Funkcje analityczne Wykład 8. Krzywe na płaszczyźnie. Całka krzywoliniowa

Funkcje analityczne

Wykład 8. Krzywe na płaszczyźnie. Całka krzywoliniowa

Paweł Mleczko

Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)

1. Funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej

Funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej Niech A ⊂ R

f = u + iv : A → C f (t) = u(t) + iv(t) t ∈ A

Funkcje u, v są funkcjami rzeczywistymi: u – część rzeczywista v – część urojona

Ciągłość funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej Twierdzenie 1. Niech A ⊂ R, A zbiór otwarty. Funkcja

f = u + iv : A → C

jest ciągła w punkcie t0∈ A wtedy i tylko wtedy, gdy w t0 ciągłe są funkcje u i v.

Różniczkowalność funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej Twierdzenie 2. Niech A ⊂ R, A zbiór otwarty. Funkcja

f = u + iv : A → C

jest różniczkowalna w punkcie t0 wtedy i tylko wtedy, gdy w t0różniczkowalne są funkcje u i v. Wówczas f⁰(t) = u⁰(t0) + iv⁰(t0).

Całkowalność funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej Twierdzenie 3. Niech [a, b] będzie przedziałem. Funkcja

f = u + iv : A → C

jest całkowalna w A wtedy i tylko wtedy, gdy całkowalne są funkcje u i v. Ponadto Z b

a

f (t) dt = Z b

a

u(t) dt + i Z b

a

v(t) dt.

Wybrane własności całki z funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej

1

Twierdzenie 4. Jeśli funkcje f, g są całkowalne w przedziale [a, b], to

| ReRb

af (t) dt =Rb

aRe f (t) dt

| ImRb

af (t) dt =Rb

aIm f (t) dt

| Rb

a(αf (t) + βg(t)), dt = αRb

af (t) dt + βRb

ag(t) dt, α, β ∈ C

| Rb

a f (t) dt =Rc

a f (t) dt +Rb

c f (t) dt, c ∈ (a, b)

| |Rb

a f (t) dt| ¬Rb

a |f (t)| dt

2. Krzywe na płaszczyźnie

Opis parametryczny krzywej

Niech γ : [a, b] → C będzie funkcją ciągłą. Krzywą nazywamy parę uporządkowaną Γ = (γ, γ([a, b])).

Funkcję γ nazywać będziemy opisem parametrycznym krzywej Γ, zbiór γ([a, b]) – podkładem lub obrazem krzywej.

Punkty γ(a), γ(b) to odpowiednio początek i koniec krzywej Γ.

Klasyfikacja krzywych

Krzywą Γ = (γ, γ([a, b])) nazywamy:

| łukiem Jordana – gdy jej opis parametryczny jest funkcją różnowartościową

| krzywą zamkniętą – gdy jej początek pokrywa się z końcem

| krzywą Jordana – gdy jest łukiem Jordana (z wyłączeniem punktów a, b) oraz krzywą zamkniętą

| krzywą regularną – gdy opis parametryczny jest funkcją mającą przedziałami ciągłą pochodną.

W dalszym ciągu będziemy zwykle zakładać, że rozważana krzywa jest regularna.

Krzywe równoważne

Niech γ₁: [a₁, b₁] → C oraz γ2: [a₂, b₂] → C będą opisami parametrycznymi krzywych odpowiednio Γ₁ oraz Γ₂. Mówimy, że krzywe te są równoważne, gdy istnieje suriekcja ϕ : [a₁, b₁] → [a₂, b₂] , rosnąca i ciągła, ϕ jest przedziałami ściśle rosnąca oraz γ2= γ1◦ ϕ.

Krzywe równoważne mają ten sam początek, ten sam koniec oraz równy podkład.

Krzywe zorientowane

Jeżeli krzywa regularna Γ jest krzywą zamkniętą ograniczającą obszar D, to mówimy, że krzywa Γ jest skierowana dodatnio, gdy poruszając się po krzywej zgodnie ze wzrostem parametru, obszar D mamy po lewej stronie (zmiana położenia przeciwnie do ruchu wskazówek zegara). W przeciwnym przypadku krzywą nazwiemy skierowaną ujemnie.

Krzywa przeciwna

Krzywą przeciwną do danej krzywej Γ = (γ, γ([a, b])) nazywamy krzywą daną za pomocą opisu parametrycznego γ(−t) dla t ∈ [−b, −a]. Krzywą przeciwną oznaczamy symbolem −Γ.

Suma krzywych

Dane niech będą krzywe Γ₁ = (γ₁, γ₁([a₁, b₁])) oraz Γ₂ = (γ₂, γ₂([a₂, b₂])). Jeśli γ₁(b) = γ₂(a), to sumą krzywych Γ1 i Γ2 nazywamy krzywą Γ1+ Γ2= (γ, γ([a1, b1+ b2− a2]) daną wzorem

γ(t) =

(γ1(t), t ∈ [a1, b1]

γ₂(t − b₁+ a₂) t ∈ [b₁, b₁+ b₂− a2]

Ważne krzywe: parametryzacje

Poniżej znajdują się ważne krzywe Γ = (γ, γ([a, b])) oraz ich opis parametryczny 2

| odcinek łączący punkty z0 i z1(dodatnio sparametryzowany) γ(t) = z0(1 − t) + z1t t ∈ [0, 1]

| okrąg o środku w z₀ i promieniu r (dodatnio sparametryzowany) γ(t) = z₀+ re^it t ∈ [0, 2π]

3. Całka krzywoliniowa

Całka krzywoliniowa: definicja

Niech Γ = (γ, γ([a, b])) będzie krzywą regularną, f : γ([a, b]) → C funkcją ciągłą. Liczbę Z

Γ

f (z) dz = Z b

a

f (γ(t))γ⁰(t) dt

nazywamy całką krzywoliniową funkcji f wzdłuż krzywej Γ.

Całka krzywoliniowa jest dobrze określona (tzn. jej wartość nie zależy od wyboru parametryzacji).

Całka krzywoliniowa: własności

Twierdzenie 5. Załóżmy, że Γ, Γ₁, Γ₂ są krzywymi regularnymi, natomiast f, g są funkcjami ciągłymi na podkładach tych krzywych. Wówczas

| R

Γ(αf (z) + βg(z)) dz = aR

Γf (z) dz + βR

Γg(z) dz, α, β ∈ C

| R

−Γf (z) dz = −R

Γf (z) dz

| R

Γ1+Γ2f (z) dz =R

Γ1f (z) dz +R

Γ2f (z) dz.

Ważna nierówność

Twierdzenie 6 (Nierówność ML). Jeżeli Γ = (γ, γ([a, b])) jest krzywą regularną, f : γ([a, b]) → C jest funkcją ciągłą, to

   Z

Γ

f (z) dz  ¬ M L, gdzie L jest długością krzywej Γ, natomiast

M := sup

z∈γ([a,b])

|f (z)|.

Długość L krzywej Γ można obliczyć korzystając ze wzoru

L = Z b

a

|γ⁰(t)| dt.

Funkcja pierwotna

Niech G ⊂ C będzie obszarem. Funkcja F : G → C jest nazywana funkcją pierwotną funkcji f : G → C, jeśli dla dowolnego z ∈ G zachodzi równość

F⁰(z) = f (z) z ∈ G.

Z własności całkowania oraz zasadniczego twierdzenia rachunku całkowego (wzoru Newtona–Leibniza) wynika poniższe twierdzenie.

3

Twierdzenie 7. Niech G ⊂ C będzie obszarem, f : G → C funkcją ciągłą. Jeśli f ma funkcję pierwotną F , to dla dowolnej krzywej regularnej Γ = (γ, γ([a, b])) zachodzi równość

Z

Γ

f (z) dz = F (γ(b)) − F (γ(a)).

Twierdzenie o funkcji pierwotnej

Twierdzenie 8. Niech G ⊂ C będzie obszarem, f : G → C funkcją ciągłą. Funkcja f ma funkcję pier- wotną w zbiorze G wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej krzywej regularnej zamkniętej Γ zawartej w G zachodzi równość

Z

Γ

f (z) dz = 0.

Twierdzenie o funkcji pierwotnej: wniosek

Z faktu, że funkcją pierwotną odwzorowania z 7→ zⁿ, n 6= −1, jest z 7→ ^z_n+1ⁿ⁺¹, z ∈ C wynika ważny wniosek.

Wniosek 1. Niech G ⊂ C będzie obszarem. Jeśli Γ jest dowolną zamkniętą krzywą regularną w G, to Z

Γ

zⁿdz = 0 n 6= −1.

4. Zadania na ćwiczenia

1. Znajdź wartość całki krzywoliniowej z funkcji f (z) = 3z liczonej wzdłuż krzywej C1 oraz C2, gdzie

(1, 1) Im

Re C₁

(1, 1) Im

Re C₂

2. Obliczyć

Z

C

|z|dz, gdzie

Im

Re C1

3. Udowodnij, że jeżeli C jest krzywą gładką z punktu z1do z2, to Z

C

dz = z₂− z₁.

4. Udowodnij, że całka krzywoliniowa może zależeć od wyboru krzywej. Niech f (z) = Rez, a C i C⁰będą dwiema liniami łączącymi 0 i 1 + i. C niech ma parametryzację z = (1 + i)t, a C⁰ składa się z dwóch odcinków sparametryzowanych następująco: z = t dla 0 ¬ t ¬ 1 oraz z = 1 + is dla 0 ¬ s ¬ 1.

Udowodnij, że

Z

C

Rezdz 6=

Z

C⁰

Rezdz.

4