(3) Znajd¹ punkt przeci¦cia stycznej do wykresu funkcji f(x

ANALIZA MATEMATYCZNA LISTA ZADA‹ 10

6.12.10

(1) Wyznacz promie« zbie»no±ci szeregu Maclaurina funkcji:

(a) f(x) = √

x + 2, (b) f(x) = 1

x + 3, (c) f(x) = log(x + e).

(2) Znajd¹ punkty przegi¦cia i przedziaªy wypukªo±ci funkcji danych wzorami:

(a) x³+ 2x²+ 3x + 4, (b) x⁸− x²+ 7x − 15, (c) e^−x2, (d) sin⁴(x), (e) √

x − log(x), (f) x⁴+√⁴ x.

(3) Znajd¹ punkt przeci¦cia stycznej do wykresu funkcji f(x) = x² w punkcie (2, 4) z osi¡ OY .

(4) Znajd¹ punkt przeci¦cia stycznej do wykresu funkcji f(x) = e^x w punkcie (0, 1) z osi¡ OX.

(5) Znajd¹ punkt przeci¦cia stycznych do wykresu funkcji f(x) = x³ odpowiednio w punktach (−1, −1) i (2, 8).

(6) ObliczR

f (x) dx je±li funkcja f dana jest wzorem:

(a) 10^x, (b) ^m√

n, m, n ∈ N, (c) a^xe^x, a > 0,

(d) 3, 4 x^−0,17, (e) 1 − 2x, (f)

µ1 − x x

¶₂ , (g) (√

x + 1) (x −√

x + 1), (h)

√x − x³e^x+ x²

x³ , (i) (x + 1)²², (j) x¹⁰⁰− 1

x − 1 , (k) x√⁶

x +√⁷ x

x² , (l) x³

x + 1, (7) Znale¹¢ tak¡ funkcj¦ F , »eby F⁰⁰(x)byªo równe:

(a) x²+ 2x, (b) cos(x), (c) e^7x. (8) Znajd¹ tak¡ funkcj¦ F , »e:

(a) F⁰⁰(x) = x²+ 1, F⁰(0) = 2, F (0) = 3; (b) F⁰⁰(x) = 1

x³, F⁰(2) = 1, F (3) = 5;

(c) F⁰⁰⁰(x) = sin(x), F⁰⁰(0) = F⁰(0) = F (0) = 0; (d) F⁰⁰(x) = 1

x², F⁰(1) = F⁰(−1) = 1, F (1) = F (−1) = 3. (9) ObliczR

f (x) dx je±li funkcja f dana jest wzorem:

(a) x sin(2x), (b) x e^−x, (c) xⁿ log(x), n ∈ N, (d) x³e^5x, (e) e^x sin²(x), (f) x 3^x,

(g) x sin(x) cos(x), (h) e^3x sin(2x), (i) √

e^x− 1, (j) e^x sin(e^x), (k) x e^x2, (l) 1 · sin(log(x)),

(m) e^−x2x, (n) cos(√

√ x)

x , (o) e^√3x,

1

(p) 1

x log(x) log(log(x)), (q) cos(x) e^sin(x), (r) 6^1−x, (s) sin⁵(x) cos(x), (t) e^2x

√4

e^x+ 1 , (u) x e^x2(x²+ 1), (v) e^5x sin(3x), (w) e^5x cos(3x), (x) sin(3x) · sin(5x), (y) sin(15x) · e^−4x, (z) arctan(x)

x²+ 1 , (aa) arctan⁷(x) + 9 arctan⁵(x)

x²+ 1 ,

(ab) x³

(x − 1)¹², (ac) log⁷(x) + log²(x)

x , (ad) e^−x2x⁵, (ae) sin(√

x), (af)

p2 + log(x)

x .

2