Macierze i Wyznaczniki
Kilka wzorów i informacji pomocniczych:
Definicja. Iloczynem macierzy A = [aij]m×n, i macierzy B = [bij]n×p nazywamy macierz C = [cij]m×p określoną następująco:
C = A · B =
w1◦ k1 w1◦ k2 . . . w1◦ kr w2◦ k1 w2◦ k2 . . . w2◦ kr
... ... ... wm◦ k1 wm◦ k2 . . . wm◦ kr
,
gdzie ◦ oznacza iloczyn skalarny wektorów, natomiast:
w1, . . . , wm - wiersze macierzy A, k1, . . . , kr - kolumny macierzy B.
Oznacza to, że iloczyn macierzy A i B jest określony tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B, a element cij macierzy C jest iloczynem skalarnym i-tego wiersza macierzy A i j-tej kolumny macierzy B.
Definicja. Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A = [aij]n×n, o elementach rzeczywistych lub zespolonych nazywamy funkcję, którą oznaczamy symbolem
det A lub |A| przyporządkowującą danej macierzy liczbę. Funkcja ta jest określona następująco:
• Jeśli n = 1, to det A = a11.
• Jeśli n ≥ 2, to
det A = (−1)1+1a11det A11+ (−1)1+2a12det A12+ . . . + (−1)1+na1ndet A1n,
gdzie Aij jest macierzą stopnia n − 1, otrzymaną z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.
Skrócone metody obliczania pewnych wyznaczników 1 Reguła obliczania wyznaczników stopnia drugiego
det a b c d
= ad − bc.
2 Reguła Sarrusa obliczania wyznaczników stopnia trzeciego.
det
a b c d e f g h i
= aei + bf g + cdh − ceg − af h − bdi.
Uwaga. Reguły te nie przenoszą się na wyznaczniki wyższych stopni.
Definicja. Niech A = [aij] będzie macierzą kwadratową stopnia n ≥ 2. Dopełnieniem algebraicz- nym elementu aij macierzy A nazywamy liczbę
dij = (−1)i+jdet Aij,
gdzie Aij jest macierzą stopnia n − 1 powstałą z macierzy A przez wykreślenie i-tego wiersza i j- tej kolumny.
Twierdzenie.Jeśli A jest macierzą kwadratową stopnia n ≥ 2, to
det A = a1jd1j + a2jd2j + . . . + anjdnj, j − ustalone, 1 ≤ j ≤ n (rozwinięcie Laplace’a względem j-tej kolumny), lub
det A = ai1di1+ ai2di2+ . . . + aindin, i − ustalone, 1 ≤ i ≤ n (rozwinięcie Laplace’a względem i-tego wiersza).
Własności wyznacznika
1) Jeśli wszystkie elementy jednego z wierszy macierzy A są równe 0, to det A = 0, 2) Jeśli w macierzy A dwa wiersze są proporcjonalne, to det A = 0,
3) Przestawienie w macierzy A dwóch wierszy powoduje zmianę znaku wyznacznika tej macierzy, 4) Jeśli do dowolnego wiersza macierzy A dodamy odpowiadające im elementy innego wiersza
pomnożone przez dowolną liczbę, to wyznacznik tej macierzy nie ulegnie zmianie, np.:
5) det AB = det A · det B oraz det (A + B) = det A + det B , 6) det A = det AT,
7) Pomnożenie przez α dowolnego wiersza macierzy powoduje pomnożenie przez α jej wyznacz- nika.
Uwaga. Powyższe własności pozostają prawdziwe także dla kolumn.
Macierz odwrotna
Definicja.Niech A będzie macierzą nieosobliwa stopnia n. Mówimy, że macierz B jest macierzą odwrotną do A, jeśli
AB = BA = In.
Macierz odwrotna do macierzy A oznaczamy symbolem A−1.
Niech D = [dij]n×n oznacza macierz dopełnień algebraicznych macierzy A. Wówczas macierz odwrotna A−1 wyraża się wzorem:
A−1 = 1 det A ·
d11 d12 . . . d1n d21 d22 . . . d2n
... ... ... dn1 dn2 . . . dnn
T
= 1
det A · DT.
Operacje elementarne:
• dowolny wiersz mnożymy przez liczbę różną od 0
• przestawiamy miejscami dwa dowolne wiersze
• do dowolnego wiersza dodajemy dowolną kombinację pozostałych wierszy
Definicja.Minorem stopnia k ∈ N macierzy A wymiaru m × n nazywamy wyznacznik powstały z macierzy A przez wykreślenie m − k wierszy i n − k kolumn. Definicja. Rzędem macierzy A nazy- wamy maksymalny stopień jej niezerowego minora, jaki można uzyskać z macierzy A. Rząd macierzy oznaczamy R(A) (rz(A) lub rank (A)). Przyjmujemy, że jeśli A jest macierzą zerową, to R(A) = 0.
Macierz schodkowa
Definicja. Macierz schodkowa to macierz, której pierwsze niezerowe elementy kolejnych niezero- wych wierszy, znajdują się w coraz dalszych kolumnach, a powstałe wiersze zerowe umieszcza się jako ostatnie. Rząd macierzy jest wtedy liczbą znaczących wierszy tego układu, czyli liczba schod- ków.
Każda macierz może zostać przekształcona do postaci schodkowej za pomocą operacji elementar- nych, w szczególności za pomocą tzw. metody Gaussa.
Zadania
1. Dane są macierze:
A =
1 −1 0 2
5 3 2 0
−1 0 1 0
, B =
−2 0 1 3 0 2 1 0 2 3 1 3
, C =
1 3 0
−1 2 3 5 4 1
,
D =
1 0 1
2 −1 −1 0 −2 −3
1 2 3
, E = −3 0 2
0 1 −1
, F =
1
−1 0 3
.
Wykonaj następujące działania (jeśli to możliwe):
(a) A + 2B (b) 2A − C (c) A · B
(d) BT · A (e) A + BT (f) A − 2DT
(g) AT · C2 (h) CT · (A + B) (i) E · C · B
(j) F · FT + D · A 2. Oblicz:
(a)
1 0 0 2 0 1 4 0 0 2 3 0 4 0 0 3
·
1 0 0 1 0 1 2 0 0 2 1 0 1 0 0 1
, (b)
2 1 0 0 1 2 0 0 0 0 4 2 0 0 2 1
·
1 0 0 0 2 2 0 0 0 0 3 1 0 0 2 1
,
(c)
2 1 3
· 1 2 3 , (d) 1 1 1
1 0 2
T
· 1 2 3 0 1 2
,
3. Oblicz wartość wielomianu:
(a) P (x) = x2− 5x − 2 dla macierzy A =1 2 3 4
,
(b) P (x) = x2− 2x + 1 dla macierzy A =
1 −1 1
2 1 0
−1 2 3
.
4. Wykorzystując poznane metody oblicz następujące wyznaczniki:
(a)
−1 2 3 5
(b)
−2 −8
cos x sin x
(c)
1 2 3 4 5 0 6 7 0
(d)
1 −1 2
0 6 1
2 −2 4
(e)
2 1 2 3 0 2 3 1 0 0 3 1 0 0 0 −2
(f)
0 1 1 1 1 1 3 4 2 1 6 10 3 1 0 12
(g)
1 2 −1 0 0 1 −2 2 1 1 1 −2
0 1 2 1
(h)
8 −5 4 3 2 2 −3 4 2 0 2 −5 4 3 2
−2 1 3 4 0
−2 1 3 4 0
(i)
2 −1 1 0 0
1 2 2 0 0
3 1 1 0 0
−1 2 3 2 1
2 3 5 −1 1
(j)
1 3 2 1 4
2 1 5 1 2
3 4 1 0 1
2 1 1 5 2
3 −1 1 −1 1
(k)
8 5 3 −4 0
−1 2 2 0 2
0 6 7 2 0
9 6 1 −6 0
1 0 1 0 1
(l)
2 6 1 3 2 0 0 2 0 1 3 0 2 0 1 0 1 1 2 2 0 0 4 6 0 0 5 1 1 1 5 9 2 4 8 4
5. Rozwiązać w zbiorze liczb rzeczywistych równania:
(a)
x 1 2
−1 x 1
1 1 x + 1
= 0 (b)
1 2 1 1
0 1 0 1
1 5 3 2
−1 −2 −5 −x
= 0 (c)
x 0 1 1 0 x 1 x 1
=
x 1 1 x
6. Wykazać, że
x4− x1 y4− y1 z4− z1 x3− x1 y3− y1 z3− z1 x2− x1 y2− y1 z2− z1
=
x1 y1 z1 1 x2 y2 z2 1 x3 y3 z3 1 x4 y4 z4 1
.
7. Znajdź macierz odwrotną do danej:
(a) 3 4 5 7
(b) 2 1 3 2
(c)
1 0 0 2 1 0 1 1 2
(d)
2 5 7
6 3 4
5 −2 −3
(e)
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
8. Rozwiązać poniższe równania macierzowe:
(a) X + 4 −3 2 3
= 1 0 0 1
(d) 2 1 3 2
· X · −3 2 5 −3
= −2 4 3 −1
(b) 3 4 1 1
· X = 2 9 1 3
(e) X +
0 2 0 2 2 1
= 3 · X
(c) 1 2 3 4
· X = 3 5 5 9
(f)
2 −5
−1 3
X
1 0 0 1 1 0 1 1 1
= −16 −8 −5
10 5 3
9. Oblicz rząd macierzy wskazując niezerowe minory maksymalnych stopni:
(a)
2 −6 −4
−3 9 6
(b)
1 3 4
2 −1 0
4 2 8
(c)
1 3 5 2 2 1
−1 0 3
(d)
1 4 2 8 0 0
(e)
2 3 −1 1
4 2 0 5
0 4 −2 −3 4 6 −2 2
(f)
2 3 4 1 1 0 3 4 4
10. Wykonując elementarne operacje na wierszach lub kolumnach podanych macierzy obliczyć ich rzędy.
(a)
1 2 −1
−1 3 0
2 −1 −7
−1 1 −4
(b)
2 3 0 4
1 −1 1 2 5 0 4 −2 1 −1 2 2
(c)
1 −3 2 1 2 2 1 −1 3 1 4 −5 3 5 5
(d)
3 1 6 2 1 2 1 4 2 2 3 1 3 1 3 2 1 2 1 4
(e)
1 2 3 4
0 1 2 3
1 2 0 1
−1 −1 2 2
(f)
1 2 3 4 5
0 1 2 3 4
−1 0 1 2 3
−2 −1 0 1 2
11. Sprowadzając podane macierze do postaci schodkowej wyznaczyć ich rzędy:
(a)
3 1 2 −1 7
0 1 0 2 1
3 2 2 1 8
0 1 1 5 4
−3 −1 −1 4 2
(b)
1 2 3 1 5
0 4 7 1 2
1 2 3 4 6
−1 −2 −3 5 −3
(c)
8 5 3 −4
−1 2 2 2 6 9 7 0 9 3 1 −6
(d)
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
(e)
2 −30 0 30 60
−3 45 0 −45 −90 5 −75 0 75 150 4 −60 0 60 120
12. W zależności od parametru p wyznaczyć rząd macierzy:
(a)
1 p −1 2 2 −1 p 5 1 10 −6 1
(b)
p 1 −1
1 p 1
−1 1 p
(c)
1 2 −1 1
5 1 2 1
4 −1 p 0
3 p 4 −1
(d)
−1 − p −1 −1 −1
5 4 − p 2 2
−2 −1 0 −1
1 0 0 1
Odpowiedzi:
2. a)
3 0 0 3 0 −7 6 0 0 −4 7 0 7 0 0 7
; b)
4 2 0 0 5 4 0 0 0 0 16 6 0 0 8 3
; c)
2 4 6 1 2 3 3 6 9
; d)
1 3 5 1 2 3 1 4 7
.
4. a) -11; b) −2 sin x + 8 cos x; c) -6; d) 0; e) -24; f) 23;
g) 0; h) 0; i) -30; j) 1060; k) -112; l) 0.
7. a)
7 −4
−5 3
; b) −1 12 3 −1
; c)
1 0 0
−2 1 0
1
2 −12 12
;
d) 1451 ·
−17 29 1
−2 29 −34 27 −29 24
; e)
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
;
8. a) −3 3
−2 −2
; b)
2 3
−1 0
; c) −1 −1
2 3
;
d)
8 133
−10 −5
; e)
0 1 0 1 1 12
; f) 1 2 0
2 1 1
; 9. a) 1; b) 3; c) 3; d) 1; e) 3; f) 2.
10. a) 3; b) 4; c) 2; d) 4; e) 3; f) 2.
11. a) 4; b) 3; c) 2; d) 2; e) 1.
