//wmii.uwm.edu.pl/~germaniuk adres strony internetowej Literatura
T Jurlewicz Z Skoczylas Algebra liniowa 1
M Gewert Z Skoczylas Analiza matematyczna 1 Definicje, twierdzenia, wzory.
M Gewert Z Skoczylas Analiza matematyczna 1 Przykłady i zadania.
B Wieprzkowicz H Łubowicz Matematyka
Podstawowe wiadomości teoretyczne , ćwiczenia dla studentów zaocznych.
W Krysicki L Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach Część I
Macierze i wyznaczniki
I. Definicja macierzy
Macierzą wymiaru m x n gdzie m , n N nazywamy układ mn liczb ustawionych w m wierszach i n kolumnach.
Macierze będziemy oznaczać dużymi literami alfabetu np. A , B , C itd.
Element macierzy A stojący w i - tym wierszu i j - tej kolumnie oznaczać będziemy przez aij
. Macierz A w ogólnym przedstawieniu można zapisać w postaci:
ij m n
ijmn mj m m
in ij i i
n j
n j
a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
A
....
. . . .
....
. . . .
....
. . .
....
. . .
2 1
2 1
2 2 22 21
1 1 12 11
Elementy macierzy A
ai1 ai2 . . .aij....ain
tworzą i – ty wiersz a elementy
mj ij
j j
a a a a
. .
2 1
tworzą j – tą kolumnę macierzy A.
Przykład: cos sin cos - sin
9 8 2 0
4 9 7
2
x x
x B x
A
macierze wymiaru odpowiednio 2 x 4 i 2 x 2 . II. Rodzaje macierzy
1o Macierz wymiaru mn w której wszystkie elementy są równe 0 nazywamy macierzą zerową wymiaru mn i oznaczamy przez
mnlub
gdy wymiar jest znany.2o Macierz w której liczba wierszy równa się liczbie kolumn nazywamy macierzą kwadratową. Wspólną liczbę wierszy i kolumn nazywamy stopniem macierzy
kwadratowej, Elementy macierzy które mają tą sam numer wiersza co kolumny tzn.
nn
ii a
a a
a11 22... .... tworzą przekątną główną macierzy.
ij nn
ij nnn n
n n
a a
a a a
a a
a
a a
a
A
..
. . . .
.
....
. .
...
. . .
2 1
2 22 21
1 12 11
; stAn ; a11 a22 . . ....ann elementy przekątnej głównej.
3o Macierz kwadratową stopnia n≥2 w której wszystkie elementy znajdujące się nad przekątną główną są równe 0 nazywamy macierzą trójkątną dolną.
nn n
n a a
a
a a a
a a a
..
...
. . .
0 ...
0 ...
. 0
0 ...
. 0..
0
2 1
33 32 31
22 21 11
4o Analogicznie macierz kwadratową stopnia n≥2 w której wszystkie elementy
znajdujące się pod przekątną główną są równe 0 nazywamy macierzą trójkątną górną.
5o Macierz kwadratową stopnia n w której elementy nie stojące na przekątnej głównej są równe 0 nazywamy macierzą diagonalną .
ann
a a a
..
...
..
0 0 0 .
0 ...
0 0
0 ...
. 0 0
0 ...
. 0..
0
33 22 11
6o Macierz diagonalną stopnia n w której wszystkie elementy przekątnej głównej są równe 1 nazywamy macierzą jednostkową i oznaczamy przez J lub przez J gdy n stopień jest znany.
1 ..
...
..
0 0 0 .
0 ...
1 0 0
0 ...
. 0 1 0
0 ...
. 0..
0 1
def
Jn
III. Działania na macierzach
1o Suma i różnica macierzy
Suma i różnica macierzy istnieje wtedy i tylko wtedy gdy macierze mają ten sam wymiar. Niech A
aij mnB
bij mnbędą macierzami wymiaru m x n. Sumą (różnicę ) macierzy A i B nazywamy macierz
C c
ij mnktórej elementy są określone
wzorem ij ij
def
ij a b
c
dla 1im 1 jn . Piszemy wtedy
mn mn m m m m
n n
n n
b a b a b a
b a b a b a
b a b a b a B A C
...
.
...
. ...
2 2 1 1
2 2 22 22 21 21
1 1 12 12 11 11
2o Iloczyn macierzy przez liczbę
Iloczyn macierzy przez liczbę jest wykonalny zawsze i mnożymy wszystkie elementy
przez liczbę. Niech A
aij mni aR . Wtedy
mn m
m
n n def
aa aa
aa
aa aa
aa
aa a
a aa Aa aA
...
.
. ...
. ...
2 1
2 22
21
1 12
11
3o Iloczyn macierzy
Iloczyn dwóch macierzy jest wykonalny gdy pierwsza macierz ma tyle samo kolumn co druga macierz wierszy. Niech
A a
ij mp
B b
ij pxnbędą macierzami wymiaru odpowiednio m x p i p x n . Wtedy iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz
cij mnC
której elementy są określone wzorem
p
k kj ik pj ip j
i j i def
ij a b a b a b a b
c
1 2
2 1
1 ...
dla n
j m
i
1
1 . Wtedy piszemy CAB
Przykład:
5 2 0
3 4 A 1
6 2
7 B 9
AB nie jest wykonalne ponieważ macierz A ma 3 kolumny a macierz B ma 2 wiersze W mnożeniu macierzy te liczby powinny
być równe.
36 20 2
62 50 9 5 6 3 2 2 6 4 2 0 6 1 2
5 7 3 9 2 7 4 9 0 7 1 9 5 2 0
3 4 1 6 2
7 BA 9
4o Macierz transponowana
Niech A
aij mnbędzie macierzą wymiaru m x n. Macierzą transponowaną do macierzy A nazywamy macierz B
bijnxmwymiaru n x m której elementy są określone
wzorem ji
def
ij a
b
dla 1in 1 jm. Macierz transponowaną do macierzy A oznaczamy przez AT. Transponowanie macierzy A polega na zamianie wierszy na kolumny o tym samym numerze i kolumn na wiersze o tym samym numerze.
Przykład
5 2 3
7 3 A 1
5 7
2 3
3 1 AT
IV. Własności działań na macierzach
1o Dodawanie macierzy jest przemienne tzn. ABBA 2o Mnożenie macierzy nie jest przemienne tzn. zazwyczaj ABBA 3o Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania macierzy tzn.
AC AB C B
A( ) i (AB)C ACBC 4o Dodawanie i mnożenie macierzy jest łączne tzn.
) ( )
(AB CA BC (AB)CA(BC)
5o A(aB)(aA)Ba(AB) dla dowolnej liczby a i macierzy A , B dla których wykonalne jest mnożenie.
6o Dla macierzy A wymiaru m x n JmA AJn A
7o (AB)T AT BT ; (AT)T A ; (aA)T aAT ; (AB)T BTAT
8o Suma, różnica , iloczyn, iloczyn przez liczbę macierzy trójkątnych dolnych (górnych) jest macierzą trójkątną dolną (górną).
Definicja: Macierz kwadratowa jest symetryczna AT A Macierz kwadratowa jest antysymetryczna AT A
V.
Wyznacznik macierzy kwadratowej.
Definicja wyznacznika Niech A
aij nnbędzie macierzą kwadratową stopnia n 1o Jeżeli macierz A jest stopnia n = 1 to
detA A a11 a11
df
2o Jeżeli macierz A jest stopnia n ≥ 2 to
in in n i i
i i i
i df i
nn n
n
n n
A a A
a A
a a
a a
a a
a
a a
a A
A (1) (1) ...(1)
...
...
...
...
...
det 1 1 1 2 2 2
2 1
2 22
21
1 12 11
Dla ustalonego 1in gdzie Aij
wyznacznik stopnia n-1 powstałej z macierzy A przez skreślenie i - tego wiersza i j - tej kolumny.
Jest to definicja wyznacznika za pomocą rozwinięcia Laplace’a, który wykazał, że uzyskujemy jednakową wartość wyznacznika niezależnie od wyboru i - tego wiersza.
Rozwinięcia Laplace’a sprowadza obliczanie wyznaczników do obliczania wyznaczników stopnia mniejszego o jeden
Analogiczną definicję uzyskamy stosując w punkcie 2o rozwinięcia Laplace’a względem j – tej
kolumny. Wtedy
nj nj j n j
j j j
j j df
nn n
n
n n
A a A
a A
a a
a a
a a a
a a a A
A (1) (1) ...(1)
...
...
...
...
...
det 1 1 1 2 2 2
2 1
2 22 21
1 12 11
Praktycznie w
obliczaniu wyznaczników stopnia n = 2
stosuje się wzór:cb d ad
c b a d c
b
a
det
Przykład.
19 5 7 8 8 2
7
5 2 8 7
5
det 2
Praktycznie w
obliczaniu wyznaczników stopnia n = 3
stosuje sięwzór Sarussa:
33 21 12 32 23 11 31 22 13 32 21 13 31 23 12 33 22 11 33 32 31
23 22 21
13 12 11
33 32 31
23 22 21
13 12 11
det a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
Geometrycznie jest to sumowanie pomnożonych trzech wyrazów leżących na strzałkach skośnych skierowanych w dół wychylonych w prawo z znakiem + a na wychylonych w lewo z znakiem - , dopisując dwa pierwsze wiersze z dołu macierzy lub dwie pierwsze kolumny z prawej strony macierzy.
Przykład Obliczanie wyznacznika stopnia 3 za pomocą wzoru Sarussa
12 216 84 20 90 224 18 9 3 8 6 7 2 4 1 5 6 3 5 4 7 8 9 1 2 6 4
1 3
8 2
9 6 4
7 1 3
5 8 2
Obliczanie za pomocą rozwinięcia Laplace’a np. za pomocą 2 – go wiersza
12 ) 4 8 6 2 ( 7 ) 4 5 9 2 ( 1 ) 6 5 9 8 ( 6 3 4
8 7 2 ) 1 9 ( 4
5 1 2 ) 1 9 ( 6
5 3 8 ) 1 ( 9 6 4
7 1 3
5 8 2
3 2 2
2 1
2
Wyznaczniki stopnia n > 3 liczy się za pomocą rozwinięcia Laplace’a wykorzystując podstawowe własności wyznaczników które są prawdziwe i dla stopni niższych.
VI. Podstawowe własności wyznaczników
1o Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej kolumnę ( wiersz ) złożoną z samych zer jest równy 0 .
0 ...
. ...
...
. 0 . 0 0
. . . . .
. . .
. . .
2 1
2 1
22 21
12 11
nn n n
n
n a
a a
a a
a a
a a
2o Wyznacznik macierzy kwadratowej zmieni znak jeżeli zmienimy między sobą dwie kolumny (wiersze).
nn n n
ni i i
nj j j
n n nn
n n
nj j j
ni i i
n
n a
a a
a a a
a a a
a a
a a
a a
a a a
a a a
a a a
a a
a a
a a
...
. ...
...
... ..
. . . . .
. . .
. . .
...
. ...
...
... . . . . . .
. . .
. . .
2 1 2 1 2 1
2 1
22 21
12 11 2
1 2 1 2 1
2 1
22 21
12 11
3o Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej dwie kolumny ( wiersze ) jednakowe jest równy 0 .
0 ...
...
...
...
... . . . . .
...
...
. . .
. . .
2 1
2 1
22 21
12 11
nn n n
n
n a
a a
w b a
w b a
a a
a a
a a
4o Wyznacznik macierzy kwadratowej nie zmieni się, jeżeli do elementów dowolnej kolumny (wiersza) dodamy odpowiadające im elementy innej kolumny (innego wiersza) tej macierzy pomnożone przez dowolną liczbę.
nn n n
nj j j
nj ni
i j i
n n nn
n n
nj j j
ni i i
n
n a
a a
a a a
ca a
ca a
ca a
a a
a a
a a
a a a
a a a
a a a
a a
a a
a a
j
...
. ...
...
. ..
...
. . . . . . .
. . .
. . .
...
. ...
...
.... . . . . . .
. . .
. . .
2 1 2 1 2
1 1
2 1
22 21
12 11 2 1 2 1 2 1
2 1
22 21
12 11
2
Ogólnie wyznacznik macierzy kwadratowej nie zmieni się, jeżeli do elementów dowolnej kolumny (wiersza) dodamy sumę odpowiadających im elementów innych kolumn (innych wierszy) tej macierzy pomnożone przez dowolne liczby.
5o nn
n n
j j
n n nn
n n
nj j j
n n nn
n n
nj j j
j j
n
n a
a a
bnj b b
a a
a a
a a
a a a
a a a
a a
a a
a a
a a a
bnj a
b a
b a
a a
a a
a a
...
. ...
...
. . . . . .
. . .
. . .
...
. ...
...
.. . . . . .
. . .
. . .
...
. ...
...
. . . . . .
. . .
. . .
2 1 2 1
2 1
22 21
12 11 2 1 2 1
2 1
22 21
12 11 2 1 2 2
1 1
2 1
22 21
12 11
6o
T
nn n
n
n n
nn n
n
n n
a a a
a a
a
a a
a
a a a
a a
a
a a
a
..
. . . .
.
....
. .
...
. . . det
..
. . . .
.
....
. .
...
. . . det
2 1
2 22 21
1 12 11
2 1
2 22 21
1 12 11
7o nn
n n
nj j j
n nn n
n n
nj j j
n
n a
a a
a a a
a a
a a
a a d a a a
da da da
a a
a a
a a
...
. ...
...
. . . . . .
. . .
. . .
...
. ...
...
. . . . . .
. . .
. . .
2 1 2 1
2 1
22 21
12 11 2
1 2 1
2 1
22 21
12 11
dla dowolnej liczby d . Przykład. Obliczyć wyznacznik
0 9 4 9 8
2 1 1 1
0 0 0 0
3 7 4 1
9 4 9 8
2 1 1 1
4 2 2 2
3 7 4 1
9 4 9 8
5 8 5 2
7 9 6 3
3 7 4 1
3 2 ' 2 1
2 ' 2
1 3 ' 3
2
w w w w
w w
w w w
Gdzie wiersz wi
ai1 ai2. . ....ain
traktujemy jako macierz wymiaru 1 x n . W wyrażeniu np.
j k
k w dw
w'
występuje odejmowanie od k – tego wiersza j – tego wiersza pomnożonego przez liczbę d wykonując te działania jak działania na macierzach. Tak obliczonym nowym wierszem
'
wk
zastępujemy w macierzy po prawej stronie równości wiersz
w
kpo lewej stronie równości. Pozostałe wiersze nie obliczane jako nowe przepisujemy bez zmian.
VII. Macierz odwrotna
Definicja macierzy odwrotnej
Macierzą odwrotną macierzy kwadratowej
A
stopnia n nazywamy macierz oznaczaną przez1
A
spełniającą warunek AA1 A1A Jn gdzie Jn jest macierzą jednostkową stopnia n.Definicja macierzy osobliwej i nieosobliwej
Macierz kwadratową
A
nazywamy macierzą osobliwą, gdydet A 0
. W przeciwnym przypadku mówimy, że macierzA
jest nieosobliwa.Twierdzenie
a). Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy gdy jest nieosobliwa.
b). Jeżeli macierz kwadratowa A
aij nnstopnia n jest nieosobliwa, to
T
nn n n
n n
D D D
D D D
D D D
A A
..
. . . .
.
....
. .
...
. . .
det 1
2 1
2 22 21
1 12 11 1
gdzie kj
j k
kj A
D (1)
dopełnienie algebraiczne elementu n
j k akj 1 ,
. Natomiast
A
kjwyznacznik stopnia n-1 powstałej z macierzy A przez skreślenie k - tego wiersza i j - tej kolumny.
Twierdzenie
Niech macierze kwadratowe A i B tego samego stopnia będą odwracalne i
0\
R
Wtedy macierze A1 , AT, AB, A są odwracalne oraz
1 1 (det ) det
.
1 A A 2. (A1)1A
T
T A
A ) ( ) (
.
3 1 1
1 1
) 1
( .
4 AB B A
1
1 1
) ( .
5 A A
Przykład. Obliczyć
1
5 2 4
0 1 3
5 0
2
20 20 30 10 5 3 0 2 0 2 4 1 5 2 3 5 4 0 0 5 1 2 5 2 4
0 1 3
5 0 2
A więc macierz jest odwracalna
2 4 - 2
5 1 10 - 5 1 -
5 - 10 5 20
1 2
15 5 -
4 - 10 - 10
2 5 1 - 5 20
1
1 3
0 2 0 3
5 - 2 0 1
5 0
2 4
0 - 2 5 4
5 2 5 2
5 - 0
2 4
1 3 5 4
0 -3 5 2
0 1
20 1 5
2 4
0 1 3
5 0
2 1 T
T
10 1 5 -1 10 1
4 3 2 -1 4 - 3
4 -1 2 1 4 1
5 2 4
0 1 3
5 0
2 1
Przykład Obliczyć macierz
X
spełniającą równanie.) 2 2
8
2
( 3 A
AX
gdzie
2 5
3 A 7
) 2 2
8
2 ( 3 )
( 1
1 AX A A
A
mnożąc równanie obustronnie z lewej strony przez A1 A
A A
X A
A 2
2 8
2 ) 3
)
( 1 1 1
wykorzystując łączność mnożenia i rozdzielność mnożenia względem dodawania.
2 1
2 2
2 8
2 ) 3
(J X A J
wykorzystując fakt, że 2
1A J
A
2
1 2
2 8
2
3 J
A
X
wykorzystując fakt, że
J
2X X
Własności te są przedstawione w własnościach działań na macierzach w części IV.
1 3 5 2 2 7
5
3 det 7
det
A
a więc
A
1 istnieje
7 - 5
3 2 - 7
5 -
3 - 2 7
3 -
5 - 2 7
3 -
5 - 2 1 -
1 2
5
3
7 1
1
T T
A
2 - 41 -
2 16 - 2 0
0 2 4 - 41 -
2 18 - 2 0
0 2 2 ) 7 - ( 2 5 8 ) 7 - ( 3 5
2 3 2 2 - 8 3 3 ) 2 (- 1 0
0 2 1 2 8
2 3 7 - 5
3 2 X -
Układy równań liniowych.
Definicja. Układu równań liniowych.
Układem m równań liniowych z n niewiadomymi gdzie , nazywamy układ równań postaci:
gdzie
Rozwiązaniem układu równań liniowych nazywamy ciąg liczb rzeczywistych spełniających ten układ. Układ równań nie posiadający rozwiązania nazywamy układem równań sprzecznym. Macierze
ij m nmn m
m
n n
def
a
a a
a
a a
a
a a
a
A
....
. . . .
.
....
. . .
....
. . .
2 1
2 22
21
1 12
11
m def
x x x
X . .
2 1
m def
b b b
B . .
2 1
nazywamy
A - macierz główna X - macierz niewiadomych B - macierz wyrazów wolnych układu równań liniowych. Wtedy AX B jest zapisem układu równań liniowych w postaci macierzowej.
W przypadku małej ilości niewiadomych będziemy oznaczać przez je przez ,...
, , , , ,
,y z t u v m
x .
Układ Cramera.
Układ równań liniowym nazywamy układem Cramera jeżeli spełnione są własności:
10 Macierz główna A układu równań jest macierzą kwadratową / liczba równań równa się ilości niewiadomych /.
20 Macierz A jest macierzą nieosobliwą, tzn. detA0. Twierdzenie
Układ Cramera AX B ma dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorem:
