Macierze i Wyznaczniki

(1)

Macierze i Wyznaczniki

Kilka wzorów i informacji pomocniczych:

Denicja 1. Niech A = [aij] b¦dzie macierz¡ kwadratow¡ stopnia n ≥ 2. Dopeªnieniem algebra- icznym elementu aij macierzy A nazywamy liczb¦

d_ij = (−1)^i+jdet Aij,

gdzie Aij jest macierz¡ stopnia n − 1 powstaª¡ z macierzy A przez wykre±lenie i-tego wiersza i j- tej kolumny.

Wªasno±ci wyznacznika

1) Je±li wszystkie elementy jednego z wierszy macierzy A s¡ równe 0, to det A = 0, 2) Je±li w macierzy A dwa wiersze s¡ proporcjonalne, to det A = 0,

3) Przestawienie w macierzy A dwóch wierszy powoduje zmian¦ znaku wyznacznika tej macierzy, 4) Je±li do dowolnego wiersza macierzy A dodamy odpowiadaj¡ce im elementy innego wiersza

pomno»one przez dowoln¡ liczb¦, to wyznacznik tej macierzy nie ulegnie zmianie, np.:

5) det AB = det A · det B oraz det (A + B) = det A + det B , 6) det A = det A^T,

7) Pomno»enie przez α dowolnego wiersza macierzy powoduje pomno»enie przez α jej wyznacznika.

Uwaga 1. Powy»sze wªasno±ci pozostaj¡ prawdziwe tak»e dla kolumn.

Macierz odwrotna

Denicja 2. Niech A b¦dzie macierz¡ nieosobliwa stopnia n. Mówimy, »e macierz B jest macierz¡

odwrotn¡ do A, je±li

AB = BA = I_n. Macierz odwrotna do macierzy A oznaczamy symbolem A⁻¹.

Niech D = [dij]_n×n oznacza macierz dopeªnie« algebraicznych macierzy A. Wówczas macierz odwrotna A⁻¹ wyra»a si¦ wzorem:

A⁻¹ = 1 det A·





d₁₁ d₁₂ . . . d_1n d21 d22 . . . d2n

... ... ...





T

= 1

det A· D^T.

(2)

Operacje elementarne:

a) dowolny wiersz mno»ymy przez liczb¦ ró»n¡ od 0 b) przestawiamy miejscami dwa dowolne wiersze

c) do dowolnego wiersza dodajemy dowoln¡ kombinacj¦ pozostaªych wierszy Wªasno±ci dziaªa« na macierzach

Niech A i B b¦d¡ macierzami o odpowiednich wymiarach, a α ∈ C. Wówczas:

1. A + B = B + A - przemienno±¢ dodawania macierzy,

2. (A + B) + C = A + (B + C) - ª¡czno±¢ dodawania macierzy, 3. (A ± B)^T = A^T ± B^T

4. A · (B + C) = A · B + A · C -rozdzielno±¢ mno»enia wzgl¦dem dodawania,

5. A · In= I_n· A = A- macierz jednostkowa jest neutralna ze wzgl¦du na mno»enie, 6. (A · B) · C = A · (B · C)- ª¡czno±¢ mno»enia,

7. α(A + B) = αA + αB, 8. (A · B)^T = B^TA^T, 9. (A^T)^T = A,

10. (A⁻¹)⁻¹ = A,

11. (A · B)⁻¹ = B⁻¹· A⁻¹, 12. (αA)⁻¹ = _α¹A⁻¹, 13. (A^T)⁻¹ = (A⁻¹)^T.

(3)

Zadania

1. Dane s¡ macierze:

A =





1 −1 0 2

5 3 2 0

−1 0 1 0



, B =





−2 0 1 3 0 2 1 0 2 3 1 3



, C =





1 3 0

−1 2 3 5 4 1



,

D =







1 0 1

2 −1 −1 0 −2 −3

1 2 3







, E = −3 0 2

0 1 −1

, F =





 1

−1 0 3





 .

Wykonaj nast¦puj¡ce dziaªania (je±li to mo»liwe):

(a) A + 2B (b) 2A − C (c) A · B

(d) B^T · A (e) A + B^T (f) A − 2D^T

(g) A^T · C² (h) C^T · (A + B) (i) E · C · B (j) F · F^T + D · A

2. Oblicz:

(a)







1 0 0 2 0 1 4 0 0 2 3 0 4 0 0 3







·







1 0 0 1 0 1 2 0 0 2 1 0 1 0 0 1







, (b)







2 1 0 −2 1 2 −1 0

2 0 4 2

3 1 2 1







·







1 −1 0 0

2 2 0 1

2 0 3 1

−3 0 2 1





 ,

(c)



 2 1 3



· 1 2 3 , (d) 1 1 1

1 0 2

T

· 1 2 3 0 1 2

,

3. Oblicz A · A^T, A^T · A, A², A³, A⁴ je»eli:

(a) A= 2 3 1 4

, (b) A =





2 3 2 1 1 1 0 2 1



 (c) A =







1 0 1 2

−1 3 0 4 2 −2 6 3

−2 1 4 −5





 ,

4. Oblicz warto±¢ wielomianu P (x) = x²− 3x + 5 dla macierzy A =





2 2 0 1 1 1 1 0 3



. 5. Wykorzystuj¡c poznane metody oblicz nast¦puj¡ce wyznaczniki:

(a)

−1 2 3 5

(b)

−2 −8

cos x sin x

(c)

√2 2√ 3

−3√ 5 4√

3

(d)

1 −1 2 0 6 1 2 −2 4

(e)

2 1 2

−1 2 3 0 2 3

(f)

1 2 3 4 5 −2 6 7 0

(4)

(g)

1 2 −1 0 0 1 −2 2 1 1 1 −2

0 1 2 1

(h)

8 5 3 −4

−1 2 0 2 0 6 7 2 1 1 0 1

(i)

2 −1 1 0

3 1 0 0

−1 2 2 1

2 5 −1 1

(j)

1 3 2 1 4

2 1 5 1 2

3 4 1 0 1

2 1 1 5 2

3 −1 1 −1 1

(k)

8 −5 4 3 2 2 −3 4 2 0 2 −5 4 3 2

−2 1 3 4 0

(l)

2 6 1 3 2 0 0 2 0 1 3 0 2 0 1 0 1 1 2 2 0 0 4 6 0 0 5 1 1 1 5 9 2 4 8 4

6. Znajd¹ macierz odwrotn¡ do danej:

(a) 3 4 5 7

(b) 2 1 3 2

(c)





1 0 0 2 1 0 1 1 2





(d)





2 5 7

6 3 4

5 −2 −3



 (e)





1 2 1 1 4 2 1 3 2



 (e)







2 −1 0 0

0 1 −1 0

0 0 1 −1

−1 0 0 1





 7. Rozwi¡za¢ poni»sze równania macierzowe:

(a) X + 4 −3 2 3

= 1 0 0 1

(d) 2 1 3 2

· X · −3 2 5 −3

= −2 4 3 −1

(b) 3 4 1 1

· X = 2 9 1 3

(e) X +



 0 2 0 2 2 1



= 3 · X (c) 1 2

3 4

· X = 3 5 5 9

(f)

2 −5

−1 3

X





1 0 0 1 1 0 1 1 1



= −16 −8 −5

10 5 3

8. Rozwi¡» równania macierzowe:

(a) (X^T · A − I)⁻¹ = B, gdzie A =





1 1 −1

2 1 0

1 −1 1



, B =





0 3 −2

1 0 1

−1 −2 0



, (b) (X^T − I) · A = B, gdzie A = −1 0

2 −1

, B = 2 2 2 2

,

(c) (X · A)^T = B + X^T, gdzie A =





1 0 −1 1 1 −2 1 1 0



, B =



 1 2 0 3 1 4



,

 −1 −1 0  

1 0 1 

(5)

9. Oblicz rz¡d macierzy wskazuj¡c niezerowe minory maksymalnych stopni:

(a)

2 −6 −4

−3 9 6

(b)





1 3 4 2 −1 0 4 2 8



 (c)





1 3 5 2 2 1

−1 0 3



 (d)



 1 4 2 8 0 0



 (e)





2 3 −1 1

4 2 0 5

0 4 −2 −3



 (f)





2 3 4 1 1 0 3 4 4





10. Wykonuj¡c elementarne operacje na wierszach lub kolumnach podanych macierzy obliczy¢

ich rz¦dy.

(a)







1 2 −1

−1 3 0

2 −1 −7

−1 1 −4





 (b)







2 3 0 4

1 −1 1 2 5 0 4 −2 1 −1 2 2







(c)





1 −3 2 1 2 2 1 −1 3 1 4 −5 3 5 5



 (d)







3 1 6 2 1 2 1 4 2 2 3 1 3 1 3 2 1 2 1 4







11. Sprowadzaj¡c podane macierze do postaci schodkowej wyznaczy¢ ich rz¦dy:

(a)







3 1 2 −1 7

0 1 0 2 1

3 2 2 1 8

0 1 1 5 4

−3 −1 −1 4 2





 (b)







1 2 3 1 5

0 4 7 1 2

1 2 3 4 6

−1 −2 −3 5 −3





 (c)







8 5 3 −4

−1 2 2 2 6 9 7 0 9 3 1 −6







(d)







1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12 13 14 15 16







(e)







2 −30 0 30 60

−3 45 0 −45 −90 5 −75 0 75 150 4 −60 0 60 120





