SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 6, 2013-11-22 Pochodna jednostronna
Definicja: Pochodną prawostronną funkcji f : D → R w punkcie x takim, że < x, x+) ⊂ D dla pewnego > 0 nazywamy granicę:
f0(x+) = lim
h→0+
f (x + h) − f (x) h
Analogicznie, pochodną lewostronną funkcji f : D → R w punkcie x takim, że (x−, x >⊂ D dla pewnego > 0 nazywamy granicę:
f0(x−) = lim
h→0−
f (x + h) − f (x) h
Twierdzenie: Funkcja jest różniczkowalna w punkcie x wtedy i tylko wtedy, gdy ma po- chodną lewostronną równą pochodnej prawostronnej.
Przykład: Obliczyć f0(0+) jeżeli f (x) =√ x3
D =< 0, ∞) , a więc nie można obliczyć pochodnej f0(0) . Pochodna prawostronna jest równa:
f0(0+) = lim
h→0+
√ h3− 0
h = lim
h→0+
√ h = 0
Przykład: Pokazać że funkcja f (x) = |x| nie jest różniczkowalna w punkcie x = 0 f0(0+) =x0|x=0 = 1
f0(0−) =−x0|x=0 = −1
Ponieważ f0(0+) 6= f0(0−) więc pochodna f0(0) nie istnieje.
Twierdzenie Jeśli f jest różniczkowalna w x ∈ D to jest w tym punkcie ciągła Dowód: Niech x + h ∈ D i h 6= 0 . Wtedy
h→0lim
f (x + h) − f (x)= lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h · h = f0(x) · 0 = 0
Uwaga: Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Na przykład funkcja f (x) = |x| jest ciągła w x = 0, a nie jest w tym punkcie różniczkowalna.
Przykład: Dla jakich a, b ∈ R jest różniczkowalna funkcja f : R → R : f (x) =
( ex dla x > 0 ax + b dla x ¬ 0 Rozwiązanie:
Funkcja jest różniczkowalna na zbiorze (−∞, 0) ∪ (0, ∞) . Pozostaje sprawdzić różniczko- walność w punkcie x = 0. Aby funkcja była różniczkowalna musi być ciągła w tym punkcie, czyli:
f (0+) = f (0−) = f (0) 1 = b = b
Obliczamy oddzielnie pochodną lewostronną i prawostronną:
f0(0+) = ex|x=0 = 1
Uwaga: Obliczając tę pochodną korzystamy już z ciągłości f w punkcie x = 0 . f0(0−) = a
Czyli:
a = 1
Odpowiedź: Dla a = 1 , b = 1 funkcja jest różniczkowalna.
Pochodna nieskończona
Jeśli granica ilorazu różnicowego w punkcie x jest równa ∞ albo −∞ to prosta styczna do wykresu funkcji jest w tym punkcie prostą pionową.
Różniczka
Niech dana będzie funkcja f : D → R oraz punkt x ∈ int D . Różniczką funkcji f w punkcie x nazywamy funkcję liniową: df : R → R , df (dx) = a · dx taką, że:
dx→0lim
f (x + dx) − f (x) − a · dx
dx = 0
Widać, że różniczka funkcji f istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje jej pochodna, oraz:
df = f0(x) · dx
Uwaga 1: Jeżeli przesuniemy układ współrzędnych tak, aby jego początek był w punkcie (x, f (x)) to różniczka funkcji jest funkcją liniową przechodzącą przez początek przesuniętego układu współrzędnych. Jej wykresem jest prosta styczna do wykresu funkcji. Pochodna f0(x) jest współczynnikiem kierunkowym tej prostej.
Uwaga 2: Różniczkę funkcji można traktować jako liniowe przybliżenie przyrostu funkcji:
∆f ≈ df
Błąd tego przybliżenia = ∆f − df dla małych przyrostów argumentu dx jest dużo mniejszy niż dx; stosunek
dx dąży do zera. Wykorzystując różniczkę w ten sposób zakładamy, że dx jest małe (nieskończenie małe). W zastosowaniach fizycznych pochodnej najczęściej przybliża się przyrost funkcji jej różniczką.
Uwaga 3: Różniczkę funkcji można również traktować jako równanie prostej stycznej do wykresu funkcji. Wtedy nie zakładamy, że przyrost argumentu dx jest mały, ale różniczka wyznacza punkt na prostej stycznej, który dla dużych dx może być daleki od wykresu funkcji.
Uwaga 4: Symbol pochodnej df
dx można interpretować jako stosunek różniczki funkcji do różniczki argumentu. Np. wzór na pochodną funkcji złożonej: h(x) = f (g(x)) przy oznaczeniu y = g(x) mamy: dh
dx = dh dy · dg
dx .
Często stosuje się oznaczenia: g(x) → y(x) , h(x) → f (x) ; wtedy mamy wzór:
df dx = df
dy · dy dx
Przykład: Obliczyć różniczkę funkcji f (x) = arc tg 2x w punkcie x = 1 df = f0(x)dx
f0(x) = 2 1 + 4x2 f0(1) = 2 Stąd: 5 df = 2
5dx
Przykład: Obliczyć przybliżoną wartość√ 4, 01 Niech f (x) =√
x , x0 = 4 , dx = 0, 01 Szukamy f (x0+ dx). Mamy:
f (x0+ dx) − f (x0) = ∆f ≈ df f (x0+ dx) ≈ f (x0) + df f (x0) = 2
df = f0(x0)dx f0(x) = 1
2√ x f0(4) = 1
4
Stąd: df = 1
4dx = 0, 0025 Czyli: √
4, 01 ≈ f (x0) + df = 2, 0025
Przykład: Znaleźć równanie prostej stycznej do wykresu funkcji y = 2x
x − 1 w punkcie x = 2 Niech y(x) = 2x
x − 1 , x0 = 2 , dx = (x − x0) , y0 = y(x0) = 4 , dy = (y − y0)
(Punkt P (x, y) jest punktem na prostej stycznej, a nie na wykresie funkcji, nie zakładamy, że dx jest małe)
Obliczamy różniczkę:
dy = y0(x0)dx y0 = 2(x − 1) − 2x
(x − 1)2 = 2 (x − 1)2 y0(x0) = 2
dy = 2dx
Stąd równanie prostej stycznej:
y − 4 = 2(x − 2) y = 2x
Przykład: Pokazać, że wykresy funkcji f (x) = x2 i g(x) = 2 ln x + 1 są styczne w punkcie x = 1
Wykresy są styczne, gdy przecinają się. czyli f (1) = g(1) , oraz mają tę samą prostą styczną, czyli f0(1) = g0(1)
f (1) = 12 = 1
g(1) = 2 ln 1 + 1 = 1 czyli f (1) = g(1) f0(x) = 2x f0(1) = 2 g0(x) = 21
x g0(1) = 2 czyli f0(1) = g0(1)
Definicja Niech D będzie zbiorem otwartym. Funkcję f : D → R nazywamy funkcją róż- niczkowalną wtedy i tylko wtedy, gdy jest rózniczkowalna dla każdego x ∈ D.
Uwaga: Podobnie mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna na zbiorze A ⊂ D wtedy i tylko wtedy, gdy jest rózniczkowalna dla każdego x ∈ A.
Pochodna jako funkcja
Dla ustalonego x ∈ D , pochodna f0(x) jest liczbą. Jeżeli punkt x będzie się zmieniał, to pochodną f0(x) możemy traktować jak funkcję f0 : D1 → R. D1 ⊂ D . Może się przy tym zdarzyć, że dziedzina pochodnej nie będzie równa dziedzinie funkcji.
Uwaga Funkcje elementarne są różniczkowalne na całej swojej dziedzinie z wyjątkiem funk- cji:
1. f (x) = xα w punkcie x = 0 dla α ∈ (0, 1) oraz dla α > 1 takich, że D =< 0, ∞) 2. f (x) = |x| w punkcie x = 0
3. f (x) = arc sin x w punkcie x = ±1 4. f (x) = arc cos x w punkcie x = ±1
Uwaga: Jeżeli uwzględnimy zmianę argumentu, to różniczka jest funkcją dwóch zmiennych:
df (x, dx) = f0(x)dx
Przykład: Pochodna funkcji nie musi być funkcją ciągłą. Na przykład funkcja :
f (x) =
x2sin1
x dla x 6= 0
0 dla x = 0
Ma dla x 6= 0 pochodną:
f0(x) = 2x sin1
x + x2cos1 x ·
−1 x2
= 2x sin1
x− cos 1 A dla x = 0 x
f0(0) = lim
h→0
h2sin1 h
h = lim
h→0h sin1 h = 0 Funkcja:
f0(x) =
2x sin1
x − cos1
x dla x 6= 0
0 dla x = 0
nie jest ciągła w x = 0, ponieważ nie istnieje granica lim
x→0(2x sin 1
x − cos 1 x) Definicja Niech D ⊂ R będzie zbiorem, a f : D → R. Funkcję f nazywamy:
• klasy C wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła na D.
• klasy D1 wtedy i tylko wtedy, gdy jest jest różniczkowalna na D
• klasy C1 wtedy i tylko wtedy, gdy jest jest różniczkowalna na D i jej pochodna f0 jest ciągła na D
Uwaga 1: Zbiór wszystkich funkcji klasy C na zbiorze D oznaczamy C(D). Podobnie sto- sujemy oznaczenia D1(D) , C1(D).
Uwaga 2: Dla funkcji klasy C dziedzina funkcji f może być dowolnym zbiorem. Dla funkcji klasy D1 i C1 dziedzina zwykle jest zbiorem otwartym. Czasami wygodnie jest, korzystając z pochodnej jednostronnej, rozszerzyć definicję na inne zbiory. Np. dla funkcji klasy D1<
a, b > i C1< a, b > traktujemy pochodną w punktach a i b jako pochodną jednostronną.
Uwaga 3: Wykres funkcji klasy C1 określonej ma przedziale nazywamy krzywą gładką.
Wyższe pochodne
Definicja: Drugą pochodną funkcji f : D → R w punkcie x0 ∈ int D nazywamy pochodną funkcji f0(x) w punkcie x0:
f00(x0) = (f0(x))0|x=x0
Uwaga 1: Aby istniała druga pochodna f w punkcie x0 musi istnieć pierwsza pochodna funkcji f w pewnym otoczeniu punktu x0, oraz granica ilorazu różnicowego funkcji f0(x).
Uwaga 2: Jeżeli istnieje druga pochodna f00(x0) to pierwsza pochodna f0(x) jest ciągła w punkcie x0 .
Przykład: Obliczyć f00(x) jeśli f (x) = x ln x f0(x) = ln x + x1
x = ln x + 1 f00(x) = (f0(x))0 = (ln x + 1)0 = 1
x
Definicja: Analogicznie definiujemy n-tą pochodną funkcji f : D → R w punkcie x0 ∈ int D f(n)(x0) =f(n−1)(x)0|x=x0
Przykład: Obliczyć fIV(x) jeśli f (x) = x5+ 4x + e2x f0(x) = 5x4+ 4 + 2e2x
f00(x) = (f0(x))0 = (5x4+ 4 + 2e2x)0 = 20x3+ 4e2x f000(x) = (f00(x))0 = (20x3+ 4e2x)0 = 60x2+ 8e2x fIV(x) = (f000(x))0 = (60x2+ 8e2x)0 = 120x + 16e2x
Pochodna iloczynu: (f (x)g(x))(n) = Pn
k=0
n
k
(f (x))(k)(g(x))(n−k) Przykład: Obliczyć (x2ex)(20)
Niech f (x) = x2 , g(x) = ex Wtedy:
f0(x) = 2x , f00(x) = 2 , f000(x) = fIV(x) = · · · = f(20)(x) = 0 g0(x) = g00(x) = · · · = g(20)(x) = ex
Stąd:
(x2ex)(20)=200x2ex+2012xex+2022ex = x2ex+ 40xex+ 380ex
Definicja Niech D będzie zbiorem otwartym. Funkcję f : D → R nazywamy funkcją klasy Cn jeśli jest różniczkowalna n razy na D i jej n-ta pochodna f(n) jest ciągła na D. Fumckję nazywamy funkcją klasy C∞ jeśli ma na D pochodne dowolnego rzędu.
