − ⋅ ⋅ ⋅ =

=

⋅

⋅ ⋅

= +

⋅

⋅

= β π

ϕ π

[ ]

L

R A 0,465

256 , 3

513 , 1

0

=

=

=

Obliczenie współczynnika oporu liniowego według ww. procedury iteracyjnej daje wynik λ=0,0152.

Średnia prędkość przepływu wynosi wobec tego:

[

]

I R

g 0,98

0152 ,

0

0004 ,

0 465 , 0 81 , 9 8

8 ⋅ ⋅ ⋅ =

⋅ =

⋅

= ⋅ υ λ

Objętościowe natężenie przepływu wynosi:

[

]

A

Q =υ ⋅ = 0,98⋅1,513 =1,483 ³

Po przeprowadzeniu obliczeń dla wszystkich wybranych wartości głębokości wody wyniki można przedstawić graficznie: