(
T E C H N I S C H E H O G E S C H O O L DELFT
A F D E L I N G DER S C H E E P S B O U W - EN S C H E E P V A A R T K U N D E
C E N T R A L E W E R K G R O E P W I S K U N D E
Rapport N o .
C W W - 2
BEPALING VAN HET OPPERVLAK VAN EEN WILLEKEURIGE
FUNKTIE y = f ( x ) DOOR RECURSIEF GEBRUIK VAN
EEN INTEGRATIE PROCEDURE OP VERSCHILLENDE
DEELINTERVALLEN.
I n g . A.P.de Zwaan
augustus 19 77
DeUt University of Tecfinology Ship Hydromechanics Laboratory M e k e l w e g 2
D e l f t 2 2 0 8 Netherlands
1
-INHOUD b l z . 1 . I n l e i d i n g . ^ 1.2 Formules. ^ 2. B e s c h r i j v i n g v a n h e t programma. ^ 2.1 Algemeen ^ 2.1.1. Programma gegevens. ^ 2.1.2. M o t i v e r i n g . ^ 2.1.3. Opzet. ^ 2.2 O r g a n i s a t i e van h e t programma. ^ 2.2.1. G e b r u i k t e methoden. ^ 2.2.2, F o r m u l e s . ^ 2.2.3, Benodigde r a n d a p p a r a t u u r , ^ 2.2.4. V e r k l a r i n g d e r v a r i a b e l e n . 6 2.3 B e s t a n d s o r g a n i s a t i e , ~l 2.3.1. G e b r u i k van de p r o c e d u r e , ~l 1.3.2. G e b r u i k s m o g e l i j k h e d e n , ^ 2.3.3. I n v o e r . ^ 2.3.4. B l o k d i a g r a m . 8 2.3.5. L i s t i n g van de p r o c e d u r e . (2
-1. INLEIDING.
De p u b l i k a t i e g e e f t aan, hoe v a n een " w i l l e k e u r i g e " f u n k t i e y = f ( x ) , t u s s e n
bepaalde grenzen en met een opgegeven n a u w k e u r i g h e i d , h e t o p p e r v l a k b e r e k e n d w o r d t . De methode b e r u s t op de r e g e l v a n Simpson met de k o r r e k t i e t e r m van R i c h a r d s o n . De o p z e t i s z o d a n i g , d a t s t u k k e n van de f u n k t i e d i e een t e g r o t e f o u t geven
worden v e r f i j n d en de r e s t v a n de f u n k t i e d i e geen t e g r o t e f o u t g e e f t , n i e t w o r d t v e r f i j n d .
Tevens w o r d t de n a u w k e u r i g h e i d z o d a n i g b i j g e s t u u r d , d a t a l s een b e p a a l d g e d e e l t e van de f u n k t i e met een g r o t e r e n a u w k e u r i g h e i d w o r d t berekend dan opgegeven, d i t
i n m i n d e r i n g w o r d t g e b r a c h t v o o r h e t v o l g e n d e t e b e r e k e n e n g e d e e l t e v a n de f u n k t i e .
D i t h e e f t h e t v o o r d e e l , d a t h e l e s t i j l e g e d e e l t e n i n de f u n k t i e met een k l e i n e r e n a u w k e u r i g h e i d mogen worden b e r e k e n d , a l s men e r v o o r z o r g d r a a g t d a t diè s t u k k e n h e t e e r s t worden b e r e k e n d , d i e h e t d i c h t s t b i j de opgegeven n a u w k e u r i g h e i d l i g g e n . Zou deze a a n p a s s i n g n i e t t o e g e p a s t worden, dan b e s t a a t de k a n s , d a t de f o u t i n h e t h e t o p p e r v l a k v a n de h e l e s t i j l e g e d e e l t e n v a n de f u n k t i e , ondanks de g r o o t s t e v e r f i j n i n g , g r o t e r b l i j f t dan de opgegeven n a u w k e u r i g h e i d . l__^2^_Formules^ De h o o f d f o r m u l e v a n Simpson i s ; B SJ = ƒ f ( x ) d x = ^ ( f ( 0 ) + 4 f ( 2 ) + f ( 4 ) ) A met t ] u i t [ A , B j
^ ulo
2880 •^'^'-1'' z i e f i g . 1 F i g u u r L.Door v e r k l e i n i n g y a n h e t i n t e r v a l door de p u n t e n 1 en 3 t u s s e n t e voegen i s : B (A+B)/2 B S2 = ƒ f ( x ) d x = ƒ f ( x ) d x + J f ( x ) d x = A A (A+B)/2 5 ( 4 ) ( 4 ) ( f ( 0) . 4 f ( l ) . 2 f ( 2 ) . 4 f ( 3) . f ( 4 ) ) -
HtO
^
f ( t 2 ) j 2 •' ^ - L V ' / ' ' - J - V ' - / • -TJ-v - " y • j - v - r y / 1440 2• r.
A + Bn . r
A + B ~ met t l u i t IJV, —2 ~J ^2 ^ i t ~2~' 5 ( 4 ) S2 = / f ( x ) d x = ^ ( f ( 0 ) + 4 f ( l ) + 2 f ( 2 ) + 4 f ( 3 ) + f ( 4 ) ) - ^^^^f/g^^ f ( t ) met t u i t [^A,B33 -S t e l B-A B 51 = J f ( x ) d x = 2/3 h ( f( 0 ) + 4 f ( 2 ) + f ( 4 ) ) - l i f ^U;) A B 52 = ƒ f ( x ) d x = I/3 h ( f( 0 ) + 4 f ( l ) + 2 f ( 2 ) + 4 f ( 3 ) + f ( 4 ) ) " 43- f ( t ) A
We kunnen zeggen S| = S2 dus S] - S2 = O (met k o r r e k t i e t e r m ) . H i e r u i t v o l g t : 1 16 5 1 5 '/3 h ( f ( 0 ) - 4 f ( l ) + 6 f ( 2 ) - 4 f ( 3 ) + f ( 4 ) ) - f ( t i ) + ^ f ( t ) = O ( 4 ) (4) S t e l f ( t l ) ^ f ( t ) : '/3 h ( f( 0 ) - 4 f ( l ) + 6 f ( 2 ) - 4 f ( 3 ) + f ( 4 ) ) = V 3 f * ' ^ ' ' ( t ) met t u i t 0 , 6 ] H i e r u i t v o l g t : a) de k o r r e k t i e v o o r S2 i s ( f( 0 ) - 4 f ( l ) + 6 f ( 2 ) - 4 f ( 3 ) + f ( 4 ) ) b) de k o r r e k t i e v o o r Si i s h ( f( 0 ) - 4 f ( l ) + 6 f ( 2 ) - 4 f ( 3 ) + f ( 4 ) ) De k o r r e k t i e v o o r S] i s dus 16 maal zo g r o o t . B e p a l i n g v a n de k o r r e k t i e t e r m van R i c h a r d s o n .
Zo A een l i n e a i r e k o m b i n a t i e ''^ ^ ^ z o d a n i g d a t v o o r een n-de graads f ( x ) e x a c t g e l d t . ^
J
f ( x ) d x = ^ ^' t ^ ^2 met A + y = 1 A "T" ]JDe l i n e a i r e k o m b i n a t i e v o o r de r e g e l v a n Simpson i s :
A
Deze l i n e a i r e k o m b i n a t i e t u s s e n S] en S2 g e e f t een k l e i n e r e f o u t dan v o o r e l k v a n deze a f z o n d e r l i j k . De f o u t i n Si i s 16 K E en i n S2 1 x E. A o f B ƒ f ( x ) d x = S2 - ^ h ( f( 0 ) - 4 f ( l ) + 6 f ( 2 ) - 4 f ( 3 ) + f ( 4 ) )
4 -Resumerend I = / f ( x ) d x I [ \ 1 1 h = ^ A S i , = h ( f ( 0 ) + 4 f ( 2 ) + f ( 4 ) ) Si2 = V 3 h ( f ( 0 ) + 4 f ( l ) + 2 f ( 2 ) + 4 f ( 3 ) + f ( 4 ) ) [ \ . 2 . \ De k o r r e k t i e v o o r Sj^2 i s k | = ( f ( 0 ) - 4 f ( l ) + 6 f ( 2 ) - 4 f ( 3 ) + f ( 4 ) ) [1.2.2] D i t heet de " K o r r e k t i e t e r m van R i c h a r d s o n " . A l s g e l d t I ( f ( 0 ) - 4 f ( l ) + 6 f ( 2 ) - 4 f ( 3 ) + f ( 4 ) ) | < e o f I f ( 0 ) - 4 f ( l ) + 6 f ( 2 ) - 4 f ( 3 ) + f ( 4 ) ) | < ^ e I].2.3' B—A • -dan i s : | I - Sj^2
I
< e dus zeker | l - (S^2 ~ ~ÏJ '^^ \ < ^ met T = I/3 h | f ( 0 ) - 4 f ( ] ) + 6 f ( 2 ) - 4 f ( 3 ) + f ( 4 ) | .De gedachte, d i e h i e r a c h t e r z i t i s , d a t de s t u k k e n d i e een t e g r o t e f o u t geven worden v e r f i j n d en de r e s t d i e geen t e g r o t e f o u t geven n i e t behoeven t e worden v e r k l e i n d .
T o e p a s s i n g .
B
De e x a k t e o p l o s s i n g i s j' f ( x ) d x = I A
De o p l o s s i n g met de r e g e l van Simpson i n c l u s i e f de k o r r e k t i e t e r m van R i c h a r d s o n i s : S = '/3 h ( f ( x i ) + 4 f ( x i + h ) + 2 f ( x i + 2 h ) + 4 f ( x i + 3 h ) + f ( x i + 4 h ) ) +
- ^ h ( f ( x i ) - 4 f ( x i + h ) + 6 f ( x i + 2 h ) - 4 f ( x i + 3h) + f ( x i + 4 h ) ) = 0 - K [1.2.4 Geëist w o r d t : | I - S | < e
G e s t e l d w o r d t d a t h e t i n t e r v a l [A , B] i n n s t u k k e n moet worden opgedeeld v o o r d a t aan deze e i s i s v o l d a a n .
Voor e l k s t u k w o r d t h e t o p p e r v l a k berekend v o l g e n s [ l . 2 . 4 ] Het t o t a l e berekende o p p e r v l a k moet v o l d o e n aan:
n
| l - 2 S i l < e i = l
n
S t e l de f o u t i n Sj^ i s \iy^ dan moet g e l d e n E ^ e.
i = l
I k ~ S k | ^ "^ks neem 6]^ = en y]^ < 6]^ dan w o r d t aan deze e i s v o l d a a n .
De f o u t i n Sy^ i s y j ^ , deze f o u t mocht z i j n &y^.
Het v o l g e n d e o p p e r v l a k S\i+] mag nu met een k l e i n e r e n a u w k e u r i g h e i d worden berekend 2
t e r w i j l aan de e i s + - (S|^ + Sj^+l) ^ ^ ^ t o c h v o l d a a n w o r d t . 1 2
~ ^K+l I ^ "^K+l "^^^ "^k+l " n ^ '^^k'^k^ " n ~
Het g e h e l e r e k e n p r o c e s met aangepaste n a u w k e u r i g h e i d v e r l o o p t a l s v o l g t : 6, = ^ ' n 6k = - e - E Mi v o o r K = 1 , 2, n Ll.2.5j ^ i = l Volgens de v e r g e l i j k i n g [ l . 2 . 4 j i s : S^ = - K^^ i n [ x i , X s Kn = 4^ h . ( f ( x i ) - 4 f ( x i + h ) + 6 f ( x i + 2 h ) - 4 f ( x i + 3 h ) + f ( x s ) ) = ^ ^ h . T ^ . u B-A met h = . 4 .n 180 Neem 6^ = e en T,^ 8^ z i e v e r g e l i j k i n g [ l . 2 . 3 j . „ 1 B-A 180 dan I S Kn « TT-45 4n B-A Kn ^ A l s dus v o o r o p p e r v l a k S|^, v o o r K = 1, 2 , 3, . . . . n, de e i s w o r d t g e s t e l d '^K ^ "^k ^ •^Z^ ^» '^^'^ v o l g t d a a r u i t , d a t 1 - S|^ | ^ ^ n dus ook E I - S^ < e. K=l 180 B e l a n g r i j k i s , d a t de a f s c h a t t i n g van T|.^ <: e o n a f h a n k e l i j k i s van h e t a a n t a l d e e l i n t e r v a l l e n .
Het v o o r d e e l h i e r v a n i s , d a t men t i j d e n s h e t r e k e n p r o c e s kan b e p a l e n o f een b e p a a l d s t u k v a n de f u n k t i e v e r f i j n d moet worden o f n i e t .
Men z i t dus n i e t aan een bepaalde v e r d e l i n g v o o r a f v a s t .
I n h e t r e k e n p r o c e s w o r d t v o o r o p p e r v l a k S i aangepast z o a l s aangegeven i n v e r g e -l i j k i n g [ 1 . 2 . 5 J .
2. BESCHRIJVING VAN HET PROGRAMMA. 2_^_l__^_Algeineen_. 2.1.1 Programma gegevens. a) T a a l : Algol-óO b) Geheugen: v a r i a b e l c ) R e k e n t i j d : < 1 m i n
d) Naam: Procedure "IREC". 2.1.2 M o t i v e r i n g .
I n de l i j s t van numerieke subprogramma's v a n h e t Rdencentrum i s de p r o c e d u r e "INSIG" opgenomen.
Deze p r o c e d u r e i s goed b r u i k b a a r v o o r f u n k t i e s met een " n o r m a a l " v e r l o o p .
Voor f u n k t i e s , d i e een " h e e l s t i j l " v e r l o o p hebben i s deze p r o c e d u r e n i e t b r u i k b a a r (kan i n v e e l g e v a l l e n de opgegeven n a u w k e u r i g h e i d n i e t b e r e i k e n en g e b r u i k t zodoende t e v e e l geheugen).
Daarom i s de p r o c e d u r e "IREC" g e s c h r e v e n .
Deze p r o c e d u r e kan v o o r e l k e k o n t i n u e éënwaardige f u n k t i e h e t opper-v l a k b e p a l e n met een opgegeopper-ven a b s o l u t e n a u w k e u r i g h e i d , ongeacht de s t i j I h e i d .
2.1.3 Opzet.
Het programma i s i n de vorm van een r e c u r s i e v e p r o c e d u r e g e s c h r e v e n . De p r o c e d u r e b e p a a l t hoe en waar de f u n k t i e v e r f i j n d w o r d t .
De n a u w k e u r i g h e i d w o r d t i n h e t r e k e n p r o c e s steeds b i j g e s t u u r d , z o d a n i g d a t , de som van de o p p e r v l a k k e n v e r m i n d e r d met de w e r k e l i j k e som zo d i c h t m o g e l i j k l i g t b i j de opgegeven naux>rkeurigheid.
2.2.1 G e b r u i k t e methoden.
De methode v o o r de b e p a l i n g van h e t o p p e r v l a k b e r u s t op de methode van Simpson met de k o r r e k t i e van R i c h a r d s o n .
2.2.2 F o r m u l e s . Z i e h o o f d s t u k 1. 2.2.3 Benodigde r a n d a p p a r a t u u r . Geen. 2.2.4 V e r k l a r i n g van de v a r i a b e l e n . Symbool M a t h e m a t i s c h Programma Eenheid O m s c h r i j v i n g X X - De o n a f h a n k e l i j k v e r a n d e r -l i j k e van de f u n k t i e y = f ( x ) f ( x ) Y - De f u n k t i e f ( x ) : De i n t e g r a n d A A - De ondergrens v a n h e t i n t e r -g r a t i e i n t e r v a l B B — De bovengrens v a n h e t i n t e -g r a t i e i n t e r v a l e EPS De a b s o l u t e n a u w k e u r i g h e i d waarmee de i n t e g r a a l berekend moet worden Tn T De k o r r e k t i e v a n R i c h a r d s o n Tl T2 op de k o n s t a n t e 1/45 h na.
7 -Symbool Eenheid O m s c h r i j v i n g M a t h e m a t i s c h Programma Eenheid O m s c h r i j v i n g 5 i DELTA T < DELTA DELTAMAX = Si = 1 ^ EPS ' B-A S i I D e e l o p p e r v l a k van de f u n k t i e f ( x ) op de k o n s t a n t e 1 na TY s IREC — Het t o t a l e o p p e r v l a k : .1 S-; 1 2j.3j._Bestandsorganisatie_^ 2.3.1 G e b r u i k van de p r o c e d u r e .
Aan de d e k l a r a t i e s van h e t programma moet worden toegevoegd : 'REAL' 'PROCEDURE' IREC; 'CODE';
De p r o c e d u r e s t a a t i n de s t a n d a a r d b i b l i o t h e e k SBAL.LIBCW van de " C e n t r a l e Werkgroep Wiskunde" v a n de a f d e l i n g d e r Scheepsbouw- en Scheepvaartkunde.
2.3.2 G e b r u i k s m o g e l i j k h e d e n .
?BkÊlê_Y°°I^Ê£iden_voor_het_gebruik
- INT: = IREC ( x , x^ + 2x + 1, O, 10, 10"^) - A: = ; B: = ; EPS: = ;
INT: = IREC ( x , x2 + 2x + 1, A, B, EPS) - INT: = IREC ( x , y ( x ) , A, B, EPS)
H i e r i n i s y ( x ) een r e a l p r o c e d u r e .
Opmerking: I n d i e n men de f o u t m e l d i n g k r i j g t :
"Too many c a l l s o f p r o c e d u r e s " , dan i s de waarde EPS t e k l e i n genomen.
2,3.3 I n v o e r ,
De kop v a n de p r o c e d u r e z i e t e r a l s v o l g t u i t : Real Procedure IREC (X,Y,A,B,EPS)
Value A,B,EPS; Real X,Y,A,B,EPS; I n v o e r : Y = f ( x ) De i n t e g r a n d
A De o n d e r g r e n s v a n h e t i n t e g r a t i e i n t e r v a l B De bovengrens v a n h e t i n t e g r a t i e i n t e r v a l EPS De a b s o l u t e n a u w k e u r i g h e i d waarmee de i n t e g r a a l
berekend moet worden U i t v o e r : IREC Het gevraagde o p p e r v l a k
8 -De waarde van x4 j y dx w o r d t op de sommatie-xO l i j n g e p l a a t s t
"1
9 -Blad 2: B l o k d i a g r a m . p l , q l (P2,q2) b e t e k e n t : Bereken: Tl v o o r [a+pl (b--a),a+q1(b--a)] T2 v o o r [a+p2(b--a),a+q2(b--a)] nee xO = a+p1(b-a) x4 = a + q l ( b - a ) xO = a+p2(b-a) x4 = a+q2(b-a) nee |
DELTA aanpassen v o o r h e t volgen-j de i n t e g r a t i e i n t e r v a l [p2,q2] x4 De waarde v a n f ydx w o r d t op xO de s o m m a t i e l i j n g e p l a a t s t . i_. DELTA aanpassen v o o r h e t v o l g e n -de i n t e g r a t i e i n t e r v a l [ p l , q l j x4 De waarde v a n J y d x w o r d t op xO de s o m m a t i e l i j n g e p l a a t s t .
11
-2.3,5 i s t i n r - : v a n de p r o c o d i i r en o n i O 'REAL' 'PRnCEPURE' I R E n ( > ' . , Y , A , n , r P S ) ; 'VALI'f^'A.n, r n . n ; ' P E A I ' Y, A, R, ^'^^ • 0 0 0 2 0 'REGIf!''REAL':'0,X2,X(i,FO,F2,F(i.,P^.LTA,Pr.LTAMAX,T;
0 0 0 3 0 'REAL' 'PROCEPURE' I ( XO, X 2 , X'^ FO, F 2 , F/i, T ) ; 'R^AI ' XO, X 2 , X f i , F 0 , F 2 , F'l, T; 0 003 5 ' D E C I M " R E A L ' X 1 , X 3 , F 1 , F 3 ; OOOtjO X : = X 1 : = ( X 0 + X2 ) / 2 ; F l : -Y;X : =X3 : = ( X2+ X/0/2 ; F3 : 0 00l:-5 ' I F ' A B R d ) >PELTA'T!!EN' 0 0 0 5 0 ' B E C I ! " ' R E A L ' T 1 , T 2 ; 0 0 0 7 0 X: = ( X 0 + X l ) / 2 ; T l : = F 0 + F2 + G * F l - t t A Y ; X : = ( X l + X 2 ) / 2 ; T 1 : - T l - l ! * Y ; 0 0 0 8 0 X : = ( X 2 + X3 ) / 2 ; T 2 : = F2 + F^. + G*F3-t|.*Y;X: = ( X 3 + V ^ l ) / 2 ; T 2 : = T 2 - t ^ * Y ; 0 0 0 0 0 ' I F ' " , B S ( T 2 ) > A B S ( T 1 ) ' T l l E f ! ' 0 0 1 0 0 I : = l ( X 0 , X 1 , X 2 , F 0 , F 1 , F 2 , T 1 ) + I ( X 2 , X3, X.'h, F 2 , F 3 , F!i, T2 ) ' EL^F ' 0 0 1 1 0 I : = I ( X 2 , X 3 , X 4 , F 2 , F 3 , F J | , T 2 ) + I ( X 0 , X 1 , X 2 , FO, F l , F 2 , T l ) ; 0 0 1 2 0 ' E N P " E L S E ' 0 0 1 3 0 'BEG I M' I : = (Xf;-XO ) * ( F 0 + ! ^ A ( F l + F 3 ) + 2*F2 + F ' l • - T / 1 5 ) ; 0 0 1 /i 0 RELTA: =DELTAf lAX +ABS (P E L T A ) - ABS ( T ) ;
0 0 1 5 0 ' E f l P ' ;
OOIGO ' ENP '; X : =X0 : =A; FO : =Y; X : =X't: =R; FU : = Y; X : =X2 : = ( vo + X':- V 2 ; F2 : =Y; 0 0 1 7 0 X : = ( X 0 + X2 ) / 2 ; T : =F0 + F4 + G * F 2 - l i * Y ; X : = ( X2+ X4 ) / 2; T : =T-/i.*Y;
0 018 0 PELTAMAX:=PELTA:=18 0 * E P S / ( B - A ) ; I REP : = 1 ( XO, X 2 , X'i , FO, F 2 , F ( i . , T ) / i 2 ; 0 0 1 9 0 'EMD'PROCEDURE IREC;
!["Fontes iuris antejustiniani. Pars tertia. Negotia", V. Arangio Ruiz, Florentiae 1943 : [recenzja]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)