Macierze i Wyznaczniki
Kilka wzorów i informacji pomocniczych:
De nicja 1. Tablic¦ nast¦puj¡cej postaci
A =
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ...
am1 am2 . . . amn
nazywamy macierz¡ o m wierszach i n kolumnach, lub macierz¡ wymiaru m × n. Poziome rz¦dy nazywamy wierszami macierzy, a pionowe kolumnami. Liczby aij b¦d¡ce liczbami rzeczywistymi, zespolonymi lub funkcjami nazywamy elementamilub wyrazamimacierzy A. Element aij znajduje si¦ w i−tym wierszu oraz j−tej kolumnie.
B¦dziemy zapisywa¢ A = [aij]m×n lub A = [aij].
Macierze A = [aij]m×n i B = [bij]r×s s¡ równe, je±li maj¡ ten sam wymiar i na tych samych miejscach te same elementy, tzn.
1. m = r i n = s 2. ∀i,j aij = bij
Mm×n(R) - zbiór wszystkich macierzy wymiaru m × n o elementach rzeczywistych
Rodzaje macierzy
• Macierz¡ kwadratow¡ stopnia n nazywamy macierz A = [aij] wymiaru n × n, tzn. macierz o równej ilo±ci wierszy i kolumn. Elementy a11, a22, . . . , ann tworz¡ gªówn¡ przek¡tn¡macierzy A :
A =
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n
... ... ...
an1 an2 . . . ann
;
• Macierz kwadratow¡ stopnia n ≥ 2, której wszystkie elementy stoj¡ce poni»ej jej gªównej przek¡tnej s¡ zerami (tzn. aij = 0 dla i > j) nazywamy macierz¡ górnotrójk¡tn¡:
A =
a11 a12 . . . a1n 0 a22 . . . a2n
... ... ...
0 0 . . . amn
;
• Macierz kwadratow¡ stopnia n ≥ 2, której wszystkie elementy stoj¡ce nad jej gªówn¡ prze- k¡tn¡ s¡ zerami (tzn. aij = 0 dla i < j) nazywamymacierz¡ dolnotrójk¡tn¡:
A =
a11 0 . . . 0 a21 a22 . . . 0 ... ... ...
an1 an2 . . . ann
;
• Macierz, której wszystkie elementy nie stoj¡ce na gªównej przek¡tnej s¡ zerami (tzn. aij = 0 dla i 6= j) nazywamy macierz¡ diagonaln¡:
A =
a11 0 . . . 0 0 a22 . . . 0 ... ... ...
0 0 . . . ann
;
nie oznacza to, »e na przek¡tnej nie mog¡ wyst¦powa¢ zera;
• Kwadratow¡ macierz¡ diagonaln¡ stopnia n, której wszystkie elementy stoj¡ce na jej gªównej przek¡tnej maj¡ warto±¢ 1 nazywamy macierz¡ jednostkow¡ i oznaczamy symbolem In b¡d¹ te» En :
In=
1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 ... ... ...
0 0 . . . 1
;
nazywa si¦ macierz¡ jednostkow¡ stopnia n.
• Macierz wymiaru n×m, której wszystkie elementy s¡ równe zero nazywamymacierz¡ zerow¡.
0 =
0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 ... ... ...
0 0 . . . 0
De nicja 2. Niech A = [aij]m×n. Macierz¡ transponowan¡ macierzy A nazywamy macierz B = [bij]n×m, gdzie
bij = aji.
Macierz transponowan¡ do macierzy A oznaczamy symbolem AT.
Oznacza to, »e macierz AT powstaje z macierzy A przez zamian¦ wierszy na kolumny i kolumny na wiersze.
De nicja 3. Kwadratow¡ macierz nazywamy symetryczn¡ je±li AT = A.
Dziaªania na macierzach
Na macierzach mo»emy wykonywa¢ operacje dodawania(odejmowania), mno»enia oraz operacje mno»enia macierzy przez liczb¦ (skalar).
De nicja 4. Niech A = [aij]m×n, B = [bij]m×n.
• Sum¦ (ró»nic¦) macierzy okre±lamy nast¦puj¡co:
A ± B = [aij± bij].
• Iloczyn macierzy A przez liczb¦ α jak poni»ej
α · A = [αaij]
Oznacza to, »e dwie macierze mo»emy dodawa¢ wtedy i tylko wtedy, gdy maj¡ takie same wymiary. Dodawanie (odejmowanie) polega na dodawaniu (odejmowaniu ) elementów na tych samych pozycjach. Mno»enie macierzy przez liczb¦ to mno»enie ka»dego jej elementu przez t¡
liczb¦.
De nicja 5. Iloczynem macierzy A = [aij]m×n, i macierzy B = [bij]n×p nazywamy macierz C = [cij]m×p okre±lon¡ nast¦puj¡co:
C = A · B =
w1◦ k1 w1◦ k2 . . . w1◦ kr
w2◦ k1 w2◦ k2 . . . w2◦ kr
... ... ...
wm◦ k1 wm◦ k2 . . . wm◦ kr
,
gdzie ◦ oznacza iloczyn skalarny wektorów, natomiast:
w1, . . . , wm - wiersze macierzy A, k1, . . . , kr - kolumny macierzy B.
Oznacza to, »e iloczyn macierzy A i B jest okre±lony tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B, a element cij macierzy C jest iloczynem skalarnym i-tego wiersza macierzy A i j-tej kolumny macierzy B.
De nicja 6. Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A = [aij]n×n, o elementach rzeczywistych lub zespolonych nazywamy funkcj¦, któr¡ oznaczamy symbolem
det A lub |A| przyporz¡dkowuj¡c¡ danej macierzy liczb¦. Funkcja ta jest okre±lona nast¦puj¡co:
• Je±li n = 1, to det A = a11.
• Je±li n ≥ 2, to
det A = (−1)1+1a11det A11+ (−1)1+2a12det A12+ . . . + (−1)1+na1ndet A1n,
gdzie Aij jest macierz¡ stopnia n−1, otrzyman¡ z macierzy A przez skre±lenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.
Skrócone metody obliczania pewnych wyznaczników 1 Reguªa obliczania wyznaczników stopnia drugiego
det a b c d
= ad − bc.
2 Reguªa Sarrusa obliczania wyznaczników stopnia trzeciego.
det
a b c d e f g h i
= aei + bf g + cdh − ceg − af h − bdi.
Uwaga 1. Reguªy te nie przenosz¡ si¦ na wyznaczniki wy»szych stopni.
De nicja 7. Niech A = [aij] b¦dzie macierz¡ kwadratow¡ stopnia n ≥ 2. Dopeªnieniem algebra- icznym elementu aij macierzy A nazywamy liczb¦
dij = (−1)i+jdet Aij,
gdzie Aij jest macierz¡ stopnia n − 1 powstaª¡ z macierzy A przez wykre±lenie i-tego wiersza i j- tej kolumny.
Wªasno±ci wyznacznika
1) Je±li wszystkie elementy jednego z wierszy macierzy A s¡ równe 0, to det A = 0, 2) Je±li w macierzy A dwa wiersze s¡ proporcjonalne, to det A = 0,
3) Przestawienie w macierzy A dwóch wierszy powoduje zmian¦ znaku wyznacznika tej macierzy, 4) Je±li do dowolnego wiersza macierzy A dodamy odpowiadaj¡ce im elementy innego wiersza
pomno»one przez dowoln¡ liczb¦, to wyznacznik tej macierzy nie ulegnie zmianie, np.:
5) det AB = det A · det B oraz det (A + B) = det A + det B , 6) det A = det AT,
7) Pomno»enie przez α dowolnego wiersza macierzy powoduje pomno»enie przez α jej wyznacz- nika.
Uwaga 2. Powy»sze wªasno±ci pozostaj¡ prawdziwe tak»e dla kolumn.
Macierz odwrotna
De nicja 8. Niech A b¦dzie macierz¡ nieosobliwa stopnia n. Mówimy, »e macierz B jest macierz¡
odwrotn¡ do A, je±li
AB = BA = In. Macierz odwrotna do macierzy A oznaczamy symbolem A−1.
Niech D = [dij]n×n oznacza macierz dopeªnie« algebraicznych macierzy A. Wówczas macierz odwrotna A−1 wyra»a si¦ wzorem:
A−1 = 1 det A·
d11 d12 . . . d1n d21 d22 . . . d2n ... ... ...
dn1 dn2 . . . dnn
T
= 1
det A· DT.
Operacje elementarne:
a) dowolny wiersz mno»ymy przez liczb¦ ró»n¡ od 0 b) przestawiamy miejscami dwa dowolne wiersze
c) do dowolnego wiersza dodajemy dowoln¡ kombinacj¦ pozostaªych wierszy Wªasno±ci dziaªa« na macierzach
Niech A i B b¦d¡ macierzami o odpowiednich wymiarach, a α ∈ C. Wówczas:
1. A + B = B + A - przemienno±¢ dodawania macierzy,
2. (A + B) + C = A + (B + C) - ª¡czno±¢ dodawania macierzy, 3. (A ± B)T = AT ± BT
4. A · (B + C) = A · B + A · C -rozdzielno±¢ mno»enia wzgl¦dem dodawania,
5. A · In= In· A = A- macierz jednostkowa jest neutralna ze wzgl¦du na mno»enie, 6. (A · B) · C = A · (B · C)- ª¡czno±¢ mno»enia,
7. α(A + B) = αA + αB, 8. (A · B)T = BTAT, 9. (AT)T = A,
10. (A−1)−1 = A,
11. (A · B)−1 = B−1· A−1, 12. (αA)−1 = α1A−1, 13. (AT)−1 = (A−1)T.
Zadania
1. Dane s¡ macierze:
A =
1 −1 0 2
5 3 2 0
−1 0 1 0
, B =
−2 0 1 3 0 2 1 0 2 3 1 3
, C =
1 3 0
−1 2 3 5 4 1
,
D =
1 0 1
2 −1 −1 0 −2 −3
1 2 3
, E = −3 0 2
0 1 −1
, F =
1
−1 0 3
.
Wykonaj nast¦puj¡ce dziaªania (je±li to mo»liwe):
(a) A + 2B (b) 2A − C (c) A · B
(d) BT · A (e) A + BT (f) A − 2DT
(g) AT · C2 (h) CT · (A + B) (i) E · C · B
(j) F · FT + D · A 2. Oblicz:
(a)
1 0 0 2 0 1 4 0 0 2 3 0 4 0 0 3
·
1 0 0 1 0 1 2 0 0 2 1 0 1 0 0 1
, (b)
2 1 0 −2 1 2 −1 0
2 0 4 2
3 1 2 1
·
1 −1 0 0
2 2 0 1
2 0 3 1
−3 0 2 1
,
(c)
2 1 3
· 1 2 3 , (d) 1 1 1
1 0 2
T
· 1 2 3 0 1 2
,
3. Oblicz warto±¢ wielomiany P (x) = x2− 3x + 5 dla macierzy A =
2 2 0 1 1 1 1 0 3
. 4. Wykorzystuj¡c poznane metody oblicz nast¦puj¡ce wyznaczniki:
(a)
−1 2 3 5
(b)
−2 −8
cos x sin x
(c)
1 2 3 4 5 0 6 7 0
(d)
1 −1 2
0 6 1
2 −2 4
(e)
2 1 2 3 0 2 3 1 0 0 3 1 0 0 0 −2
(f)
0 1 1 1 1 1 3 4 2 1 6 10 3 1 0 12
(g)
1 2 −1 0 0 1 −2 2 1 1 1 −2
0 1 2 1
(h)
8 −5 4 3 2 2 −3 4 2 0 2 −5 4 3 2
−2 1 3 4 0
−2 1 3 4 0
(i)
2 −1 1 0 0
1 2 2 0 0
3 1 1 0 0
−1 2 3 2 1
2 3 5 −1 1
(j)
1 3 2 1 4
2 1 5 1 2
3 4 1 0 1
2 1 1 5 2
3 −1 1 −1 1
(k)
8 5 3 −4 0
−1 2 2 0 2
0 6 7 2 0
9 6 1 −6 0
1 0 1 0 1
(l)
2 6 1 3 2 0 0 2 0 1 3 0 2 0 1 0 1 1 2 2 0 0 4 6 0 0 5 1 1 1 5 9 2 4 8 4
5. Rozwi¡za¢ w zbiorze liczb rzeczywistych równania:
(a)
x 1 2
−1 x 1
1 1 x + 1
= 0 (b)
1 2 1 1
0 1 0 1
1 5 3 2
−1 −2 −5 −x
= 0 (c)
x 0 1 1 0 x 1 x 1
=
x 1 1 x
6. Wykaza¢, »e
x4− x1 y4− y1 z4− z1 x3− x1 y3− y1 z3− z1 x2− x1 y2− y1 z2− z1
=
x1 y1 z1 1 x2 y2 z2 1 x3 y3 z3 1 x4 y4 z4 1
.
7. Znajd¹ macierz odwrotn¡ do danej:
(a) 3 4 5 7
(b) 2 1 3 2
(c)
1 0 0 2 1 0 1 1 2
(d)
2 5 7
6 3 4
5 −2 −3
(e)
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
8. Rozwi¡za¢ poni»sze równania macierzowe:
(a) X + 4 −3 2 3
= 1 0 0 1
(d) 2 1 3 2
· X · −3 2 5 −3
= −2 4 3 −1
(b) 3 4 1 1
· X = 2 9 1 3
(e) X +
0 2 0 2 2 1
= 3 · X
(c) 1 2 3 4
· X = 3 5 5 9
(f)
2 −5
−1 3
X
1 0 0 1 1 0 1 1 1
= −16 −8 −5
10 5 3
9. Rozwi¡» równania macierzowe:
(a) (XT · A − I)−1 = B, gdzie A =
1 1 −1
2 1 0
1 −1 1
, B =
0 3 −2
1 0 1
−1 −2 0
, (b) (XT − I) · A = B, gdzie A = −1 0
2 −1
, B = 2 2 2 2
,
(c) (XA)T = B + XT,gdzie A =
1 0 −1 1 1 −2 1 1 0
, B =
1 2 0 3 1 4
,
(d) AX = X + 4B, gdzie A =
−1 −1 0
−1 0 1
0 1 1
, B =
1 0 1
0 1 0
−1 0 −1
,
10. Oblicz rz¡d macierzy wskazuj¡c niezerowe minory maksymalnych stopni:
(a)
2 −6 −4
−3 9 6
(b)
1 3 4
2 −1 0
4 2 8
(c)
1 3 5 2 2 1
−1 0 3
(d)
1 4 2 8 0 0
(e)
2 3 −1 1
4 2 0 5
0 4 −2 −3
(f)
2 3 4 1 1 0 3 4 4
11. Wykonuj¡c elementarne operacje na wierszach lub kolumnach podanych macierzy obliczy¢
ich rz¦dy.
(a)
1 2 −1
−1 3 0
2 −1 −7
−1 1 −4
(b)
2 3 0 4
1 −1 1 2 5 0 4 −2 1 −1 2 2
(c)
1 −3 2 1 2 2 1 −1 3 1 4 −5 3 5 5
(d)
3 1 6 2 1 2 1 4 2 2 3 1 3 1 3 2 1 2 1 4
12. Sprowadzaj¡c podane macierze do postaci schodkowej wyznaczy¢ ich rz¦dy:
(a)
3 1 2 −1 7
0 1 0 2 1
3 2 2 1 8
0 1 1 5 4
−3 −1 −1 4 2
(b)
1 2 3 1 5
0 4 7 1 2
1 2 3 4 6
−1 −2 −3 5 −3
(c)
8 5 3 −4
−1 2 2 2 6 9 7 0 9 3 1 −6
(d)
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
(e)
2 −30 0 30 60
−3 45 0 −45 −90 5 −75 0 75 150 4 −60 0 60 120
13. W zale»no±ci od parametru p wyznaczy¢ rz¡d macierzy:
(a)
1 p −1 2 2 −1 p 5 1 10 −6 1
(b)
p 1 −1
1 p 1
−1 1 p
(c)
1 2 −1 1
5 1 2 1
4 −1 p 0
3 p 4 −1
(d)
−1 − p −1 −1 −1
5 4 − p 2 2
−2 −1 0 −1
1 0 0 1
