1. Całka podwójna

1. Całka podwójna

1.1 Całka podwójna w prostokącie

Niech dany będzie prostokąt P=[a;b]×[c;d]⊂R², przy czym −∞<a<b<∞,

∞

<

<

<

∞

− c d , oraz funkcja ciągła f :P→R, f = f(x,y). Całkę podwójną w prostokącie określamy następująco

∫∫ ∫ ∫

^



 



= 

P

d

c b

a DEF

dy dx y x f dxdy

y x

f( , ) ( , )

Uwagi:

1. ^dxdy=^dσ jest elementem pola prostokąta P ,

2.

∫ ∫ ∫ ∫

^



 



= 



 





d

c

b

a d

c b

a

dx dy y x f dy

dx y x

f( , ) ( , ) ,

3. jeŜeli f(x,y)= f₁(x)⋅ f₂(y)^{, to}

∫∫

⁼

∫

^⋅

∫

P

b

a

d

c

dy y f dx x f dxdy y x

f( , ) ₁( ) ₂( ) . Przykład

Obliczyć ⁼

∫∫

⁺

P

dxdy y x

I ( )³ , gdzie P=[0;1]×[0;2]. I sposób:

∫

^⋅

∫

⁺

∫

^⋅

∫

⁺

∫

^⋅

∫

⁺

∫

^⋅

∫

⁼

=

1

0

1

0

2

0

1

0 2

0

1

0 2

0 3 2

2 2

0

3dx dy 3 x dx ydy 3 xdx y dy dx y dy

x I

[ ]

^⋅

[ ]

⁺

[ ] [ ] [ ] [ ]

^{⋅ + ⋅ +}

[ ]

^⋅

[ ]

⁼

= ¹0 ₄^{1 4 2}₂

2 0 3 3 1 1 0 2 2 2 1 0 2 2 1 1 0 3 3 2 1 0 1 0 4 4

1x y 3 x y 3 x y x y

5 , 10 4

1 3

2 3

2 ₃^{1 1}_{2 3}^{8 21}₂

4

1⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = =

= .

II sposób:

∫ ∫ ∫ ∫

^{ =}

∫ [ ]

⁼



 



= 









=

=

= +



 



 +

= ^{1 + +}

0

1

0

1

0 4 2 4 1 2

3 2

0

)3

( t dt dx t dx

dt dy

t y dx x

dy y x

I ^x_x

x

x

[ ] ∫ ∫ [ ^{( )} ] [ ]

∫

^{+ − = + − = + − =}

=

1

0

1

0

1 0 5 20 1 1 0 5 20

4 1 4 4 1 4

1 1

0

4 4 4

1 (x 2) x dx (x 2) dx x dx x 2 x

(

^{3 2}

)

¹ 2 ^10,5 21 20 5 1 5 20

1 ⋅ − − ⋅ = =

= .

1.2 Całka podwójna w obszarach normalnych i regularnych

Obszar D⊂R² nazywamy obszarem normalnym względem osi Ox , jeŜeli moŜna go zapisać w postaci:

{

^{(x,y) R2 : a x b, p(x) y q(x)}

}

D= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ ,

gdzie funkcje p,q∈C([a;b]) oraz p(x)≤q(x), dla x∈[ ba; ].

Całkę podwójną w obszarze D normalnym względem osi Ox określamy dla funkcji ciągłej f :D→R następująco

∫∫ ∫ ∫











= 

D

b

a x q

x p DEF

dx dy y x f dxdy

y x f

) (

) (

) , ( )

,

( .

Obszar D⊂R² nazywamy obszarem normalnym względem osi Oy , jeŜeli moŜna go zapisać w postaci:

{

^{(x,y) R2 : c y d, (y) x (y)}

}

D= ∈ ≤ ≤ α ≤ ≤β ,

gdzie funkcje α,β∈C([c;d]) ^oraz α^(y)≤β^(y), dla y∈[ dc; ].

Całkę podwójną w obszarze D normalnym względem osi Oy określamy dla funkcji ciągłej f :D→R następująco

∫∫ ∫ ∫











= 

D

d

c y

y DEF

dy dx y x f dxdy

y x f

) (

) (

) , ( )

, (

β α

.

Obszar D⊂R² nazywamy regularnym, jeŜeli 1. D= D₁∪D₂ ∪K∪D_k, k∈N,

2. intD_i ∩ intD_j =∅, i≠ j, i, j=1,2,K,k,

3. obszar D_i, i=1,2,K,k, jest normalny względem osi Ox lub osi Oy . Całkę podwójną w obszarze regularnym definiujemy wtedy

∫∫

⁼

∫∫

⁺

∫∫

^{+ +}

∫∫

D D D D_k

dxdy y x f dxdy

y x f dxdy y x f dxdy y x f

1 2

) , ( )

, ( )

, ( )

,

( K .

Przykład

Obliczyć całkę ⁼

∫∫

D

dxdy

I , gdzie D jest obszarem ograniczonym przez parabole x2

y= i x= y².

Obszar D jest normalny względem osi Ox , gdyŜ

x y x D x

≤

≤

≤

≤

2

1

: 0 . Wobec tego

( )

∫ ∫

⁼

∫

^{− =}_^{ −} _^{ = − =}











= 

1

0

1

0

1

0 3 3 1 32 3 2 2

3 1 3 1 3 2

2

x x

dx x x dx

dy I

x

x

.

Obszar D jest takŜe normalny względem osi Oy , gdyŜ

y x y D y

≤

≤

≤

≤

2

1

: 0 . Wobec tego

( )

∫ ∫

_^{ =}

∫

^{− =}_^{ −} _^{ = − =}









= 

1

0

1

0

1

0 3 3 1 32 3 2 2

3 1 3 1 3 2

2

y y

dy y y dy

dx I

y

y

.

Uwaga

D dxdy

D

∫∫

= ^{, gdzie D} oznacza pole (miarę) obszaru D⊂R².

1.3 Zamiana zmiennych w całkach podwójnych

Niech dane będą obszary: D leŜący na płaszczyźnie xOy oraz ∆ leŜący na płaszczyźnie uOv . Przekształceniem obszaru ∆ w obszar D nazywamy odwzorowanie

→D

∆

Φ: takie, Ŝe

D y x v

u → ∈

∋

∆ ( , ) ^Φ ( , ) czyli

∆

= ∈

Φ = ( , )

) , (

) ,

: ( u v

v u y y

v u x

x ,

przy czym x,y∈C¹(∆) oraz jakobian przekształcenia

∆

∈

≠

= 0 ( , ) int

) ,

( _{' '}

' '

v u y dla

y x v x

u J

v u

v

u .

Uwaga

Jakobian zapisuje się teŜ w postaci

v y u y

v x u x v u J

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

∂

∂

= ) , (

Przy wyŜej podanych załoŜeniach dla funkcji ciągłej f :D→R mamy

∫∫ ∫∫

∆

=

D

dudv v u J v u y v u x f dxdy y x

f( , ) ( ( , ), ( , )) ( , )

1.4 Współrzędne biegunowe

PołoŜenie punktu M =(x,y)∈R² moŜna takŜe jednoznacznie opisać za pomocą pary liczb (^r,ϕ)^{, gdzie}

r - oznacza odległość punktu M od początku układu współrzędnych (promień wodzący punktu M ), r ≥0,

ϕ - oznacza miarę kąta między promieniem wodzącym punktu M i dodatnią częścią osi Ox , π

ϕ ² 0≤ ≤ .

Parę liczb (^r,ϕ) nazywamy współrzędnymi biegunowymi punktu płaszczyzny.

Współrzędne kartezjańskie (x,y) punktu płaszczyzny we współrzędnych biegunowych (^r,ϕ) określone są wzorami:

ϕ ϕ sin : cos

r y

r x

= Φ =

Funkcje ^x= ^x(^r,ϕ),^y= ^y(^r,ϕ) są ciągłe wraz z pochodnymi dowolnego rzędu oraz π

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ 0 0, 0 2

cos sin

sin ) cos

,

( _{' '}

' '

≤

≤

>

≠

− =

=

= r dla r

r r y

y x r x

J

r

r .

Zatem dla funkcji ciągłej f :D→R, D⊂R² mamy

∫∫ ∫∫

∆

=

D

rdrd r

r f dxdy y x

f^{( , ) ( cos}ϕ^{, sin}ϕ⁾ ϕ^.

Przykład

Obliczyć całkę ⁼

∫∫

⁺

D

dxdy y x

I ( ^{2 2}) , gdzie D:x² +y² ≤4. Wprowadzając współrzędne biegunowe mamy

∫∫

∆

⋅

= ^{r rdrd}ϕ

I ² , gdzie

π ϕ ² 0

2 : 0

≤

≤

≤

∆ ≤r

, wobec tego ⁼

∫

^⋅

∫

⁼

[ ]

^⋅

^{[ ]}

⁼

2

0

2 0 2 0 4 4 1 2

0

3^{dr πd}ϕ ^r ϕ ^π 8π

r

I .

Przykład

Obliczyć całkę ⁼

∫∫

⁺

D

dxdy y x

I ( ^{2 2}) , gdzie D:x² +y² ≤4x.

ZauwaŜmy najpierw, Ŝe D:(x−2)² +y² ≤4, czyli obszar D jest kołem o środku w punkcie (2,0) i promieniu 2 .

Całkę moŜna obliczyć dwa sposobami:

I sposób – wprowadzamy współrzędne biegunowe i otrzymujemy

∫∫

∆

= ^{r drd}ϕ

I ³ , gdzie

2 2

cos 4

:0 _{π π}

ϕ ϕ

≤

≤

−

≤

∆ ≤r

, stąd

∫ ∫ ∫ [ ] ∫

− −

−

=

=



 



=  ²

2

2

2 cos 4

4 0 4 4 1 2

2 cos 4

0

3 64cos

π π

π π ϕ

π π

ϕ ^{dr d}ϕ ^{r d}ϕ ϕ^dϕ

r

I .

W celu obliczenia tej całki skorzystamy z zaleŜności 2cos²ϕ =cos2ϕ+1^{. Stąd}

( )

∫ ∫ ∫ ∫

− − − −

= +

+

= +

= ²

2

2

2

2

2

2

2 2 2

16 2

cos 32 2

cos 16 1

2 cos 16

π π

π π

π π

π π

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ^{d d d d}

I

( ) [ ] [ ]

∫

− + + − + − =

= ²

2

2 2 2

2

16 2

sin 16 1

4 cos 8

π π

π π π

π ϕ

ϕ ϕ

ϕ ^d

[

^sin4ϕ

]

^π_π ⁸

[ ]

ϕ ^π_π ¹⁶

(

^{0 0}

)

^{16 (π π) 2 (0 0) 8 (π π) 16}π ²⁴π

2 ² _{2 2 2 2}

2 2

2

= + +

⋅ +

−

⋅

= +

⋅ +

−

⋅ + +

= _{− −} .

II sposób – wprowadzamy nowe współrzędne za pomocą odwzorowanie:

v y

u x

= +

Ψ = 2

: ,

gdzie (u,v)∈G. Nietrudno sprawdzić, Ŝe wtedy G:u² +v² ≤4. Ponadto 0

1 1 0

0 ) 1

,

( _{' '}

' '

≠

=

=

=

v u

v u

y y

x v x

u

J ,

zatem

( )

( )

∫∫

^{+ +}

=

G

dudv v u

I 2 ^{2 2} .

Teraz wprowadzamy współrzędne biegunowe:

ϕ ϕ sin : cos

r v

r u

=

Φ = , gdzie (^r,ϕ)∈∆ ^oraz

] 2

; 0 [ ] 2

; 0

[ × π

=

∆ . Mamy

( ) ( )

( )

∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫

∆ ∆ ∆ ∆

= +

+

=

⋅ +

+

= ^r ϕ ^r ϕ ^rdrdϕ ^{r drd}ϕ ^r ϕ^drdϕ ^rdrdϕ

I cos 2 ² sin ^{2 3} 4 ²cos 4

∫

^⋅

∫

⁺

∫

^⋅

∫

⁺

∫

^⋅

∫

^{= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =}

=

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

3 8 2

0 2

3 4 cos 4 4 2 4 0 4 2 2 24

π π π

π π π

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ^{r dr d rdr d}

d dr

r .

Uwaga

W II sposobie moŜna złoŜyć podane odwzorowania: Θ=ΨoΦ , czyli ϕ

ϕ sin

cos : 2

r y

r x

= +

Θ = , gdzie (^r,ϕ)∈∆ ^oraz ∆=^[0;2]×^[0;2π^]. Łatwo sprawdzić,Ŝe jakobian tego

przekształcenia jest równyJ(r,ϕ)=r^. 1.5 Zastosowania całek podwójnych

- Pole obszaru płaskiego

Niech D⊂R² będzie obszarem regularnym. Pole D tego obszaru wyraŜa się wzorem

∫∫

=

D

dxdy

D .

- Objętość bryły

Niech Ω⊂ R³będzie bryłą określoną nierównościami d(x,y)≤ z≤g(x,y), (x,y)∈D, gdzie D⊂R² jest rzutem Ω na płaszczyznę xOy . Zakładamy ponadto, Ŝe funkcje

) ( ,g C D

d ∈ oraz d(x,y)≤ g(x,y) dla (x,y)∈D oraz, Ŝe D jest obszarem regularnym.

Objętość Ω tej bryły wyraŜa się wzorem

[ ]

∫∫

⁻

= Ω

D

dxdy y x d y x

g( , ) ( , ) . - Pole płata

Niech S ⊂R³ będzie płatem (powierzchnią) określoną równaniem z =z(x,y), D

y x, )∈

( , gdzie D⊂R² jest rzutem S na płaszczyznę xOy . Zakładamy, Ŝe z∈C¹(D) oraz, Ŝe D jest obszarem regularnym. Pole S tego płata wyraŜa się wzorem

( ) ( )

∫∫

^{+ +}

=

D

y

x z dxdy

z

S 1 ^{' 2 ' 2} .

W dalszym ciągu będziemy zakładać, Ŝe D⊂R² jest obszarem regularnym o gęstości powierzchniowej masy σ =σ(x,y), przy czym σ ∈C(D). JeŜeli obszar D jest jednorodny, to σ =σ₀ =const.

- Masa obszaru

∫∫

=

D

dxdy y x

m σ( , ) ^.

- Momenty statyczne - względem osi Ox

∫∫

=

D

x y x y dxdy

MS σ( , ) ^,

- względem osi Oy

∫∫

=

D

y x x y dxdy

MS σ( , ) ^.

- Współrzędne środka masy

(

xC yC

)

C = ;

m x_C = MS^y ,

m y_C = MS^x .

- Momenty bezwładności - względem osi Ox

∫∫

=

D

x y x y dxdy

I ²σ( , ) ^, - względem osi Oy

∫∫

=

D

y x x y dxdy

I ²σ( , ) ^, - względem punktu O=(0;0)

( )

∫∫

⁺

=

D

O x y x y dxdy

I ^{2 2} σ( , ) ^.

- NatęŜenie pola elektrycznego

Niech P₀ =(x₀;y₀)∈R² będzie punktem ustalonym, P=(x,y)∈D⊂R² - punktem zmiennym obszaru regularnego D . Wektory wodzące tych punktów oznaczmy odpowiednio przez rr0 =OP0

, rr =OP

, gdzie O=(0;0). NatęŜenie pola indukowane w punkcie P₀ przez ładunek elektryczny o gęstości powierzchniowej (rr)

σ

σ = , rozłoŜony w sposób ciągły na obszarze D wyraŜa się wzorem

∫∫

−

⋅

⋅ −

= ⁻

D

dxdy r

r

r r

E r ₃

0 1 0

0

) ( ) ) (

4

( r r

r r

r πε r σ ^,

gdzie ε₀ - przenikalność elektryczna próŜni, rr−rr₀ = PP₀ = (x−x₀)² +(y−y₀)² .

Przykład

Obliczyć objętość bryły ograniczonej płaszczyznami z =6−2x−y, x=0, y=0,

=0 z .

Mamy tutaj d =0, g =6−2x−y, (x,y)∈D, gdzie D jest ograniczony liniami x

y=6−2 , x=0, y=0. Obszar D moŜna opisać nierównościami

x y

D x

2 6 0

3 : 0

−

≤

≤

≤

≤ .

Zatem

( ) ( )

 ⁼



 



 − −

=

−

−

=

Ω

∫∫ ∫ ∫

^{3 −}

0 2 6

0

2 6 2

6 x y dxdy x y dy dx

x

D

[ ] ( ) [ ]

∫

^{− − =}

∫

^{− + = − + =}

= ^{3 −}

0

3

0

3 0 3 3 2 2 2 2

6 0 2 2

1 18 12 2 18 6 18

2

6y xy y ^xdx x x dx x x x .

Przykład

Obliczyć pole części powierzchni paraboloidy 2

(

^{2 2}

)

1 x y

z = ⋅ + wyciętej przez walec

2 8

2 +y =

x .

Mamy tutaj 2

(

^{2 2}

)

:z 1 x y

S = ⋅ + oraz D:x² +y² ≤8. PoniewaŜ z_x^' =x, z_y^' = y^{, więc}

2 2 2

' 2

') ( ) 1

(

1+ z_x + z_y = +x +y i wobec tego

∫∫

^{+ +}

=

D

dxdy y x

S 1 ^{2 2} .

Wprowadzając współrzędne biegunowe otrzymujemy

∫∫

∆

⋅ +

= ^{r rdrd}ϕ

S 1 ² ,

π ϕ ² 0

2 2 :0

≤

≤

≤

∆ ≤r

. Zatem mamy

∫

^{= ⋅}

∫

^{= ⋅}

[ ]

⁼









=

=

= +

⋅ +

⋅

=

2 2

0

3 3 52 1 3 3 2 3

1 2 2

2

2 1 2

1

2π π ^{t dt} π ^t π

tdt rdr

t dr r

r r

S .

Przykład

Obliczyć masę, momenty statyczne, współrzędne środka masy oraz momenty bezwładności obszaru ograniczonego prostymi x=0, y =0, x+y =3, jeŜeli gęstość powierzchniowa masy wyraŜa się wzorem σ(x,y)= xy^.

Obszar D moŜna opisać nierównościami

x y

D x

−

≤

≤

≤

≤ 3 0

3

: 0 . Zatem mamy kolejno

[ ] ( )

∫∫ ∫ ∫

^{ = ⋅}

∫

^{= ⋅}

∫

^{− + =}



 



= 

= ^{− −}

D

x x

dx x x x dx

xy dx

dy xy xydxdy

m

3

0

3

0

3

0

3 2 2

3 1 0 2 2 1 3

0

6 9

[ ] ( ) ( )

8

27 8

1 4 81 2

81 2 3 1 0 4 4 3 1 2 2 9 2

1⋅ x −2x + x = ⋅ −54+ = ⋅162−216+81 = ,

20 81 3

0 3

0 2

∫∫

2

∫ ∫

^{ =}



 



= 

= ⁻

D

x

x xy dxdy xy dy dx

MS ,

20 81 3

0 3

0 2

∫∫

2

∫ ∫

^{ =}



 



= 

= ⁻

D

x

y x ydxdy x ydy dx

MS ,

5

= 2

= _C

C y

x ,

( )

5

2 5 2;

=

C ,

40 243 3

0 3

0 3

∫∫

3

∫ ∫

^{ =}



 



= 

= ⁻

D

x

x xy dxdy xy dy dx

I ,

40 243 3

0 3

0 3

∫∫

3

∫ ∫

^{ =}



 



= 

= ⁻

D

x

y x ydxdy x ydy dx

I ,

20

= 243

+

= _{x y}

O I I

I .